Soms heb je aan een rekenmachine gewoon niet genoeg om een rekenkundig probleem op te lossen. Dan is zwaarder geschut nodig, maar dat is vaak moeilijk en/of duur. MathStudio biedt een mooie tussenweg – zelfs voor mensen zonder wiskundeknobbel. We helpen je op weg met deze MathStudio tutorial.

De onbetwiste koning van het technische rekenwerk en de daarbij vaak onmisbare visualisaties, is Mathematica. Helaas kost dat rekenmonster zelfs voor privégebruik al ruim 400 euro en vergt het flink wat studie om er mee aan de slag te kunnen. Gelukkig zijn er tegenwoordig heel wat gratis alternatieven, waaronder MathStudio.

MathStudio is optioneel beschikbaar als vriendelijk geprijsde app voor iOS en macOS, maar het aardige is dat we het product ook online kunnen gebruiken via mathstud.io en dan kost het ons niets.

Voordat we ons storten op de mogelijkheden van dat product, nemen we eerst een kijkje bij het onderdeel Ask (dat overigens ook als app verkrijgbaar is). Ask MathStudio is een probleemoplosser en wiskundehulp die je kunt gebruiken zonder dat je je in de syntax van MathStudio hoeft te verdiepen. Je kunt je vragen en opdrachten er gewoon in het Engels kwijt. Geen idee hoe je de vijfdemachtswortel uit 72 als commando moet formuleren? Geen nood, gewoon vragen om fifth root of 72.

Ask kan ook grafieken maken en die hebben in MathStudio een uitgebreide syntax om de opmaak naar je hand te zetten. Simpelweg vragen om graph x^2-2x+4 levert ook een bruikbare grafiek, ook al is het juiste commando eigenlijk Plot. We kunnen zelfs exacte functiewaarden opvragen via de knop Trace ofinzoomen door middel van het muiswiel en de knop Zoom (een mogelijkheid die in Firefox overigens niet werkt).

©PXimport

Om een idee te krijgen van het grote aantal dingen die je in gewoon Engels kunt vragen, biedt de Ask-pagina aan de rechterzijde een uitgebreide collectie voorbeelden verdeeld over verschillende rubrieken. Hier lees je hoe je Ask kunt gebruiken als eenvoudige rekenmachine (Basic Math), hoe je eenheden kunt converteren (Unit Conversions), hoe je vergelijkingen kunt oplossen (Algebra), hoe je functies kunt differentiëren en integreren (Derivatives en Integration), hoe je allerlei soorten grafieken kunt maken (Graphing) en nog veel meer.

Ask kan zelfs vragen beantwoorden over coördinaten van plaatsen (Location), het weer (Weather), beurskoersen (Stocks) en voedingswaarden (Nutrition).

Onder de antwoorden die Ask op onze vragen heeft gegeven zien we de link View results in MathStudio. Als we daarop klikken dan worden onze vragen automatisch vertaald naar de officiële syntax en verschijnen ze in het venster van MathStudio waar we ze desgewenst kunnen aanpassen.

Gericht rekenen

Nu we zijn aangekomen in het hoofdvenster van het eigenlijke MathStudio volstaan Engelstalige vragen of opdrachten niet langer en moeten we ons keurig aan de syntax van het systeem gaan houden. Gelukkig toont het venster aan de rechterzijde al een selectie met veelgebruikte soorten opdrachten op gebieden zoals rekenen, algebra, analyse, statistiek en het maken van grafieken. Het werkelijke aanbod aan functies is nog veel groter en dat vind je alfabetisch geordend onder Catalog.

Daarnaast vind je in het menu aan de linkerzijde een gedetailleerde handleiding onder Manual en dat is maar goed ook want we kunnen in dit artikel uiteraard slechts een globaal overzicht bieden.

Nu je eenmaal weet waar je terecht kunt voor het complete overzicht van alle mogelijke opdrachten, wordt het tijd om er eens enkele te bekijken om te zien wat voor onderwerpen MathStudio zoal dekt.

