Er zijn heel wat tools waarmee je (online) rekenwerk kunt verrichten, maar weinige zijn zo veelzijdig als GeoGebra. De naam is een samentrekking van de woorden geometrie en algebra, het is zowel online beschikbaar als via apps voor vrijwel elk platform.

GeoGebra heeft een lange geschiedenis die meer dan twintig jaar teruggaat. Het project werd ooit opgezet om het leren en onderwijzen van met name algebra en meetkunde te vereenvoudigen, maar is vanwege zijn vele gereedschappen ook zeer geschikt om zelf allerlei (reken)problemen mee op te lossen. Bovendien is GeoGebra door de jaren uitgebreid naar nog meer wiskundige vakgebieden, zoals statistiek en analyse.

Korte rondleiding

De thuisbasis van GeoGebra is www.geogebra.org. Als de site niet standaard in het Nederlands verschijnt, kun je onderaan de pagina op de wereldbol klikken. Je kunt dan de gewenste taal selecteren.

Op de site vind je verschillende modules die je los of gecombineerd kunt gebruiken. Zo is er de 3D Rekenmachine voor het maken van 3D-grafieken, de Grafische rekenmachine voor het maken van 2D-grafieken, de Wetenschappelijke rekenmachine voor het maken van (wiskundige) berekeningen en de CAS Rekenmachine voor 2D-grafieken en algebra. De Rekenmachine suite combineert deze modules en voegt daar kansberekening aan toe.

Daarnaast vind je op de hoofdpagina links naar GeoGebra Klassiek, de oorspronkelijke combinatie van meetkunde en algebra, het onderdeel Meetkunde, dat zich specifiek richt op het oplossen van meetkundige vraagstukken en het Notitieblok, waarmee je illustraties kunt maken.

Met het onderdeel Toetsen kunnen docenten examenvragen maken die offline kunnen worden gebruikt en tot slot heb je toegang tot heel veel lesmateriaal en bronnen voor het leren werken met GeoGebra.

Meetkunde

De Griekse wiskundige Euclides leefde zo’n 2300 jaar geleden en is vooral bekend van De Elementen, een serie geschriften waarin hij onder andere in Boek 1 de basisbeginselen van de zogeheten vlakke meetkunde uitwerkt. Hierin bewijst hij vanuit een vijftal vooronderstellingen (axioma’s) allerlei zaken over lijnen, cirkels, driehoeken enzovoort. De manier waarop hij dat deed, staat sindsdien model voor het uitbreiden van kennis door middel van logisch redeneren en daarom vormde De Elementen zo’n 2000 jaar lang (!) verplicht studiemateriaal voor iedereen die een hogere opleiding volgde en is het nog altijd goede kost om de geest te scherpen.

Eén van de te bewijzen stellingen over gelijkzijdige driehoeken in het begin van De Elementen (Propositie 5) werd bekend onder de naam Pons Asinorum, Latijn voor ezelsbrug. Waar dat bij ons een mentaal hulpmiddel betekent, staat het oorspronkelijk juist voor een probleem dat bepaalde of je slim genoeg was om door te gaan.

Constructie

De klassieke meetkunde van Euclides maakt gebruik van constructies met een passer en een liniaal. Die laatste dient alleen voor het tekenen van rechte lijnen en heeft geen maatstrepen. Het zal je verbazen hoeveel Euclides (en zijn navolgers in latere eeuwen) met die eenvoudige gereedschappen kon ontdekken. In het onderdeel Meetkunde van GeoGebra kun je zelf aan de slag met een digitale passer en liniaal.

Objecten

In het venster links zie je onder Basisknoppen een handvol objecten die je kunt maken. Met Punt, Lijnstuk, Lijn en Cirkel bewijst Euclides hoe je bijvoorbeeld een lijnstuk in twee gelijke delen kunt delen. Om zo’n middelpunt in latere constructies niet telkens opnieuw te hoeven maken, kun je dit soort meer geavanceerde objecten in Meetkunde ook in één keer maken. Klik daarvoor op Meer. Behalve Constructies kun je ook andere elementen toevoegen, zoals tekst. Scrol je naar beneden dan kun je nogmaals op Meer klikken voor extra mogelijkheden.

