Soms heb je aan een rekenmachine gewoon niet genoeg om een rekenkundig probleem op te lossen. Dan is zwaarder geschut nodig, maar dat is vaak moeilijk en/of duur. MathStudio biedt een mooie tussenweg – zelfs voor mensen zonder wiskundeknobbel. We helpen je op weg met deze MathStudio tutorial.

De onbetwiste koning van het technische rekenwerk en de daarbij vaak onmisbare visualisaties, is Mathematica. Helaas kost dat rekenmonster zelfs voor privégebruik al ruim 400 euro en vergt het flink wat studie om er mee aan de slag te kunnen. Gelukkig zijn er tegenwoordig heel wat gratis alternatieven, waaronder MathStudio.

MathStudio is optioneel beschikbaar als vriendelijk geprijsde app voor iOS en macOS, maar het aardige is dat we het product ook online kunnen gebruiken via mathstud.io en dan kost het ons niets.

Voordat we ons storten op de mogelijkheden van dat product, nemen we eerst een kijkje bij het onderdeel Ask (dat overigens ook als app verkrijgbaar is). Ask MathStudio is een probleemoplosser en wiskundehulp die je kunt gebruiken zonder dat je je in de syntax van MathStudio hoeft te verdiepen. Je kunt je vragen en opdrachten er gewoon in het Engels kwijt. Geen idee hoe je de vijfdemachtswortel uit 72 als commando moet formuleren? Geen nood, gewoon vragen om fifth root of 72.

Ask kan ook grafieken maken en die hebben in MathStudio een uitgebreide syntax om de opmaak naar je hand te zetten. Simpelweg vragen om graph x^2-2x+4 levert ook een bruikbare grafiek, ook al is het juiste commando eigenlijk Plot. We kunnen zelfs exacte functiewaarden opvragen via de knop Trace ofinzoomen door middel van het muiswiel en de knop Zoom (een mogelijkheid die in Firefox overigens niet werkt).

©PXimport

Om een idee te krijgen van het grote aantal dingen die je in gewoon Engels kunt vragen, biedt de Ask-pagina aan de rechterzijde een uitgebreide collectie voorbeelden verdeeld over verschillende rubrieken. Hier lees je hoe je Ask kunt gebruiken als eenvoudige rekenmachine (Basic Math), hoe je eenheden kunt converteren (Unit Conversions), hoe je vergelijkingen kunt oplossen (Algebra), hoe je functies kunt differentiëren en integreren (Derivatives en Integration), hoe je allerlei soorten grafieken kunt maken (Graphing) en nog veel meer.

Ask kan zelfs vragen beantwoorden over coördinaten van plaatsen (Location), het weer (Weather), beurskoersen (Stocks) en voedingswaarden (Nutrition).

Onder de antwoorden die Ask op onze vragen heeft gegeven zien we de link View results in MathStudio. Als we daarop klikken dan worden onze vragen automatisch vertaald naar de officiële syntax en verschijnen ze in het venster van MathStudio waar we ze desgewenst kunnen aanpassen.

Gericht rekenen

Nu we zijn aangekomen in het hoofdvenster van het eigenlijke MathStudio volstaan Engelstalige vragen of opdrachten niet langer en moeten we ons keurig aan de syntax van het systeem gaan houden. Gelukkig toont het venster aan de rechterzijde al een selectie met veelgebruikte soorten opdrachten op gebieden zoals rekenen, algebra, analyse, statistiek en het maken van grafieken. Het werkelijke aanbod aan functies is nog veel groter en dat vind je alfabetisch geordend onder Catalog.

Daarnaast vind je in het menu aan de linkerzijde een gedetailleerde handleiding onder Manual en dat is maar goed ook want we kunnen in dit artikel uiteraard slechts een globaal overzicht bieden.

Nu je eenmaal weet waar je terecht kunt voor het complete overzicht van alle mogelijke opdrachten, wordt het tijd om er eens enkele te bekijken om te zien wat voor onderwerpen MathStudio zoal dekt.