Functies manipuleren

Tot het standaardarsenaal van elke rekenmeester behoort het manipuleren van uitdrukkingen. MathStudio biedt daarvoor verschillende functies. Zo kunnen we formules proberen te vereenvoudigen met SimplifyFunction. Daarmee levert SimplifyFunction(sin(x+@pi/2)) bijvoorbeeld cos(x) als antwoord. Voor het manipuleren van goniometrische functies zijn er daarnaast commando’s als TrigExpand en TrigReduce.

Speciaal voor polynomen zijn er functies zoals Expand, Factor en Apart. Met die laatste delen we een breuk bestaande uit polynomen in losse delen. Expand en Factor zijn elkaars tegengestelde en zouden dus na herhaalde toepassing het beginresultaat moeten opleveren. Met een uitdrukking als Expand((x+2)^3) (antwoord 6x^2+12x+x^3+8) gevolgd door Factor(6x^2+12x+x^3+8) gebeurt dat ook keurig.

Vervangen we de 2 echter door een variabele a, dan slaagt het programma niet – iets waar Mathematica geen enkele moeite mee heeft. Daaruit leren we dat manipulatie van symbolische uitdrukkingen zo zijn beperkingen heeft.

©PXimport

Vergelijkingen oplossen

MathStudio kan verschillende soorten vergelijkingen oplossen via het commando Solve. Zo levert het programma keurig de reële en complexe wortels van polynomen en kunnen we ook goniometrische vergelijkingen oplossen, zoals Solve(sin(x)=Sqrt(2)/2).

Daarnaast kunnen we stelsels van vergelijkingen aanpakken, simpel door ze te scheiden met een komma, zoals: Solve(x^2+y^2=25, y=x^2) om de snijpunten van een cirkel en een parabool te vinden.

Een uitgebreidere variant op dit thema vinden we in SolveSystem, waarin we ook op kunnen geven voor welke variabelen we een oplossingen zoeken en in welk domein dat moet liggen.

Hét gereedschap om stelsels lineaire vergelijkingen te lijf te gaan, vinden we in matrices. Om daarmee te werken, is er een scala aan functies, bijvoorbeeld voor het vinden van de determinant(Det), het inverteren(Inverse) en het vinden van eigenwaardeneneigenvectoren(Eigenvalues en Eigenvectors).

Analyse

Op het gebied van analyse kunnen we functies differentiëren (met het commando D of pDiff voor partiële differentiatie) en integreren (Integrate), en is er een commando om limieten te vinden (Limit).

Als het gaat om differentiëren levert MathStudio goede prestaties waarbij we desgewenst in plaats van het D-commando een functie f(x) kunnen definiëren om vervolgens te vragen om f’(x).

Met niet al te ingewikkelde onbepaalde integralen heeft MathStudio ook geen moeite, maar de veelzijdigheid aan oplossingen is zeker niet vergelijkbaar met Mathematica.

Voor bepaalde integralen – ook lastige – draait MathStudio zijn hand echter niet om, zodat we probleemloos een oplossingen vinden voor bijvoorbeeld Integrate(((x^2-1)/(x^2+1)) * (1/(Sqrt(1+x^4))),x,0,1).

Alhoewel MathStudio de nodige functies biedt die middelbare-schoolwiskunde verre te boven gaan (zoals Fourier- en Laplace-transformaties of de Riemann Zeta-functie) helpt het programma ons niet bij een van de meest fundamentele onderdelen van analyse: het symbolisch oplossen van differentiaalvergelijkingen, terwijl die nu juist bepalend zijn voor allerlei technisch en natuurkundig rekenwerk. Wolfram|Alpha kan daarbij overigens wél helpen.

©PXimport

Statistiek

Statistische modellen en berekeningen bepalen in toenemende mate onze wereld. De reden is dat veel processen zo complex zijn dat we er geen exacte kennis van (kunnen) hebben. Om in die situaties toch voorspellingen te doen, is statistiek – ondanks zijn zwaktes – het beste dat we hebben.

MathStudio biedt een groot aantal statistische functies die we los kunnen laten op lijsten met getallen (List). Ook kunnen we deze lijsten op allerlei manieren manipuleren en er elementen aan onttrekken.