Voorbeeld

Klik op Nieuw punt en klik vervolgens op drie verschillende plekken in het rechterschermdeel. Zoals je ziet, worden de drie punten die je daarmee hebt geplaatst naar goed meetkundig gebruik automatisch van een letter voorzien. Kies nu Lijnstuk onder Basisknoppen en klik op punt A. Klik vervolgens op punt B. A en B zijn nu verbonden. Maak op dezelfde manier de driehoek af.

Klik nu onder Constructies op Midden of middelpunt en klik vervolgens op een willekeurige plek op elk van de drie lijnen. Het programma plaatst nu in elk daarvan een middelpunt en voorziet ook die van een letter.

Kies nu Cirkel met middelpunt onder Basisknoppen. Klik op punt A en punt E om een cirkel te maken met straal AE. Doe hetzelfde voor C en F en voor B en D.

Opmaak

Klik je onder Basisknoppen op Verplaatsen, dan kun je elk van de oorspronkelijke (blauwe) punten verslepen. Daarbij blijven de eigenschappen van je constructie in stand. De cirkel door E met middelpunt A blijft dus door E gaan, ook als je A verplaatst.

Klik je onder Bewerken op Selecteer object, dan kun je lijnen, cirkels en dergelijke selecteren. Klik bijvoorbeeld op één van de cirkels. Er verschijnt nu een pop-upmenu met vier pictogrammen.

De eerste drie geven snel toegang tot Kleuren, Labels en Verwijderen, maar de vierde (de drie puntjes) is het krachtigst. Hiermee krijg je via Instellingen toegang tot álle mogelijkheden, variërend van het kiezen van een vaste kleur tot zeer geavanceerde mogelijkheden, zoals kleuren op basis van berekeningen en het maken van scripts.

Gewapend met deze kennis kun je zelf de meest ingewikkelde constructies maken en meetkundige problemen oplossen.

Tabblad Algebra

Uiterst links is standaard het tabblad Macro’s geselecteerd, waarin je de elementen voor je constructie kunt kiezen, aanpassen en verwijderen. Daarnaast is er het tabblad Algebra. Die naam is op het eerste gezicht wat verwarrend, want wat je er ziet is de geschiedenis van een constructie die je hebt gemaakt. Helemaal onderaan zie je ook een zwart pictogram in de vorm van een klein toetsenbord. Daarmee open je een toetsenbord met meerdere tabs waarmee je berekeningen en allerlei geavanceerde functies aan je constructie kunt toevoegen. Klik daarvoor op de drie puntjes boven het toetsenbord. Je ziet dan een helpfunctie met alle concepten die het programma kent. Klik je op een concept, dan verschijnen links daarvan één of meer commando’s. Klik je daarop, dan wordt of worden deze aan je lijst met constructiestappen toegevoegd.

Instellingen

Rechtsboven in het tekenscherm vinden we achter het tandwielpictogram de nodige nuttige instellingen. Bij traditionele meetkunde worden geen roosters gebruikt, maar bij veel andere varianten wel. Ook zijn assen en roosters handig wanneer je constructietekeningen met bekende afstanden wilt maken. Hier kun je niet alleen assen en roosters inschakelen, maar ook het rooster magnetisch maken, zodat punten die je plaatst altijd exact samenvallen met roosterpunten. Via Instellingen kun je bovendien de eigenschappen van assen en roosters aanpassen.

Ook zie je in het menu Wis spoor. Wanneer je een punt in je constructie selecteert, dan kun je namelijk aangeven dat GeoGebra een spoor moet tekenen wanneer het direct of indirect wordt verplaatst. Dit is de plek om dat spoor weer op te ruimen.

Menu

Linksboven (drie streepjes) vind je het menu van GeoGebra. Hier kun je het eindresultaat van een constructie als afbeelding opslaan of afdrukken. Je kunt je werk ook online opslaan. Daardoor kun je er op een later tijdstip ook vanaf een ander platform verder aan werken en als je het werkstuk openbaar maakt, kunnen andere gebruikers stap voor stap je constructie volgen. Dit is het educatieve aspect van GeoGebra waarop we in de paragraaf 'Educatie' nog terugkomen. Je kunt je werk ook privé opslaan. Om je werk lokaal te kunnen opslaan, moet je eerst een gratis account aanmaken.