Functies manipuleren

Tot het standaardarsenaal van elke rekenmeester behoort het manipuleren van uitdrukkingen. MathStudio biedt daarvoor verschillende functies. Zo kunnen we formules proberen te vereenvoudigen met SimplifyFunction. Daarmee levert SimplifyFunction(sin(x+@pi/2)) bijvoorbeeld cos(x) als antwoord. Voor het manipuleren van goniometrische functies zijn er daarnaast commando’s als TrigExpand en TrigReduce.

Speciaal voor polynomen zijn er functies zoals Expand, Factor en Apart. Met die laatste delen we een breuk bestaande uit polynomen in losse delen. Expand en Factor zijn elkaars tegengestelde en zouden dus na herhaalde toepassing het beginresultaat moeten opleveren. Met een uitdrukking als Expand((x+2)^3) (antwoord 6x^2+12x+x^3+8) gevolgd door Factor(6x^2+12x+x^3+8) gebeurt dat ook keurig.

Vervangen we de 2 echter door een variabele a, dan slaagt het programma niet – iets waar Mathematica geen enkele moeite mee heeft. Daaruit leren we dat manipulatie van symbolische uitdrukkingen zo zijn beperkingen heeft.

©PXimport

Vergelijkingen oplossen

MathStudio kan verschillende soorten vergelijkingen oplossen via het commando Solve. Zo levert het programma keurig de reële en complexe wortels van polynomen en kunnen we ook goniometrische vergelijkingen oplossen, zoals Solve(sin(x)=Sqrt(2)/2).

Daarnaast kunnen we stelsels van vergelijkingen aanpakken, simpel door ze te scheiden met een komma, zoals: Solve(x^2+y^2=25, y=x^2) om de snijpunten van een cirkel en een parabool te vinden.

Een uitgebreidere variant op dit thema vinden we in SolveSystem, waarin we ook op kunnen geven voor welke variabelen we een oplossingen zoeken en in welk domein dat moet liggen.

Hét gereedschap om stelsels lineaire vergelijkingen te lijf te gaan, vinden we in matrices. Om daarmee te werken, is er een scala aan functies, bijvoorbeeld voor het vinden van de determinant(Det), het inverteren(Inverse) en het vinden van eigenwaardeneneigenvectoren(Eigenvalues en Eigenvectors).

Analyse

Op het gebied van analyse kunnen we functies differentiëren (met het commando D of pDiff voor partiële differentiatie) en integreren (Integrate), en is er een commando om limieten te vinden (Limit).

Als het gaat om differentiëren levert MathStudio goede prestaties waarbij we desgewenst in plaats van het D-commando een functie f(x) kunnen definiëren om vervolgens te vragen om f’(x).

Met niet al te ingewikkelde onbepaalde integralen heeft MathStudio ook geen moeite, maar de veelzijdigheid aan oplossingen is zeker niet vergelijkbaar met Mathematica.

Voor bepaalde integralen – ook lastige – draait MathStudio zijn hand echter niet om, zodat we probleemloos een oplossingen vinden voor bijvoorbeeld Integrate(((x^2-1)/(x^2+1)) * (1/(Sqrt(1+x^4))),x,0,1).

Alhoewel MathStudio de nodige functies biedt die middelbare-schoolwiskunde verre te boven gaan (zoals Fourier- en Laplace-transformaties of de Riemann Zeta-functie) helpt het programma ons niet bij een van de meest fundamentele onderdelen van analyse: het symbolisch oplossen van differentiaalvergelijkingen, terwijl die nu juist bepalend zijn voor allerlei technisch en natuurkundig rekenwerk. Wolfram|Alpha kan daarbij overigens wél helpen.

©PXimport

Statistiek

Statistische modellen en berekeningen bepalen in toenemende mate onze wereld. De reden is dat veel processen zo complex zijn dat we er geen exacte kennis van (kunnen) hebben. Om in die situaties toch voorspellingen te doen, is statistiek – ondanks zijn zwaktes – het beste dat we hebben.

