Er zijn heel wat tools waarmee je (online) rekenwerk kunt verrichten, maar weinige zijn zo veelzijdig als GeoGebra. De naam is een samentrekking van de woorden geometrie en algebra, het is zowel online beschikbaar als via apps voor vrijwel elk platform.

GeoGebra heeft een lange geschiedenis die meer dan twintig jaar teruggaat. Het project werd ooit opgezet om het leren en onderwijzen van met name algebra en meetkunde te vereenvoudigen, maar is vanwege zijn vele gereedschappen ook zeer geschikt om zelf allerlei (reken)problemen mee op te lossen. Bovendien is GeoGebra door de jaren uitgebreid naar nog meer wiskundige vakgebieden, zoals statistiek en analyse.

Korte rondleiding

De thuisbasis van GeoGebra is www.geogebra.org. Als de site niet standaard in het Nederlands verschijnt, kun je onderaan de pagina op de wereldbol klikken. Je kunt dan de gewenste taal selecteren.

Op de site vind je verschillende modules die je los of gecombineerd kunt gebruiken. Zo is er de 3D Rekenmachine voor het maken van 3D-grafieken, de Grafische rekenmachine voor het maken van 2D-grafieken, de Wetenschappelijke rekenmachine voor het maken van (wiskundige) berekeningen en de CAS Rekenmachine voor 2D-grafieken en algebra. De Rekenmachine suite combineert deze modules en voegt daar kansberekening aan toe.

Daarnaast vind je op de hoofdpagina links naar GeoGebra Klassiek, de oorspronkelijke combinatie van meetkunde en algebra, het onderdeel Meetkunde, dat zich specifiek richt op het oplossen van meetkundige vraagstukken en het Notitieblok, waarmee je illustraties kunt maken.

Met het onderdeel Toetsen kunnen docenten examenvragen maken die offline kunnen worden gebruikt en tot slot heb je toegang tot heel veel lesmateriaal en bronnen voor het leren werken met GeoGebra.

Vanaf de hoofdpagina kun je kiezen voor allerlei gereedschappen en lesmateriaal.

Meetkunde

De Griekse wiskundige Euclides leefde zo’n 2300 jaar geleden en is vooral bekend van De Elementen, een serie geschriften waarin hij onder andere in Boek 1 de basisbeginselen van de zogeheten vlakke meetkunde uitwerkt. Hierin bewijst hij vanuit een vijftal vooronderstellingen (axioma’s) allerlei zaken over lijnen, cirkels, driehoeken enzovoort. De manier waarop hij dat deed, staat sindsdien model voor het uitbreiden van kennis door middel van logisch redeneren en daarom vormde De Elementen zo’n 2000 jaar lang (!) verplicht studiemateriaal voor iedereen die een hogere opleiding volgde en is het nog altijd goede kost om de geest te scherpen.

Eén van de te bewijzen stellingen over gelijkzijdige driehoeken in het begin van De Elementen (Propositie 5) werd bekend onder de naam Pons Asinorum, Latijn voor ezelsbrug. Waar dat bij ons een mentaal hulpmiddel betekent, staat het oorspronkelijk juist voor een probleem dat bepaalde of je slim genoeg was om door te gaan.

Constructie

De klassieke meetkunde van Euclides maakt gebruik van constructies met een passer en een liniaal. Die laatste dient alleen voor het tekenen van rechte lijnen en heeft geen maatstrepen. Het zal je verbazen hoeveel Euclides (en zijn navolgers in latere eeuwen) met die eenvoudige gereedschappen kon ontdekken. In het onderdeel Meetkunde van GeoGebra kun je zelf aan de slag met een digitale passer en liniaal.

Objecten

In het venster links zie je onder Basisknoppen een handvol objecten die je kunt maken. Met Punt, Lijnstuk, Lijn en Cirkel bewijst Euclides hoe je bijvoorbeeld een lijnstuk in twee gelijke delen kunt delen. Om zo’n middelpunt in latere constructies niet telkens opnieuw te hoeven maken, kun je dit soort meer geavanceerde objecten in Meetkunde ook in één keer maken. Klik daarvoor op Meer. Behalve Constructies kun je ook andere elementen toevoegen, zoals tekst. Scrol je naar beneden dan kun je nogmaals op Meer klikken voor extra mogelijkheden.