Kies je in dit menu Open, dan krijg je niet alleen toegang tot je eigen werk, maar ook de tot het vele materiaal dat anderen gemaakt hebben.

CAS Rekenmachine

We keren terug naar de startpagina van GeoGebra en nemen nu een kijkje bij de CAS Rekenmachine (CAS staat voor Computer Algebra Systeem).

Ditmaal komen we terecht in een scherm dat doet denken aan het scherm van het onderdeel Meetkunde, zoals we dat op het laatst hadden ingericht, dus met assen, een rooster en een toetsenbord voor het invoeren van formules. Wat anders is zijn de tabbladen; hier Algebra en Tabel. In dit onderdeel kunnen we onder andere 2D-grafieken maken.

Voorbeeldgrafiek

Klik op het toetsenbordje op de x en op het pictogram daaronder om een kwadraat te maken. Klik vervolgens op +, op y en nogmaals op het Kwadraat-pictogram. Klik tot slot op = en 1 en toets Enter. Er verschijnt een kleine cirkel met straal 1.

Om de cirkel wat groter te maken, kun je inzoomen met het muiswiel of met het Zoom-pictogram rechtsonder.

Links zie je de formule die je hebt ingevoerd (de impliciete vergelijking voor een cirkel). Klik op de drie puntjes erachter en kies Dupliceer invoer. Klik op de tweede formule en verander beide kwadraten in een 4. Na een druk op Enter wordt de nieuwe grafiek getekend die het midden houdt tussen een vierkant en een cirkel. Klik op deze grafiek en klik op het Kleur-pictogram (verf-emmertje). Klik op rood en vervolgens op een lege plek en je hebt twee verschillend gekleurde grafieken.

Klik nu op het tabblad Tabel. Hierin staat de linkerkolom voor x-waarden en de rechter voor y-waarden. Hier kun je uitsluitend getallen invoeren en dit deel gebruik je om bijvoorbeeld een grafiek van de gemeten gegevens te maken.

Klik je op de drie puntjes in de y-kolom dan kun je via Regressie je meetpunten automatisch verbinden.

Het maken van grafieken vormt slechts een klein deel van de mogelijkheden van de CAS Rekenmachine. Je kunt hier bijvoorbeeld ook afgeleiden en integralen berekenen.

3D

Waar we met (onder andere) de CAS Rekenmachine grafieken in het platte vlak kunnen maken, gaan we met de 3D Rekenmachine de ruimte in. De bediening lijkt op die van de eerder besproken onderdelen.

In CAS kun je 2D-grafieken maken op basis van een functie van x of van parametrische vergelijkingen. Ook kun je werken met impliciete vergelijkingen (zoals wij in ons voorbeeld deden) en kun je naast rechthoekige coördinaten ook werken met poolcoördinaten. De 3D-tegenhanger ondersteunt ook al deze varianten, waarbij je in plaats van poolcoördinaten kunt kiezen voor cilindrische of bolcoördinaten.

3D Voorbeeld

Op basis van het 2D-voorbeeld weet je inmiddels hoe je een formule kunt invoeren. In de 3D Rekenmachine kiezen we voor 4x2+y2+z2=16. Na een druk op de Enter-knop verschijnt de grafiek.

In de 3D Rekenmachine kun je niet alleen grafieken maken op basis van formules. In het tabblad Knoppen vind je namelijk ook allerlei objecten. Om ze allemaal te zien, moet je op Meer klikken. Klik bijvoorbeeld op Piramide, klik vervolgens op vier punten op de x- en y- as (in het grondvlak, bijvoorbeeld (4,0,0), (0,6,0), (-4,0,0) en (0,-6,0)). Klik tot slot op de z-as op het punt (0,0,4) en daar is je piramide.

Ook nu kun je het uiterlijk van alles wat je maakt weer volop naar je hand zetten.

Apps

De web-versies van de verschillende onderdelen van GeoGebra werken uitstekend, maar werk je liever lokaal, dan kan dat ook. Op deze pagina vind je alle modules als download voor Windows. Verschillende zijn ook beschikbaar voor macOS en de oerversie GeoGebra Classic is er bovendien voor Linux.

Alle modules zijn daarnaast beschikbaar voor iOS en Android. Zoek je in de appstore voor een van beide op het trefwoord 'geogebra', dan vind je alle beschikbare producten. 