MathStudio biedt een groot aantal statistische functies die we los kunnen laten op lijsten met getallen (List). Ook kunnen we deze lijsten op allerlei manieren manipuleren en er elementen aan onttrekken.

Het programma kan data in zo’n lijst analyseren en bijvoorbeeld de mediaan uitrekenen. Ook kun je op lijsten allerlei regressiemodellen loslaten. Bij elk van die modellen behoren meerdere commando’s. Wil je bijvoorbeeld je data zien in een lineaire trend dan heb je de beschikking over LinearFit om een vergelijking te krijgen van de vorm y=ax+b, LinearFitModel om de coëfficiënten a en b en de betrouwbaarheid te zien en LinearFitPlot om de data en de gevonden regressiecurve grafisch weer te geven.

Je kunt in plaats daarvan ook de algemenere familie FindFit, FindFitModel en FindFitPlot gebruiken, omdat je daarin zelf een functie kunt definiëren waarvan je vermoedt dat die het best bij de data in de lijst past.

Grafieken in 2D

Nu het woord ‘plot’ al een paar keer is gevallen, komen we vanzelf bij een van de meer veelzijdige onderdelen van MathStudio: het weergeven van grafieken.

Het programma biedt uiteraard de mogelijkheid om de grafiek van een functie weer te geven (Plot) en daar kunnen we allerlei grafische opties aan toevoegen voor bijvoorbeeld de lijnkleur. Hebben we geen functie maar een lijst met data, dan kunnen we die grafisch weergeven met ListPlot (inclusief een gewenst regressietype) of BarPlot. Daar houdt de weergave van mogelijkheden op basis van losse getallen op.

Voor het weergeven van data op basis van vergelijkingen gaat MathStudio echter verder. Je kunt namelijk ook grafieken maken op basis van parametervergelijkingen (ParametricPlot) en via poolcoördinaten (PolarPlot). Daarnaast maakt het programma afbeeldingen van vectorvelden (VectorPlot).

©PXimport

Uiteraard wil je soms meerdere grafieken in één afbeelding zien en dat kan op één programmaregel met MultiPlot waarin je de verschillende varianten naar hartenlust kunt mixen. Je kunt ook de afzonderlijke plots elk op een eigen regel zetten en die vervolgens gezamenlijk evalueren.

Grafieken worden vrij klein weergeven, maar door erop te dubbelklikken maak je ze schermvullend.

Dat MathStudio een voortdurend evoluerend product is, merk je wanneer je een contourgrafiek probeert te maken. Alhoewel het commando ContourPlot wel in de lijst met commando’s staat, werkt het noch in de app, noch in de webversie!

Grafieken in 3D

Het aanbod aan 3D-grafieken zal ook voldoende zijn voor de meeste gebruikers. Met Plot3D maak je grafieken van functies in x en y. ParametricPlot3D is de ruimtelijke tegenhanger van de 2D-functie ParametricPlot. In plaats van één parameter u waarin je x en y uitdrukt, heb je nu de beschikking over parameters u en v om x, y en z in uit te drukken.

De ruimtelijke tegenhangers van het werken met poolcoördinaten zijn bolcoördinaten en cilindrische coördinaten (SphericalPlot3D en CylindricalPlot3D). Tot slot is er ook een ListPlot3D om x-, y- en z-coördinaten in een lijst grafisch weer te geven.

©PXimport

Ook nu kun je weer dubbelklikken op een grafiek om hem schermvullend te maken en waar de ingedrukte linkermuisknop in 2D dient om grafieken te verslepen, gebruik je hem in 3D om ze te roteren.

Tot slot bieden grafieken zowel in 2D als 3D nog een aanvullend kunstje dat handig is om inzicht te krijgen in het gedrag van variabelen of parameters: de tijdvariabele T. Deze wordt voortdurend automatisch vergroot en zet je grafieken in beweging. Zo kun je bijvoorbeeld achterhalen wat de a, b en c in a*x^2+b*x+c precies bijdragen aan de vorm en positie van de grafiek door elk om beurten te vervangen door T.

