Er zijn heel wat tools waarmee je (online) rekenwerk kunt verrichten, maar weinige zijn zo veelzijdig als GeoGebra. De naam is een samentrekking van de woorden geometrie en algebra, het is zowel online beschikbaar als via apps voor vrijwel elk platform.

GeoGebra heeft een lange geschiedenis die meer dan twintig jaar teruggaat. Het project werd ooit opgezet om het leren en onderwijzen van met name algebra en meetkunde te vereenvoudigen, maar is vanwege zijn vele gereedschappen ook zeer geschikt om zelf allerlei (reken)problemen mee op te lossen. Bovendien is GeoGebra door de jaren uitgebreid naar nog meer wiskundige vakgebieden, zoals statistiek en analyse.

Korte rondleiding

De thuisbasis van GeoGebra is www.geogebra.org. Als de site niet standaard in het Nederlands verschijnt, kun je onderaan de pagina op de wereldbol klikken. Je kunt dan de gewenste taal selecteren.

Op de site vind je verschillende modules die je los of gecombineerd kunt gebruiken. Zo is er de 3D Rekenmachine voor het maken van 3D-grafieken, de Grafische rekenmachine voor het maken van 2D-grafieken, de Wetenschappelijke rekenmachine voor het maken van (wiskundige) berekeningen en de CAS Rekenmachine voor 2D-grafieken en algebra. De Rekenmachine suite combineert deze modules en voegt daar kansberekening aan toe.

Daarnaast vind je op de hoofdpagina links naar GeoGebra Klassiek, de oorspronkelijke combinatie van meetkunde en algebra, het onderdeel Meetkunde, dat zich specifiek richt op het oplossen van meetkundige vraagstukken en het Notitieblok, waarmee je illustraties kunt maken.

Met het onderdeel Toetsen kunnen docenten examenvragen maken die offline kunnen worden gebruikt en tot slot heb je toegang tot heel veel lesmateriaal en bronnen voor het leren werken met GeoGebra.

Meetkunde

De Griekse wiskundige Euclides leefde zo’n 2300 jaar geleden en is vooral bekend van De Elementen, een serie geschriften waarin hij onder andere in Boek 1 de basisbeginselen van de zogeheten vlakke meetkunde uitwerkt. Hierin bewijst hij vanuit een vijftal vooronderstellingen (axioma’s) allerlei zaken over lijnen, cirkels, driehoeken enzovoort. De manier waarop hij dat deed, staat sindsdien model voor het uitbreiden van kennis door middel van logisch redeneren en daarom vormde De Elementen zo’n 2000 jaar lang (!) verplicht studiemateriaal voor iedereen die een hogere opleiding volgde en is het nog altijd goede kost om de geest te scherpen.

Eén van de te bewijzen stellingen over gelijkzijdige driehoeken in het begin van De Elementen (Propositie 5) werd bekend onder de naam Pons Asinorum, Latijn voor ezelsbrug. Waar dat bij ons een mentaal hulpmiddel betekent, staat het oorspronkelijk juist voor een probleem dat bepaalde of je slim genoeg was om door te gaan.

Constructie

De klassieke meetkunde van Euclides maakt gebruik van constructies met een passer en een liniaal. Die laatste dient alleen voor het tekenen van rechte lijnen en heeft geen maatstrepen. Het zal je verbazen hoeveel Euclides (en zijn navolgers in latere eeuwen) met die eenvoudige gereedschappen kon ontdekken. In het onderdeel Meetkunde van GeoGebra kun je zelf aan de slag met een digitale passer en liniaal.

Objecten

In het venster links zie je onder Basisknoppen een handvol objecten die je kunt maken. Met Punt, Lijnstuk, Lijn en Cirkel bewijst Euclides hoe je bijvoorbeeld een lijnstuk in twee gelijke delen kunt delen. Om zo’n middelpunt in latere constructies niet telkens opnieuw te hoeven maken, kun je dit soort meer geavanceerde objecten in Meetkunde ook in één keer maken. Klik daarvoor op Meer. Behalve Constructies kun je ook andere elementen toevoegen, zoals tekst. Scrol je naar beneden dan kun je nogmaals op Meer klikken voor extra mogelijkheden.

Voorbeeld

Klik op Nieuw punt en klik vervolgens op drie verschillende plekken in het rechterschermdeel. Zoals je ziet, worden de drie punten die je daarmee hebt geplaatst naar goed meetkundig gebruik automatisch van een letter voorzien. Kies nu Lijnstuk onder Basisknoppen en klik op punt A. Klik vervolgens op punt B. A en B zijn nu verbonden. Maak op dezelfde manier de driehoek af.