Educatie

Omdat je het werk dat je maakt met GeoGebra online kunt opslaan en kunt delen, biedt de website een gigantische hoeveelheid voorbeelden om mee te spelen. Op de startpagina van GeoGebra zie je de rubriek Aanbevolen materiaal en klik je daarachter op Alle dan kom je op een pagina waar je door het complete aanbod kunt bladeren.

Onder de voorbeelden onder Aanbevolen materiaal (verdeeld over verschillende niveaus), vind je een zoekboom waarmee je door verschillende disciplines binnen de wiskunde kunt bladeren. Klik bijvoorbeeld op Algebra. Zoals je ziet, kun je ook daarbinnen weer navigeren, bijvoorbeeld door te klikken op Breuken. Je ziet nu alle openbare bestanden binnen dat thema. We openen Breuken optellen (niveau 3). Dit werkblad is een typisch voorbeeld van een overhoring en daarom kun je het niet aanpassen. Er zijn ook vele werkbladen waar je wel onder de motorkap kunt kijken om meer de leren over de vele mogelijkheden van GeoGebra.

Zelf leren

We hebben maar een fractie van de vele mogelijkheden kunnen bespreken die GeoGebra en zijn verschillende modules te bieden hebben. Klik je vanaf de startpagina op Toon alle achter Initiatiehandleidingen, dan kom je op een pagina met een dertigtal boeken waarmee je zelfs de meest geavanceerde technieken leert om niet alleen berekeningen te maken, maar ook je eigen gebruikersinterfaces te bouwen.

Bij ID.nl zijn we gek op producten waar je niet de hoofdprijs voor betaalt. Daarom speurt de redactie een aantal keer per week naar zulke deals. Nu de zomervakantie weer bijna ten einde is, gaan de kinderen weer naar school. Bij sommige scholen hebben leerlingen een laptop nodig om lessen te kunnen volgen. Wij vonden vijf uiteenlopende laptops voor een mooie prijs.

Op zoek naar een nieuwe laptop, bijvoorbeeld voor school of studie? Er is ruime keuze, maar welke laptop moet je nu hebben zonder teveel geld uit te geven? Wij vonden een vijftal betaalbare laptops met uitstekende prestaties.

Acer Aspire 3 A317-54-50KW

Met zijn grote 17,3‑inch scherm biedt de Acer Aspire 3 een fijne werkruimte voor wie graag overzicht houdt. Perfect voor multitasken, tekstverwerken of genieten van een film zonder voortdurend te moeten scrollen of zoomen. De snelle Intel-processor is er wel eentje van een eerdere generatie (11e), terwijl we nu bij de 13e generatie zijn aanbeland. Dit maakt het desondanks gezien het grote scherm een heel aantrekkelijke laptop. Wat wel iets is om rekening mee te houden: het werkgeheugen kun je niet uitbreiden; 8 GB kan al snel aan de krappe kant zijn.

Processor: Intel Core i5-1135G7 (11e generatie)
Werkgeheugen: 8 GB (niet uitbreidbaar)
Opslag: 512 GB SSD (uitbreidbaar tot 1 TB)
Beeldscherm: 17,3 inch

HP  15‑fd0951nd

De HP 15‑fd0951nd combineert moderne prestaties met een strak ontwerp. Binnenin draait een Intel Core i5‑processor van de 13e generatie, aangevuld met 8 GB RAM en een snelle 512 GB SSD. Ideaal voor werken met documenten, browsen en videobellen in hoge kwaliteit. Het 15,6‑inch Full HD‑beeldscherm biedt voldoende scherpte en ruimte voor comfortabel gebruik, en extra’s zoals een webcam met privacy-schuifje, ruisonderdrukking en een vingerafdrukscanner maken deze laptop net iets slimmer dan de gemiddelde allrounder. Wil je meer werkgeheugen, dan kun je de interne geheugenmodule vervangen door een 16 GB SO-DIMM-module, er is één enkel slot aanwezig. De SSD-opslag is tot 1 TB uit te breiden.