Scripts

Een druk op Enter evalueert een uitdrukking, maar Shift+Enter opent een nieuwe regel. Je kunt dus meerdere regels code invoeren en die gezamenlijk evalueren. En aangezien MathStudio ook zaken kent zoals lussen (For en While) en voorwaardelijke uitdrukkingen (If en ElseIf) kun je zo complete programma’s maken.

Als voorbeeld schrijven we een programmaatje dat ons paren priemgetallen toont met een verschil van 2 (of er daar oneindig veel van zijn is een beroemd openstaand vraagstuk in de wiskunde).

Eerst definiëren we een lijst met de eerste 100 (of hoeveel je maar wilt) priemgetallen met a=Prime(100). Dan maken we een lus die de waarden 1 tot en met 100 doorloopt: For i in 1..100. Bij een priemgetal is de som van de delers (DivisorSigma) 1 meer dan het getal zelf en voor een paar met verschil 2 is het verschil van die sommen dus ook 2.

Wanneer we de kleinste van de grootste aftrekken en met 2 verminderen, dan wijst elke waarde 0 dus op het gezochte paar met priemgetallen. Dat alles leidt tot: a(i)=DivisorSigma(a(i)+2)-DivisorSigma(a(i)-2. We sluiten de lus met end en vragen de lijst op met a. Tot slot kunnen we van de lijst een grafiek maken met ListPlot(a).

©PXimport

Gratis alternatieven

We hebben nu enkele van de belangrijkste functies van MathStudio belicht. Wie geen geld over heeft voor een product als Mathematica en onvoldoende mogelijkheden vindt in MathStudio heeft echter nog genoeg andere opties op gratis complexe rekenklussen uit te voeren.

Algemene programmeertalen kun je vaak inzetten voor rekenwerk door middel van programmabibliotheken. Zo zijn er voor Python onder andere de bibliotheken math en cmath (voor rekenen met complexe getallen). Daarnaast zijn er bibliotheken zoals NumPy en SciPy die functies toevoegen voor onder andere lineaire algebra, Fourier-transformaties en symbolische wiskunde.

Een gespecialiseerd technisch reken- en visualisatieplatform vinden we bij Julia en grote broer JuliaPro, die beiden de nodige studie vergen maar die zich vanwege hun snelheid lenen voor zware klussen.

Zeer veelzijdig is SageMath dat speciaal is bedoeld als opensource-alternatief voor een programma als Mathematica. Een deel van die veelzijdigheid komt uit de koppeling met andere producten zoals Maxima (symbolische wiskunde) en Tachyon (een raytracer).Een vergelijkbaar product dat ook gebruikmaakt van Maxima is de Euler Math Toolbox.

Wie zonder veel studie online aan de slag wil met een grote variatie aan wiskundige onderwerpen kan tot slot terecht bij de verschillende modules van Geogebra.

De smartphones van Poco zijn over het algemeen goed geprijsd als je kijkt naar wat je ervoor terugkrijgt. De nieuwe Poco F8 Ultra heeft een prijskaartje van minimaal 800 euro. Gaat die regel ook hier op?

Want wat voor smartphone kun je precies aanbieden als je er net wat meer geld tegenaan gooit? Dat idee heeft een unieke telefoon opgeleverd, voorzien van een denimlook én een extra subwoofer achterop. Gewaagde keuzes, maar in een wereld waarin smartphones steeds meer naar elkaar toe groeien, en in hun identiteitscrisis meer en meer op iPhones gaan lijken, geen verkeerde ontwikkeling. Alleen daarom al zijn we enthousiast over de Poco F8 Ultra (Blue Denim-uitvoering).