Klik nu onder Constructies op Midden of middelpunt en klik vervolgens op een willekeurige plek op elk van de drie lijnen. Het programma plaatst nu in elk daarvan een middelpunt en voorziet ook die van een letter.

Kies nu Cirkel met middelpunt onder Basisknoppen. Klik op punt A en punt E om een cirkel te maken met straal AE. Doe hetzelfde voor C en F en voor B en D.

Opmaak

Klik je onder Basisknoppen op Verplaatsen, dan kun je elk van de oorspronkelijke (blauwe) punten verslepen. Daarbij blijven de eigenschappen van je constructie in stand. De cirkel door E met middelpunt A blijft dus door E gaan, ook als je A verplaatst.

Klik je onder Bewerken op Selecteer object, dan kun je lijnen, cirkels en dergelijke selecteren. Klik bijvoorbeeld op één van de cirkels. Er verschijnt nu een pop-upmenu met vier pictogrammen.

De eerste drie geven snel toegang tot Kleuren, Labels en Verwijderen, maar de vierde (de drie puntjes) is het krachtigst. Hiermee krijg je via Instellingen toegang tot álle mogelijkheden, variërend van het kiezen van een vaste kleur tot zeer geavanceerde mogelijkheden, zoals kleuren op basis van berekeningen en het maken van scripts.

Gewapend met deze kennis kun je zelf de meest ingewikkelde constructies maken en meetkundige problemen oplossen.

Tabblad Algebra

Uiterst links is standaard het tabblad Macro’s geselecteerd, waarin je de elementen voor je constructie kunt kiezen, aanpassen en verwijderen. Daarnaast is er het tabblad Algebra. Die naam is op het eerste gezicht wat verwarrend, want wat je er ziet is de geschiedenis van een constructie die je hebt gemaakt. Helemaal onderaan zie je ook een zwart pictogram in de vorm van een klein toetsenbord. Daarmee open je een toetsenbord met meerdere tabs waarmee je berekeningen en allerlei geavanceerde functies aan je constructie kunt toevoegen. Klik daarvoor op de drie puntjes boven het toetsenbord. Je ziet dan een helpfunctie met alle concepten die het programma kent. Klik je op een concept, dan verschijnen links daarvan één of meer commando’s. Klik je daarop, dan wordt of worden deze aan je lijst met constructiestappen toegevoegd.

Instellingen

Rechtsboven in het tekenscherm vinden we achter het tandwielpictogram de nodige nuttige instellingen. Bij traditionele meetkunde worden geen roosters gebruikt, maar bij veel andere varianten wel. Ook zijn assen en roosters handig wanneer je constructietekeningen met bekende afstanden wilt maken. Hier kun je niet alleen assen en roosters inschakelen, maar ook het rooster magnetisch maken, zodat punten die je plaatst altijd exact samenvallen met roosterpunten. Via Instellingen kun je bovendien de eigenschappen van assen en roosters aanpassen.

Ook zie je in het menu Wis spoor. Wanneer je een punt in je constructie selecteert, dan kun je namelijk aangeven dat GeoGebra een spoor moet tekenen wanneer het direct of indirect wordt verplaatst. Dit is de plek om dat spoor weer op te ruimen.

Menu

Linksboven (drie streepjes) vind je het menu van GeoGebra. Hier kun je het eindresultaat van een constructie als afbeelding opslaan of afdrukken. Je kunt je werk ook online opslaan. Daardoor kun je er op een later tijdstip ook vanaf een ander platform verder aan werken en als je het werkstuk openbaar maakt, kunnen andere gebruikers stap voor stap je constructie volgen. Dit is het educatieve aspect van GeoGebra waarop we in de paragraaf 'Educatie' nog terugkomen. Je kunt je werk ook privé opslaan. Om je werk lokaal te kunnen opslaan, moet je eerst een gratis account aanmaken.

Kies je in dit menu Open, dan krijg je niet alleen toegang tot je eigen werk, maar ook de tot het vele materiaal dat anderen gemaakt hebben.

CAS Rekenmachine

We keren terug naar de startpagina van GeoGebra en nemen nu een kijkje bij de CAS Rekenmachine (CAS staat voor Computer Algebra Systeem).

Ditmaal komen we terecht in een scherm dat doet denken aan het scherm van het onderdeel Meetkunde, zoals we dat op het laatst hadden ingericht, dus met assen, een rooster en een toetsenbord voor het invoeren van formules. Wat anders is zijn de tabbladen; hier Algebra en Tabel. In dit onderdeel kunnen we onder andere 2D-grafieken maken.