In het onderdeel Meetkunde kun je meetkundige constructies maken.

Voorbeeld

Klik op Nieuw punt en klik vervolgens op drie verschillende plekken in het rechterschermdeel. Zoals je ziet, worden de drie punten die je daarmee hebt geplaatst naar goed meetkundig gebruik automatisch van een letter voorzien. Kies nu Lijnstuk onder Basisknoppen en klik op punt A. Klik vervolgens op punt B. A en B zijn nu verbonden. Maak op dezelfde manier de driehoek af.

Klik nu onder Constructies op Midden of middelpunt en klik vervolgens op een willekeurige plek op elk van de drie lijnen. Het programma plaatst nu in elk daarvan een middelpunt en voorziet ook die van een letter.

Kies nu Cirkel met middelpunt onder Basisknoppen. Klik op punt A en punt E om een cirkel te maken met straal AE. Doe hetzelfde voor C en F en voor B en D.

In Meetkunde maak je snel en gemakkelijk meetkundige tekeningen.

Opmaak

Klik je onder Basisknoppen op Verplaatsen, dan kun je elk van de oorspronkelijke (blauwe) punten verslepen. Daarbij blijven de eigenschappen van je constructie in stand. De cirkel door E met middelpunt A blijft dus door E gaan, ook als je A verplaatst.

Klik je onder Bewerken op Selecteer object, dan kun je lijnen, cirkels en dergelijke selecteren. Klik bijvoorbeeld op één van de cirkels. Er verschijnt nu een pop-upmenu met vier pictogrammen.

De eerste drie geven snel toegang tot Kleuren, Labels en Verwijderen, maar de vierde (de drie puntjes) is het krachtigst. Hiermee krijg je via Instellingen toegang tot álle mogelijkheden, variërend van het kiezen van een vaste kleur tot zeer geavanceerde mogelijkheden, zoals kleuren op basis van berekeningen en het maken van scripts.

Gewapend met deze kennis kun je zelf de meest ingewikkelde constructies maken en meetkundige problemen oplossen.

Het uiterlijk van meetkundige constructies kun je helemaal naar je hand zetten.

Tabblad Algebra

Uiterst links is standaard het tabblad Macro’s geselecteerd, waarin je de elementen voor je constructie kunt kiezen, aanpassen en verwijderen. Daarnaast is er het tabblad Algebra. Die naam is op het eerste gezicht wat verwarrend, want wat je er ziet is de geschiedenis van een constructie die je hebt gemaakt. Helemaal onderaan zie je ook een zwart pictogram in de vorm van een klein toetsenbord. Daarmee open je een toetsenbord met meerdere tabs waarmee je berekeningen en allerlei geavanceerde functies aan je constructie kunt toevoegen. Klik daarvoor op de drie puntjes boven het toetsenbord. Je ziet dan een helpfunctie met alle concepten die het programma kent. Klik je op een concept, dan verschijnen links daarvan één of meer commando’s. Klik je daarop, dan wordt of worden deze aan je lijst met constructiestappen toegevoegd.

Het tabblad Algebra toont je constructiegeschiedenis.

Instellingen

Rechtsboven in het tekenscherm vinden we achter het tandwielpictogram de nodige nuttige instellingen. Bij traditionele meetkunde worden geen roosters gebruikt, maar bij veel andere varianten wel. Ook zijn assen en roosters handig wanneer je constructietekeningen met bekende afstanden wilt maken. Hier kun je niet alleen assen en roosters inschakelen, maar ook het rooster magnetisch maken, zodat punten die je plaatst altijd exact samenvallen met roosterpunten. Via Instellingen kun je bovendien de eigenschappen van assen en roosters aanpassen.

Ook zie je in het menu Wis spoor. Wanneer je een punt in je constructie selecteert, dan kun je namelijk aangeven dat GeoGebra een spoor moet tekenen wanneer het direct of indirect wordt verplaatst. Dit is de plek om dat spoor weer op te ruimen.

Je kunt ook werken op een rooster en sporen creëren van bewegende punten.