Het helpt dan ook zeer dan de subwoofer daar niet alleen voor de show zit. Dit compacte speakertje geeft geluiden en audio meer dan genoeg ruimte om beter tot hun recht te komen vergeleken met reguliere smartphonespeakers. Weg is dat blikkige geluid, dat nu ruimte maakt voor warmere tonen en een bredere soundstage. Klinkt de muziek perfect? Dat kun je niet verwachten, maar we zijn desondanks onder de indruk van de Bose-luidspreker.

©Wesley Akkerman

Uniek en tof

De Poco F8 Ultra ligt prettig in de hand en voelt solide aan dankzij het aluminium frame. Met 220 gram is hij ook niet overdreven zwaar. Het fauxdenim op de achterkant draagt daarbij merkbaar bij aan de grip, waardoor hij niet snel uit je handen glipt. Juist door dat eigenzinnige uiterlijk is dit zo'n smartphone die je liever zonder hoesje gebruikt, ook al loop je daarmee iets meer risico op valschade.

Het grote amoled-paneel van 6,9 inch stelt evenmin teleur. Met zijn hoge resolutie (1.200 bij 2.608 pixels) en verversingssnelheid (120 Hertz) kom je niets tekort en oogt alles scherp en vlot. Het contrast is breed en zwartwaarden zijn diep, maar de kleuren kunnen soms net even wat flets ogen. Dat valt alleen op in directe vergelijkingen met andere smartphones; de kans is heel klein dat dit je hier iets van merkt in het dagelijkse gebruik of als je een minder geoefend oog hebt.

©Wesley Akkerman

©Wesley Akkerman

Wat je mag verwachten

Ook al draait de Poco F8 Ultra niet op de krachtigste processor die Qualcomm te bieden heeft, in de praktijk merk je daar weinig van. De Snapdragon 8 Elite Gen 5 voelt vlot aan bij multitasking en kan games zonder moeite aan, al moet je er wel rekening mee houden dat de Gen 5 warm (niet heet, gelukkig) kan worden wanneer je high-end spellen speelt. Niets om je zorgen over te maken, je zult hier namelijk je vingers niet aan branden.

Ook de accu stelt niet teleur. Met een capaciteit van 6.500 mAh haal je in veel gevallen probleemloos twee dagen, al hangt dat vanzelfsprekend af van hoe intensief je de smartphone gebruikt. Speel je veel games, dan loopt hij sneller leeg, maar opladen gaat razendsnel. Met een geschikte 100w-lader, die je zelf moet aanschaffen, zit de accu binnen ongeveer veertig minuten weer helemaal vol.

Camera en software

Toch is niet alles goud wat er blinkt. Onder de juiste lichtomstandigheden maakt de Poco F8 Ultra kleurrijke en gedetailleerde beelden. Zoomen is geen probleem en ook de selfiecam lijkt goed om te gaan met verschillende huidtypen. De groothoeklens presteert echter minder goed: kleuren komen minder goed uit de verf en details vallen weg. De avondmodus stelt teleur, met een overdaad aan exposure, gebrekkige kleurenaccuraatheid en trage vastlegging.

Aangezien Poco een dochteronderneming is van Xiaomi, draait het toestel op HyperOS 3.0. De Poco staat daardoor vol met overbodige en dubbele apps, waaronder die van Xiaomi, waarvan je het gros kunt verwijderen. Ook kom je her en der wat reclame tegen. Verder is het besturingssysteem vlot en overzichtelijk, twee eigenschappen die we extreem belangrijk vinden. Je krijgt tot slot 'maar' vier Android-upgrades, evenals zes jaar aan beveiligingsupdates.

Poco F8 Ultra kopen?

Ondanks de kanttekeningen die we plaatsen bij de software- en camera-ervaringen, zijn er eigenlijk weinig redenen om niet voor de Poco F8 Ultra te kiezen. Hij oogt uniek, vindt in de subwoofer een handige toevoeging en voelt stevig aan. De door ons geteste Denim Blue-uitvoering heeft bovendien een faux denimlaagje op de achterkant voor extra grip (wat deze uitvoering wel een paar gram zwaarder maakt dan de Poco F8 Ultra Black). De prijs is misschien gevoelsmatig nog wat hoog, zeker voor dit merk. Maar zakt de prijs richting de 600 euro, dan krijg je een toptoestel dat zijn prijs meer dan waarmaakt en waar je langdurig plezier van hebt.