Voorbeeldgrafiek

Klik op het toetsenbordje op de x en op het pictogram daaronder om een kwadraat te maken. Klik vervolgens op +, op y en nogmaals op het Kwadraat-pictogram. Klik tot slot op = en 1 en toets Enter. Er verschijnt een kleine cirkel met straal 1.

Om de cirkel wat groter te maken, kun je inzoomen met het muiswiel of met het Zoom-pictogram rechtsonder.

Links zie je de formule die je hebt ingevoerd (de impliciete vergelijking voor een cirkel). Klik op de drie puntjes erachter en kies Dupliceer invoer. Klik op de tweede formule en verander beide kwadraten in een 4. Na een druk op Enter wordt de nieuwe grafiek getekend die het midden houdt tussen een vierkant en een cirkel. Klik op deze grafiek en klik op het Kleur-pictogram (verf-emmertje). Klik op rood en vervolgens op een lege plek en je hebt twee verschillend gekleurde grafieken.

Klik nu op het tabblad Tabel. Hierin staat de linkerkolom voor x-waarden en de rechter voor y-waarden. Hier kun je uitsluitend getallen invoeren en dit deel gebruik je om bijvoorbeeld een grafiek van de gemeten gegevens te maken.

Klik je op de drie puntjes in de y-kolom dan kun je via Regressie je meetpunten automatisch verbinden.

Het maken van grafieken vormt slechts een klein deel van de mogelijkheden van de CAS Rekenmachine. Je kunt hier bijvoorbeeld ook afgeleiden en integralen berekenen.

3D

Waar we met (onder andere) de CAS Rekenmachine grafieken in het platte vlak kunnen maken, gaan we met de 3D Rekenmachine de ruimte in. De bediening lijkt op die van de eerder besproken onderdelen.

In CAS kun je 2D-grafieken maken op basis van een functie van x of van parametrische vergelijkingen. Ook kun je werken met impliciete vergelijkingen (zoals wij in ons voorbeeld deden) en kun je naast rechthoekige coördinaten ook werken met poolcoördinaten. De 3D-tegenhanger ondersteunt ook al deze varianten, waarbij je in plaats van poolcoördinaten kunt kiezen voor cilindrische of bolcoördinaten.

3D Voorbeeld

Op basis van het 2D-voorbeeld weet je inmiddels hoe je een formule kunt invoeren. In de 3D Rekenmachine kiezen we voor 4x2+y2+z2=16. Na een druk op de Enter-knop verschijnt de grafiek.

In de 3D Rekenmachine kun je niet alleen grafieken maken op basis van formules. In het tabblad Knoppen vind je namelijk ook allerlei objecten. Om ze allemaal te zien, moet je op Meer klikken. Klik bijvoorbeeld op Piramide, klik vervolgens op vier punten op de x- en y- as (in het grondvlak, bijvoorbeeld (4,0,0), (0,6,0), (-4,0,0) en (0,-6,0)). Klik tot slot op de z-as op het punt (0,0,4) en daar is je piramide.

Ook nu kun je het uiterlijk van alles wat je maakt weer volop naar je hand zetten.

Apps

De web-versies van de verschillende onderdelen van GeoGebra werken uitstekend, maar werk je liever lokaal, dan kan dat ook. Op deze pagina vind je alle modules als download voor Windows. Verschillende zijn ook beschikbaar voor macOS en de oerversie GeoGebra Classic is er bovendien voor Linux.

Alle modules zijn daarnaast beschikbaar voor iOS en Android. Zoek je in de appstore voor een van beide op het trefwoord 'geogebra', dan vind je alle beschikbare producten. 

Educatie

Omdat je het werk dat je maakt met GeoGebra online kunt opslaan en kunt delen, biedt de website een gigantische hoeveelheid voorbeelden om mee te spelen. Op de startpagina van GeoGebra zie je de rubriek Aanbevolen materiaal en klik je daarachter op Alle dan kom je op een pagina waar je door het complete aanbod kunt bladeren.

Onder de voorbeelden onder Aanbevolen materiaal (verdeeld over verschillende niveaus), vind je een zoekboom waarmee je door verschillende disciplines binnen de wiskunde kunt bladeren. Klik bijvoorbeeld op Algebra. Zoals je ziet, kun je ook daarbinnen weer navigeren, bijvoorbeeld door te klikken op Breuken. Je ziet nu alle openbare bestanden binnen dat thema. We openen Breuken optellen (niveau 3). Dit werkblad is een typisch voorbeeld van een overhoring en daarom kun je het niet aanpassen. Er zijn ook vele werkbladen waar je wel onder de motorkap kunt kijken om meer de leren over de vele mogelijkheden van GeoGebra.