Het programma kan data in zo’n lijst analyseren en bijvoorbeeld de mediaan uitrekenen. Ook kun je op lijsten allerlei regressiemodellen loslaten. Bij elk van die modellen behoren meerdere commando’s. Wil je bijvoorbeeld je data zien in een lineaire trend dan heb je de beschikking over LinearFit om een vergelijking te krijgen van de vorm y=ax+b, LinearFitModel om de coëfficiënten a en b en de betrouwbaarheid te zien en LinearFitPlot om de data en de gevonden regressiecurve grafisch weer te geven.

Je kunt in plaats daarvan ook de algemenere familie FindFit, FindFitModel en FindFitPlot gebruiken, omdat je daarin zelf een functie kunt definiëren waarvan je vermoedt dat die het best bij de data in de lijst past.

Grafieken in 2D

Nu het woord ‘plot’ al een paar keer is gevallen, komen we vanzelf bij een van de meer veelzijdige onderdelen van MathStudio: het weergeven van grafieken.

Het programma biedt uiteraard de mogelijkheid om de grafiek van een functie weer te geven (Plot) en daar kunnen we allerlei grafische opties aan toevoegen voor bijvoorbeeld de lijnkleur. Hebben we geen functie maar een lijst met data, dan kunnen we die grafisch weergeven met ListPlot (inclusief een gewenst regressietype) of BarPlot. Daar houdt de weergave van mogelijkheden op basis van losse getallen op.

Voor het weergeven van data op basis van vergelijkingen gaat MathStudio echter verder. Je kunt namelijk ook grafieken maken op basis van parametervergelijkingen (ParametricPlot) en via poolcoördinaten (PolarPlot). Daarnaast maakt het programma afbeeldingen van vectorvelden (VectorPlot).

©PXimport

Uiteraard wil je soms meerdere grafieken in één afbeelding zien en dat kan op één programmaregel met MultiPlot waarin je de verschillende varianten naar hartenlust kunt mixen. Je kunt ook de afzonderlijke plots elk op een eigen regel zetten en die vervolgens gezamenlijk evalueren.

Grafieken worden vrij klein weergeven, maar door erop te dubbelklikken maak je ze schermvullend.

Dat MathStudio een voortdurend evoluerend product is, merk je wanneer je een contourgrafiek probeert te maken. Alhoewel het commando ContourPlot wel in de lijst met commando’s staat, werkt het noch in de app, noch in de webversie!

Grafieken in 3D

Het aanbod aan 3D-grafieken zal ook voldoende zijn voor de meeste gebruikers. Met Plot3D maak je grafieken van functies in x en y. ParametricPlot3D is de ruimtelijke tegenhanger van de 2D-functie ParametricPlot. In plaats van één parameter u waarin je x en y uitdrukt, heb je nu de beschikking over parameters u en v om x, y en z in uit te drukken.

De ruimtelijke tegenhangers van het werken met poolcoördinaten zijn bolcoördinaten en cilindrische coördinaten (SphericalPlot3D en CylindricalPlot3D). Tot slot is er ook een ListPlot3D om x-, y- en z-coördinaten in een lijst grafisch weer te geven.

©PXimport

Ook nu kun je weer dubbelklikken op een grafiek om hem schermvullend te maken en waar de ingedrukte linkermuisknop in 2D dient om grafieken te verslepen, gebruik je hem in 3D om ze te roteren.

Tot slot bieden grafieken zowel in 2D als 3D nog een aanvullend kunstje dat handig is om inzicht te krijgen in het gedrag van variabelen of parameters: de tijdvariabele T. Deze wordt voortdurend automatisch vergroot en zet je grafieken in beweging. Zo kun je bijvoorbeeld achterhalen wat de a, b en c in a*x^2+b*x+c precies bijdragen aan de vorm en positie van de grafiek door elk om beurten te vervangen door T.

Scripts

Een druk op Enter evalueert een uitdrukking, maar Shift+Enter opent een nieuwe regel. Je kunt dus meerdere regels code invoeren en die gezamenlijk evalueren. En aangezien MathStudio ook zaken kent zoals lussen (For en While) en voorwaardelijke uitdrukkingen (If en ElseIf) kun je zo complete programma’s maken.