Processor: Intel Core i5-1334U
Werkgeheugen: 8 GB (uitbreidbaar tot 16 GB)
Opslag: 512 GB SSD (uitbreidbaar tot 1 TB)
Beeldscherm: 15,6 inch

ASUS Vivobook Go 14 E1404FA

De ASUS Vivobook Go 14 is een handige, compacte laptop die opvallend makkelijk mee te nemen is. Met zijn lichte behuizing en 14‑inch scherm is hij gemaakt voor onderweg of flexibel thuiswerken. De prestaties zijn prima afgestemd op dagelijkse taken zoals tekstverwerking, internetten en streamen, en dankzij het efficiënte ontwerp werk je stil en zonder afleiding. De vormgeving is modern en praktisch, zonder overbodige franje – gewoon een betrouwbare laptop die doet wat je ervan verwacht. Geheugen uitbreiden is niet mogelijk, wel kun je de interne M.2-ssd vervangen door een exemplaar van maximaal 2 TB.

Processor: AMD Ryzen 5 7520U
Werkgeheugen: 8 GB (niet uitbreidbaar)
Opslag: 512 GB SSD (uitbreidbaar tot max 2 TB)
Beeldscherm: 14 inch

Samsung Galaxy Book4 NP750XGJ‑KS3NL

De Samsung Galaxy Book4 combineert kracht en stijl in één compleet pakket. De aluminium behuizing oogt strak en professioneel, terwijl het 15,6‑inch Full HD‑scherm met IPS-technologie scherpe beelden levert met weinig reflectie. Binnenin werkt een 13e generatie Intel Core i5‑processor samen met 8 GB geheugen en een snelle 512 GB SSD – ruim voldoende voor veeleisende taken. Je start snel op via de ingebouwde vingerafdrukscanner en profiteert van moderne verbindingen zoals Wi-Fi 6. Alles bij elkaar een veelzijdige laptop dus, maar je kunt het geheugen van deze laptop niet uitbreiden.

Processor: Intel Core i5-1335UWerkgeheugen: 8 GB (niet uitreidbaar)
Opslag: 512 GB SSD (uitbreidbaar tot 2 TB)
Beeldscherm: 15,6 inch

Lenovo IdeaPad Slim 3 - 15.6 inch

De Lenovo IdeaPad Slim 3 is een compacte, stijlvolle laptop die uitblinkt in snelheid en gebruiksgemak. Dankzij de 13e generatie Intel Core i5‑processor schakel je razendsnel tussen programma’s. Ook prettig is het grote werkgeheugen van 16GB. Het 15,6‑inch Full HD‑scherm met IPS‑technologie zorgt voor een scherp en helder beeld, ideaal voor werk en studie. En met Dolby Audio heb je mooi, vol geluid tijdens videobellen of het streamen van series, en met handige extra’s zoals een vingerafdrukscanner en snelladen is hij verrassend compleet voor zijn klasse.

Processor: Intel Core i5-13420H
Werkgeheugen: 16 GB (niet uitbreidbaar)
Opslag: 512 GB SSD (uitbreidbaar tot 1 TB)
Beeldscherm: 15,6 inch

De zomer is in volle gang en dat betekent: barbecues, ijsjes en koude drankjes – en dus een overvol vriesvak. Herkenbaar? Met een extra vriezer heb je daar geen last meer van. Je kunt groot inkopen, alvast maaltijden invriezen voor drukke werkdagen (nog even niet aan denken!) en je hebt altijd iets in huis voor onverwachte gasten.

Partnerbijdrage - in samenwerking met Bemmel & Kroon

Tafelmodel vriezers: ideaal voor erbij

Heb je geen plek voor een grote vrieskast, dan is een tafelmodel vriezer een slimme keuze. Deze compacte modellen zijn ongeveer zo hoog als een aanrecht en passen gemakkelijk in een bijkeuken, de garage of schuur of op zolder. Ideaal als je wat extra ruimte nodig hebt voor ijsjes, barbecuevlees of restjes van een zomerse maaltijd. Ze hebben altijd meerdere lades – meestal tussen de twee en vier – zodat je alles netjes kunt indelen en snel terugvindt wat je zoekt. 

©Hedgehog94

Vrijstaande vriezers: overzichtelijk, ruim en praktisch

Heb je meer ruimte nodig of wil je grotere hoeveelheden invriezen, dan is een vrijstaande vriezer een uitkomst. Je kunt er makkelijk een voorraad vlees, brood, zomerfruit of zelfgekookte maaltijden in kwijt. De netto inhoud varieert flink: kleinere modellen beginnen rond de 150 liter, maar er zijn ook vriezers van ruim 250 liter of meer. Zo kun je de inhoud echt afstemmen op je huishouden.