Zelf leren

We hebben maar een fractie van de vele mogelijkheden kunnen bespreken die GeoGebra en zijn verschillende modules te bieden hebben. Klik je vanaf de startpagina op Toon alle achter Initiatiehandleidingen, dan kom je op een pagina met een dertigtal boeken waarmee je zelfs de meest geavanceerde technieken leert om niet alleen berekeningen te maken, maar ook je eigen gebruikersinterfaces te bouwen.

In onze rubriek Waar voor je geld helpen we je de slimste keuze te maken. Daarom gaan we een paar keer per week op zoek naar inteessante producten voor een prima prijsje. Dit keer kijken we naar powerbanks met een flinke accucapaciteit die geschikt zijn voor lange(re) reizen en meerdere apparaten tegelijk kunnen opladen.

Met een losse powerbank kun je al je mobiele apparaten op- of bijladen als je onderweg bent en geen andere usb-laders in de buurt hebt. Gelukkig komt dat steeds minder vaak voor, want bijna iedere auto, de meeste moderne treinen en vliegtuigen en ook bussne hebben vaak al een usb-aansluiting bij de stoelen zitten. Toch kan het voor sommige reizen handig zijn om extra stroom mee te kunnen nemen. Wij vonden een aantal mooie modellen voor je.

Mophie Powerstation Pro

Deze oplader beschikt over een USB-C poort die tot 45 W kan leveren via Power Delivery en twee USB-A poorten voor overige apparatuur. In totaal heb je dus vier uitgangen tot je beschikking. De interne batterij heeft een capaciteit van 20.000 mAh. Hiermee kun je niet alleen je mobiele apparaten, maar ook je laptop een aanzienlijke gebruiksduurverlenging geven. De USB-C poort functioneert zowel als in- als uitgang, waardoor je de powerbank zelf ook weer vlot kunt opladen met een geschikte adapter. Die wordt zelf niet meegeleverd, maar wel de benodigde kabel.

Sandberg All-in-1 Laptop Powerbank 24000

De Sandberg All-in-1 Laptop Powerbank 24000 is een universele energiebron voor al je mobiele apparaten, zelfs je laptop of Macbook. Met zijn krachtige 24.000 mAh accu is er genoeg stroom om een smartphone meerdere keren op te laden of meerdere extra uren werk op de laptop. De powerbank is eenvoudig op te laden in enkele uren met de meegeleverde netadapter of een USB-C-lader. Met de DC-uitgang en 12 verschillende adapters in de verpakking, evenals een USB-snellaadpoort en twee USB-C-poorten, kunnen veel en verschillende soorten apparaten worden opgeladen op maximale snelheid. Als extra functie is er zelfs een ingebouwde draadloze snellader bovenop de powerbank.

Siltcon Powerbank 30.000 mAh

Deze powerbank valt op door de mogelijkheden. Naast verschillende usb-poorten voor het opladen van je smartphone, e-reader, draadloze oortjes of tablet is deze powerbank ook geschikt voor snelladen met 22,5 Watt, waardoor je telefoon binnen een uur weer helemaal vol is.. De accucapaciteit van 30.000 mAh is ruim voldoende om apparaten maar liefst zeven keer op te laden, maar uiteraard niet allemaal tegelijk. De powerbank werkt met alle Apple- en Android-toestellen en kan tot 5 apparaten tegelijk van stroom voorzien.

iMoshion Powerbank 30.000 mAh 22.5W

Als een zo hoog mogelijke capaciteit voor jou de belangrijkste factor is, dan kun je dit model overwegen. Deze powerbank heeft een interne batterij van maar liefst 30.000 mAh. Dit vertaalt zich naar de mogelijkheid om je apparaten gedurende een langere periode, bijvoorbeeld tijdens een lang weekend weg, van stroom te voorzien zonder de powerbank zelf te hoeven opladen. En extra handig: hij kan ook via zonne-energie worden opgeladen. Je hebt de beschikking over vier uitgangen: één USB-C poort en drie USB-A poorten. Dit maakt het een handige keuze als je nog veel apparaten hebt die de USB-A standaard gebruiken. De poorten ondersteunen verschillende snellaadprotocollen, waaronder Power Delivery en Quick Charge, met een maximaal gecombineerd vermogen van 22.5W. Een LED-display toont de exacte batterijstatus, zodat je altijd weet hoeveel energie er nog over is.