Als voorbeeld schrijven we een programmaatje dat ons paren priemgetallen toont met een verschil van 2 (of er daar oneindig veel van zijn is een beroemd openstaand vraagstuk in de wiskunde).

Eerst definiëren we een lijst met de eerste 100 (of hoeveel je maar wilt) priemgetallen met a=Prime(100). Dan maken we een lus die de waarden 1 tot en met 100 doorloopt: For i in 1..100. Bij een priemgetal is de som van de delers (DivisorSigma) 1 meer dan het getal zelf en voor een paar met verschil 2 is het verschil van die sommen dus ook 2.

Wanneer we de kleinste van de grootste aftrekken en met 2 verminderen, dan wijst elke waarde 0 dus op het gezochte paar met priemgetallen. Dat alles leidt tot: a(i)=DivisorSigma(a(i)+2)-DivisorSigma(a(i)-2. We sluiten de lus met end en vragen de lijst op met a. Tot slot kunnen we van de lijst een grafiek maken met ListPlot(a).

©PXimport

Gratis alternatieven

We hebben nu enkele van de belangrijkste functies van MathStudio belicht. Wie geen geld over heeft voor een product als Mathematica en onvoldoende mogelijkheden vindt in MathStudio heeft echter nog genoeg andere opties op gratis complexe rekenklussen uit te voeren.

Algemene programmeertalen kun je vaak inzetten voor rekenwerk door middel van programmabibliotheken. Zo zijn er voor Python onder andere de bibliotheken math en cmath (voor rekenen met complexe getallen). Daarnaast zijn er bibliotheken zoals NumPy en SciPy die functies toevoegen voor onder andere lineaire algebra, Fourier-transformaties en symbolische wiskunde.

Een gespecialiseerd technisch reken- en visualisatieplatform vinden we bij Julia en grote broer JuliaPro, die beiden de nodige studie vergen maar die zich vanwege hun snelheid lenen voor zware klussen.

Zeer veelzijdig is SageMath dat speciaal is bedoeld als opensource-alternatief voor een programma als Mathematica. Een deel van die veelzijdigheid komt uit de koppeling met andere producten zoals Maxima (symbolische wiskunde) en Tachyon (een raytracer).Een vergelijkbaar product dat ook gebruikmaakt van Maxima is de Euler Math Toolbox.

Wie zonder veel studie online aan de slag wil met een grote variatie aan wiskundige onderwerpen kan tot slot terecht bij de verschillende modules van Geogebra.

Je staat in de parfumerie en ziet drie flacons die er bijna identiek uitzien. De naam is hetzelfde en het merk is hetzelfde, maar het prijsverschil tussen die drie is groot. Dat komt doordat er eigenlijk drie verschillende varianten zijn: parfum, eau de parfum en eau de toilette. Hoewel het verleidelijk is om simpelweg op het prijskaartje af te gaan, is het slim om te weten wat je precies koopt. De verschillen tussen die drie zijn namelijk groter dan je denkt. Hoe dat precies zit, lees je hier.

Om de juiste keuze te maken, moet je eerst begrijpen hoe een geur eigenlijk in elkaar zit. In de basis bestaat elk luchtje uit een mengsel van alcohol, water en geurstoffen (ook wel parfumolie genoemd). De alcohol fungeert als de drager: zodra je sprayt, verdampt de alcohol en blijven de geurstoffen achter op je huid. Het grote onderscheid tussen de verschillende varianten zit hem puur in de concentratie van die parfumolie. De vuistregel is simpel: hoe hoger het percentage geurstoffen, hoe intenser de geur is en hoe langer je er plezier van hebt.

Parfum (extrait de parfum)

Als we het in de volksmond hebben over 'parfum', bedoelen we vaak gewoon een lekker luchtje. Maar in de officiële termen is parfum (of extrait de parfum) de meest pure en kostbare variant die je kunt kopen. Met een concentratie aan geurstoffen die meestal tussen de 20 en 40 procent ligt, is dit de absolute topklasse.