Vrijstaande vriezers hebben meestal tussen de vier en zeven vrieslades, wat het indelen van alles wat je wilt invriezen een stuk overzichtelijker maakt. Let bij het kiezen ook op het geluidsniveau, vooral als je de vriezer in een open keuken of bijkeuken zet. Modellen met 36 decibel of minder zijn zeer stil en nauwelijks hoorbaar. Zit het geluidsniveau tussen 37 en 39 decibel, dan hoor je af en toe een zachte zoemtoon. Alles vanaf 40 decibel wordt als normaal geluid beschouwd. Ter vergelijking: elke 3 decibel erbij verdubbelt het volume.

Veel vriezers hebben een snelvriesfunctie die nieuwe producten razendsnel invriest, zodat de temperatuur in de rest van de vriezer stabiel blijft. Bij Liebherr heet dit bijvoorbeeld SuperFrost en bij AEG Frostmatic. Ook fijn: sommige modellen hebben een deur- of temperatuuralarm, dat afgaat als de deur te lang openstaat of als de temperatuur te ver oploopt. Handig bij stroomuitval of als iemand de deur per ongeluk heeft laten openstaan.

💡 Tip: Kijk naar het energielabel

Vriezers hebben sinds maart 2021 een nieuw energielabel met klassen van A tot G, waarbij A en B het zuinigst zijn. Er zijn nog niet veel vriezers met een A- of B-label. Wil je een zuinige vriezer, dan zit je goed met C (het oude A+) en D (het oude A). Ook E (het oude B) is nog redelijk zuinig. Vriezers met een F- en G-label zijn onzuinig. Speelt het verbruik een belangrijke rol bij jouw keuze? Dan is dit iets om rekening mee te houden. Op het energielabel vind je ook het energieverbruik in kWh/jaar terug. Wanneer je je stroomprijs weet, kun je berekenen wat je jaarlijkse kosten zijn. 

No Frost: nooit meer ontdooien

No Frost is een technologie in vriezers die automatisch ijsvorming voorkomt. In plaats van dat vocht uit de lucht bevriest op de wanden en roosters zoals bij gewone vriezers, zorgt No Frost ervoor dat dit vocht wordt afgevoerd voordat het kan bevriezen. Dit betekent dat je nooit meer hoeft te ontdooien en geen ijslaag meer krijgt op wanden, roosters of verpakkingen. Je houdt meer netto vriesruimte over omdat er geen ruimteverlies is door ijs, terwijl de temperatuur stabieler blijft en verpakkingen niet aan elkaar vastvriezen. Bovendien is een No Frost vriezer energiezuiniger omdat er geen isolerende ijslaag ontstaat die de koeling belemmert, en zorgt de betere luchtstroom voor een gelijkmatigere koeling door de hele vriezer.

©Tolstoy | Prozorov Andrey

Sterk merk: Liebherr

Wie op zoek is naar een vriezer die jarenlang meegaat, komt vaak uit bij Liebherr vriezers. Dit Duitse merk staat voor degelijke techniek, stille compressoren en een uitstekende isolatie. Dat Liebherr vertrouwen heeft in zijn eigen producten, blijkt uit de standaard garantie van 8 jaar die op vriezers wordt gegeven – dat is flink langer dan bij veel andere merken. Het assortiment is uitgebreid, van compacte tafelmodellen en ruime vrijstaande vriezers tot vrieskisten. Ze zijn vaak uitgerust met No Frost-technologie, robuuste lades en praktische functies zoals temperatuuralarmen. Hoewel Liebherr in de hogere prijsklasse zit, verdient de investering zich terug door de lange levensduur en lage onderhoudskosten.

©Liebherr

Conclusie: een extra vriezer is altijd handig!

Of het nu gaat om ruimte voor ijsjes en barbecuevlees, of om ruimte voor al je ingevroren maaltijden en seizoensproducten: een extra vriezer maakt het leven een stuk gemakkelijker. Natuurlijk niet alleen in de zomer, maar het hele jaar door!