Menu

Linksboven (drie streepjes) vind je het menu van GeoGebra. Hier kun je het eindresultaat van een constructie als afbeelding opslaan of afdrukken. Je kunt je werk ook online opslaan. Daardoor kun je er op een later tijdstip ook vanaf een ander platform verder aan werken en als je het werkstuk openbaar maakt, kunnen andere gebruikers stap voor stap je constructie volgen. Dit is het educatieve aspect van GeoGebra waarop we in de paragraaf 'Educatie' nog terugkomen. Je kunt je werk ook privé opslaan. Om je werk lokaal te kunnen opslaan, moet je eerst een gratis account aanmaken.

Kies je in dit menu Open, dan krijg je niet alleen toegang tot je eigen werk, maar ook de tot het vele materiaal dat anderen gemaakt hebben.

CAS Rekenmachine

We keren terug naar de startpagina van GeoGebra en nemen nu een kijkje bij de CAS Rekenmachine (CAS staat voor Computer Algebra Systeem).

Ditmaal komen we terecht in een scherm dat doet denken aan het scherm van het onderdeel Meetkunde, zoals we dat op het laatst hadden ingericht, dus met assen, een rooster en een toetsenbord voor het invoeren van formules. Wat anders is zijn de tabbladen; hier Algebra en Tabel. In dit onderdeel kunnen we onder andere 2D-grafieken maken.

Voorbeeldgrafiek

Klik op het toetsenbordje op de x en op het pictogram daaronder om een kwadraat te maken. Klik vervolgens op +, op y en nogmaals op het Kwadraat-pictogram. Klik tot slot op = en 1 en toets Enter. Er verschijnt een kleine cirkel met straal 1.

Om de cirkel wat groter te maken, kun je inzoomen met het muiswiel of met het Zoom-pictogram rechtsonder.

Links zie je de formule die je hebt ingevoerd (de impliciete vergelijking voor een cirkel). Klik op de drie puntjes erachter en kies Dupliceer invoer. Klik op de tweede formule en verander beide kwadraten in een 4. Na een druk op Enter wordt de nieuwe grafiek getekend die het midden houdt tussen een vierkant en een cirkel. Klik op deze grafiek en klik op het Kleur-pictogram (verf-emmertje). Klik op rood en vervolgens op een lege plek en je hebt twee verschillend gekleurde grafieken.

Met de CAS Rekenmachine kun je onder andere 2D-grafieken maken.

Klik nu op het tabblad Tabel. Hierin staat de linkerkolom voor x-waarden en de rechter voor y-waarden. Hier kun je uitsluitend getallen invoeren en dit deel gebruik je om bijvoorbeeld een grafiek van de gemeten gegevens te maken.

Klik je op de drie puntjes in de y-kolom dan kun je via Regressie je meetpunten automatisch verbinden.

Het maken van grafieken vormt slechts een klein deel van de mogelijkheden van de CAS Rekenmachine. Je kunt hier bijvoorbeeld ook afgeleiden en integralen berekenen.

Ook kan de CAS Rekenmachine een grafiek door meetpunten bepalen.

3D

Waar we met (onder andere) de CAS Rekenmachine grafieken in het platte vlak kunnen maken, gaan we met de 3D Rekenmachine de ruimte in. De bediening lijkt op die van de eerder besproken onderdelen.

In CAS kun je 2D-grafieken maken op basis van een functie van x of van parametrische vergelijkingen. Ook kun je werken met impliciete vergelijkingen (zoals wij in ons voorbeeld deden) en kun je naast rechthoekige coördinaten ook werken met poolcoördinaten. De 3D-tegenhanger ondersteunt ook al deze varianten, waarbij je in plaats van poolcoördinaten kunt kiezen voor cilindrische of bolcoördinaten.

3D Voorbeeld

Op basis van het 2D-voorbeeld weet je inmiddels hoe je een formule kunt invoeren. In de 3D Rekenmachine kiezen we voor 4x2+y2+z2=16. Na een druk op de Enter-knop verschijnt de grafiek.