52137934

Spatial audio, oftewel ruimtelijke audio, belooft een luisterervaring waarbij het geluid niet alleen van links en rechts komt, maar je volledig omringt. Hoewel de marketingkreten je geregeld om de oren vliegen, is de techniek niet in elke situatie even zinvol. In dit artikel ontdek je wanneer ruimtelijke audio je ervaring verrijkt en wanneer je prima zonder kunt.

Vergeet het statische geluid van je oude vertrouwde stereo-set. Met spatial audio krijgt geluid eindelijk de diepte die het verdient. Dankzij slimme algoritmes die de akoestiek van de echte wereld nabootsen, ontsnapt de audio aan je koptelefoon of soundbar. Geluid beweegt vrij door de kamer, waardoor een helikopter in een film ook echt boven je hoofd lijkt te cirkelen. Het is de overstap van een platte foto naar een hologram, maar dan voor je oren.

Bioscoopervaring thuis

De meest logische toepassing voor spatial audio is zonder twijfel de moderne filmervaring. Wanneer je een blockbuster kijkt die is gemixt in formaten zoals Dolby Atmos, komt de techniek pas echt tot leven. Een helikopter die overvliegt of regen die op een dak klatert, krijgt een verticale dimensie die voorheen onmogelijk was met een standaard hoofdtelefoon of een simpele soundbar.

Voor filmliefhebbers die niet de ruimte hebben voor een volledige surround-installatie met fysieke speakers in het plafond, biedt spatial audio een overtuigend en compact alternatief dat de zogenaamde immersie aanzienlijk vergroot.

©ER | ID.nl

Muziek met een extraatje

Voor muziek is het nut van ruimtelijke audio iets genuanceerder en sterk afhankelijk van de productie. Bij klassieke concerten of live-opnames kan de techniek je het gevoel geven dat je midden in de concertzaal zit, waarbij de akoestiek van de ruimte tastbaar wordt. Ook bij moderne popmuziek die specifiek voor dit formaat is geproduceerd, kunnen artiesten creatiever omgaan met de plaatsing van instrumenten of subtiele geluidseffecten.

Toch blijft voor de purist die zweert bij een eerlijke, ongefilterde weergave van een studio-album de traditionele stereomix vaak de voorkeur genieten, omdat spatial audio de oorspronkelijke balans soms onnatuurlijk kan veranderen.

Gaming en de functionele voorsprong

In de wereld van gaming verschuift de waarde van spatial audio van puur esthetisch naar functioneel. Vooral in competitieve shooters is het horen van de exacte positie van een tegenstander een serieus dingetje. Door gebruik te maken van ruimtelijke audio kun je voetstappen boven, onder of achter je nauwkeurig lokaliseren. Dat geeft niet alleen een intensere spelervaring waarbij je volledig wordt opgeslokt door de spelwereld, maar biedt ook een tactisch voordeel dat met standaard audio simpelweg niet te evenaren is. Hierdoor is de techniek voor fanatieke gamers bijna onmisbaar geworden.

Wanneer kun je het beter uitschakelen?

Ondanks de indrukwekkende demonstraties is spatial audio niet altijd de beste keuze. Voor dagelijks gebruik, zoals het luisteren naar podcasts of het kijken van het journaal, voegt de extra ruimtelijkheid weinig toe en kan het de verstaanbaarheid van stemmen zelfs negatief beïnvloeden. Ook bij oudere opnames die door softwarematige kunstgrepen naar ruimtelijk geluid worden omgezet, ontstaat er vaak een hol en onnatuurlijk resultaat. In dergelijke gevallen is een zuivere stereoweergave nog altijd de meest betrouwbare weg naar een prettige luisterervaring.