Omdat de concentratie zo hoog is, bevat deze variant relatief weinig alcohol. Dit maakt puur parfum vaak een uitstekende keuze voor mensen met een gevoelige huid, omdat alcohol de huid kan uitdrogen. De geur is vol, diep en blijft met gemak de hele dag - en vaak zelfs de volgende ochtend nog - hangen. Je hebt er extreem weinig van nodig; vaak wordt parfum daarom niet in een sprayfles verkocht, maar in een klein flesje waarmee je een paar druppels op de huid dept.

Eau de parfum (EDP)

Kijk je in het badkamerkastje van de gemiddelde Nederlander, dan is de kans groot dat je daar een eau de parfum aantreft. Met een geurconcentratie van 15 tot 20 procent biedt deze variant de gulden middenweg. Het is minder zwaar en olieachtig dan puur parfum, maar krachtig genoeg om een hele werkdag of een avond uit mee te gaan. Meestal blijft een eau de parfum zo'n zes tot acht uur goed waarneembaar.

Eau de parfum richt zich vaak op de zogenoemde 'hartnoten' van een geur. Dit zijn de geuren die tevoorschijn komen nadat de eerste alcohol is verdampt. Hierdoor is de geur vaak wat dieper en warmer, wat hem geschikt maakt voor zowel dagelijks gebruik als speciale gelegenheden.

Eau de toilette (EDT)

De term 'eau de toilette' klinkt chique, maar betekent letterlijk 'toiletwater'. Dit stamt uit de tijd dat men deze geur gebruikte om zich in de ochtend mee op te frissen ('toilet maken'). Deze variant is met een percentage van 5 tot 15 procent geurstoffen een stuk lichter en vluchtiger dan (eau de) parfum.

Waar een eau de parfum de diepte in gaat, focust een eau de toilette zich meestal op de toptonen. Dit zijn vaak frisse citrus- of fruitgeuren die je direct ruikt bij het sprayen, maar die ook sneller vervliegen. Een eau de toilette blijft gemiddeld drie tot vijf uur hangen. Het is dan ook een goede keuze voor mensen die niet van zware, bedwelmende geuren houden, of voor gebruik op kantoor waar je je collega's niet wilt overweldigen. Houd er wel rekening mee dat je deze geur halverwege de dag waarschijnlijk even opnieuw moet aanbrengen.

Prijs versus kwaliteit: wat is nu echt goedkoper?

Het lijkt een simpele rekensom: een grote fles eau de toilette is aan de kassa vaak goedkoper dan een klein flesje eau de parfum. Toch kan die goedkopere fles op de lange termijn duurkoop zijn. Omdat eau de toilette sneller vervliegt, heb je de neiging om royaal te sprayen en dit gedurende de dag te herhalen. Hierdoor gaat de fles veel sneller leeg.

Bij een eau de parfum of puur parfum is de aanschafprijs hoger, maar heb je aan één keer een beetje aanbrengen in de ochtend vaak genoeg voor de hele dag. Je doet dus aanzienlijk langer met de flacon.

Wanneer draag je wat?

Als je twijfelt over welke variant je moet kopen, laat dit dan afhangen van het seizoen en de gelegenheid. Warmte versterkt namelijk geur. In de zomer, wanneer je huid warm is, kan een zwaar parfum al snel te overheersend en plakkerig aanvoelen. Een lichte, frisse eau de toilette is dan perfect. In de winter is het juist andersom: kou zorgt ervoor dat geuren minder goed vrijkomen en snel wegvallen. In die maanden, en zeker 's avonds tijdens een diner of feestje, komt een rijkere eau de parfum of parfum veel beter tot zijn recht.

Haal alles uit je geur

Heb je eenmaal je keuze gemaakt, dan wil je natuurlijk dat je zo lang mogelijk lekker ruikt. Een veelgemaakte fout is het wrijven van de polsen na het sprayen. Doe dit niet; door de wrijving creëer je warmte die de geurmoleculen kapotmaakt, waardoor vooral de frisse toptonen direct verdwijnen en de geur vlakker wordt.

Daarnaast hecht parfum slecht op een droge huid. Wil je dat je geur echt lang blijft hangen? Smeer je huid dan eerst in met een geurloze bodylotion of een crème uit dezelfde geurlijn voordat je gaat sprayen. De vetten in de crème houden de geurstoffen vast, zodat jij - of je nu kiest voor eau de toilette of parfum - de hele dag heerlijk ruikt.