BlueBuilt Powerbank 20.000 mAh 45W

Deze powerbank is ontworpen als een allround oplaadoplossing voor moderne apparaten. Met een capaciteit van 20.000 mAh heb je voldoende stroom bij de hand om je dag door te komen. Het apparaat beschikt over een gebalanceerde set van vier poorten: twee USB-C poorten en twee USB-A poorten. Dit maakt het mogelijk om een brede variëteit aan apparaten gelijktijdig aan te sluiten. Beide USB-C poorten ondersteunen Power Delivery, waarbij één poort een vermogen tot 45W kan leveren. Dit is genoeg om naast je telefoon en tablet ook een kleinere laptop, zoals een MacBook Air, op te laden. De USB-A poorten zijn voorzien van Quick Charge, voor het versneld opladen van compatibele apparaten. De powerbank is uitgerust met een pass-through functie, wat inhoudt dat je de powerbank zelf kunt opladen terwijl deze tegelijkertijd andere apparaten van stroom voorziet.

OPPO brengt met de A6 Pro 5G een nieuwe middenklasser naar Nederland die inzet op uithoudingsvermogen, duurzaamheid en een premium uitstraling. De smartphone heeft een 6.500 mAh-batterij, ondersteunt 80W SUPERVOOC-snelladen en biedt met IP69-bescherming en militaire schokbestendigheid een robuuste bouw voor dagelijks gebruik.

Krachtige batterij, snel weer vol

De OPPO A6 Pro 5G heeft een batterij van 6.500 mAh, opgebouwd uit grafietcellen met hoge energiedichtheid. Daarmee haalt de telefoon tot ruim 37 uur bellen of bijna 27 uur WhatsApp-gesprekken zonder opladen. Volgens OPPO behoudt de batterij na ruim 1.800 laadcycli – meer dan vijf jaar gebruik – nog steeds 80 procent van de oorspronkelijke capaciteit. Met 80W SUPERVOOC Flash Charge-technologie is de accu bovendien in 51 minuten weer volledig opgeladen.

Bestand tegen water, stof en stoten

De A6 Pro 5G heeft een IP69-certificering, wat betekent dat hij niet alleen volledig stofdicht is, maar ook bestand tegen krachtige waterstralen en onderdompeling. Binnenin beschermt een aluminiumlegering het moederbord tegenverbuigen en schokken, terwijl AGC DT-Star D+ glas de voorkant beschermt tegen krassen. De smartphone is daarnaast getest volgens militaire standaarden voor schokbestendigheid, waardoor hij tegen een stootje kan.

Vloeiend scherm en soepele prestaties

Het 6,7 inch AMOLED-scherm biedt een resolutie van 1080 x 2374 pixels en een verversingssnelheid van maximaal 120Hz. Met een piekhelderheid van 1.400 nits blijft het beeld goed zichtbaar, zelfs in fel zonlicht. OPPO's Trinity Engine en Luminous Rendering Engine – geïntegreerd in ColorOS 15 – zorgen voor een stabiele, vloeiende werking, ook bij multitasking en gamen.

©OPPO

Slimme verbindingen

De A6 Pro 5G beschikt over AI LinkBoost 3.0, een technologie die automatisch het sterkste netwerk kiest en overschakelt als de verbinding zwakker wordt. Tijdens het gamen herkent de telefoon prioriteitsverkeer en houdt de AI Game Antenna het signaal stabiel, zelfs als je het toestel horizontaal vasthoudt.

Licht, strak en modern

Met een dikte van 8 millimeter en een gewicht van 185 gram is de A6 Pro 5G opvallend slank voor een robuuste telefoon. Het scherm vult 93 procent van de voorkant en de metalen rand geeft het toestel een stevige, premium uitstraling. De smartphone is verkrijgbaar in twee kleuren: Lunar Titanium en Stellar Black.

Prijs en beschikbaarheid

De OPPO A6 Pro 5G (8GB/256GB) is per direct verkrijgbaar in Nederland voor 299 euro via de OPPO e-store en geselecteerde verkooppunten. Wie vóór 9 november bestelt, krijgt een set Enco Buds3 (ter waarde van 49 euro) gratis bij aankoop.

©OPPO

De OPPO A6 Pro 5G (8GB/256GB) in één oogopslag

🔋 Batterij en opladen

💪 Duurzaamheid en bouwkwaliteit

🖥️ Scherm en prestaties

🌐 Connectiviteit en gaming

🧱 Ontwerp