Traditionele oordopjes sluiten luisteraars af van hun omgeving, maar JBL gooit het met zijn nieuwe Sense Pro over een andere boeg. Het minispeakertje van dit zogenoemde open ear-model bevindt zich namelijk pal voor jouw gehoorgang. Met name in het verkeer is dat wel zo veilig, want tijdens het luisteren hoor je óók omgevingsgeluid. We nemen de proef op de som.

De JBL Sense Pro is een interessant product voor mensen die reguliere oordopjes niet zo prettig vinden zitten. Je hoeft deze apparaatjes namelijk niet in je oor te proppen. Met behulp van flexibele siliconen oorhaken blijven ze goed op hun plek zitten. Dankzij het zachte materiaal ervaar je tijdens lange luistersessies niet zo gauw irritaties. De Sense Pro zit erg comfortabel in de ronding van je oor. Bedenk wel dat je deze in-ears bij bepaalde activiteiten enigszins voelt wiebelen, bijvoorbeeld wanneer je wild met je hoofd draait of tijdens het sporten. Logisch, want de behuizing zit tenslotte niet klem in jouw gehoorgang. Het is een kwestie van wennen.

©Maikel Dijkhuizen

Accu en bediening

Zodra deze bluetooth-oordopjes na enige oefening eenmaal goed op hun plek zitten, kan het luisteren beginnen. Met een luistertijd van ongeveer acht uur op een enkele batterijlading houdt de Sense Pro het lang vol. De inbegrepen oplaadcase bevat een accu met een capaciteit van nog eens dertig uur. Na slechts tien minuten opladen kunnen de oortjes er weer vier uur tegenaan. Kortom, je hebt onderweg of op afgelegen plekken niet zo snel te maken met lege accu's.

De IP54-gecertificeerde behuizing is spatwaterdicht. Laat ze in de regen dus lekker zitten. Het linker- en rechteroordopje bevatten een klein aanraakpaneeltje. Tik eenmaal aan de linkerkant om het volume harder te zetten en tik tweemaal voor een zachter geluid. Je raakt het rechteroordopje aan om muziek te pauzeren en liedjes te skippen. Via het bedieningspaneel beantwoord je ook nog inkomende oproepen. Voor handsfree gesprekken zijn er maar liefst vier microfoons ingebouwd. Al met al werkt de bediening prima, zodat je jouw smartphone in je zak of tas kunt laten zitten.

©Maikel Dijkhuizen

Gedetailleerd geluid

Op audiovlak heeft JBL zijn zaakjes goed voor elkaar. De Sense Pro levert een kraakhelder geluid met een hoge detaillering. Zelfs bij het luisteren van bombastische muziekstukken zijn alle instrumenten duidelijk te horen. Met de standaard geluidsinstellingen blijft het basniveau voor muziekgenres als hiphop en dance wel iets achter. Geen probleem, want in de JBL Headphones-app pas je het geluid naar eigen smaak aan. Activeer bijvoorbeeld de equalizerinstelling 'Bass' of zelfs 'Extreme Bass'.

Als je graag naar films en series kijkt, komt de ondersteuning voor ruimtelijk geluid goed van pas. Zet in dat geval de optie 'Spatial Sound' aan en ervaar meer audio-effecten. Een nadeel is dat personen in jouw omgeving het geluid afkomstig van de Sense Pro wellicht kunnen horen. Dat komt door de open constructie van de oordopjes. Overigens geldt dit met name wanneer je het volume hoog hebt staan.

©Maikel Dijkhuizen

JBL Sense Pro kopen?

Zoek je in-ears met een goed geluid die jouw oren niet volledig afsluiten van de omgeving? Als je de hoge adviesprijs van 179,99 euro voor lief neemt, bevelen we de JBL Sense Pro van harte aan. Deze oordopjes zitten comfortabel en laten zich eenvoudig bedienen. Bovendien bieden ze ook nog eens een hoge audiokwaliteit en lange accuduur. De Sense Pro is in vijf kleurstellingen te koop.