In de 3D Rekenmachine kun je niet alleen grafieken maken op basis van formules. In het tabblad Knoppen vind je namelijk ook allerlei objecten. Om ze allemaal te zien, moet je op Meer klikken. Klik bijvoorbeeld op Piramide, klik vervolgens op vier punten op de x- en y- as (in het grondvlak, bijvoorbeeld (4,0,0), (0,6,0), (-4,0,0) en (0,-6,0)). Klik tot slot op de z-as op het punt (0,0,4) en daar is je piramide.

Ook nu kun je het uiterlijk van alles wat je maakt weer volop naar je hand zetten.

GeoGebra maakt 3D grafieken in vele soorten.

Apps

De web-versies van de verschillende onderdelen van GeoGebra werken uitstekend, maar werk je liever lokaal, dan kan dat ook. Op deze pagina vind je alle modules als download voor Windows. Verschillende zijn ook beschikbaar voor macOS en de oerversie GeoGebra Classic is er bovendien voor Linux.

Alle modules zijn daarnaast beschikbaar voor iOS en Android. Zoek je in de appstore voor een van beide op het trefwoord 'geogebra', dan vind je alle beschikbare producten. 

Educatie

Omdat je het werk dat je maakt met GeoGebra online kunt opslaan en kunt delen, biedt de website een gigantische hoeveelheid voorbeelden om mee te spelen. Op de startpagina van GeoGebra zie je de rubriek Aanbevolen materiaal en klik je daarachter op Alle dan kom je op een pagina waar je door het complete aanbod kunt bladeren.

Onder de voorbeelden onder Aanbevolen materiaal (verdeeld over verschillende niveaus), vind je een zoekboom waarmee je door verschillende disciplines binnen de wiskunde kunt bladeren. Klik bijvoorbeeld op Algebra. Zoals je ziet, kun je ook daarbinnen weer navigeren, bijvoorbeeld door te klikken op Breuken. Je ziet nu alle openbare bestanden binnen dat thema. We openen Breuken optellen (niveau 3). Dit werkblad is een typisch voorbeeld van een overhoring en daarom kun je het niet aanpassen. Er zijn ook vele werkbladen waar je wel onder de motorkap kunt kijken om meer de leren over de vele mogelijkheden van GeoGebra.

Met ruim een miljoen openbare werkbladen ben je wel even zoet.

Zelf leren

We hebben maar een fractie van de vele mogelijkheden kunnen bespreken die GeoGebra en zijn verschillende modules te bieden hebben. Klik je vanaf de startpagina op Toon alle achter Initiatiehandleidingen, dan kom je op een pagina met een dertigtal boeken waarmee je zelfs de meest geavanceerde technieken leert om niet alleen berekeningen te maken, maar ook je eigen gebruikersinterfaces te bouwen.

Tientallen digitale boeken helpen je verder op weg om GeoGebra te ontdekken.

Iedereen gebruikt het gewone Startmenu van Windows 11. Je vindt er apps, instellingen, aanbevelingen en tegels. Overzichtelijk, maar je moet soms flink doorklikken voordat je eindelijk bent waar je zijn wilt. Kan dat niet handiger? Zeker: er bestaat ook een tweede Startmenu: een stuk eenvoudiger en vooral sneller. Waar je het vindt en hoe je het gebruikt, lees je in dit artikel.

Lees ook: Laptop met Windows 11? Zo doe je langer met de accu

Gewone Startmenu versus verborgen Startmenu

Het gewone Startmenu van Windows 11 is het startpunt voor de meeste gebruikers. Hier vind je je apps, recente bestanden, een zoekbalk en knoppen voor instellingen en afsluiten. Het menu is visueel ingericht, met tegels en iconen, en richt zich vooral op dagelijks gebruik.

©ID.nl

Het reguliere Startmenu is overzichtelijk, maar je moet nog wel doorklikken wanneer je op zoek bent naar Instellingen.

Het verborgen Startmenu ziet er heel anders uit. Geen tegels of visuele opsmuk, maar een compacte lijst met systeemfuncties. Denk aan apparaatbeheer, taakbeheer, netwerkverbindingen en terminal. Dit menu is vooral bedoeld voor wie snel iets wil aanpassen, controleren of oplossen.

Zo open je het verborgen Startmenu

De makkelijkste manier is simpelweg met de rechtermuisknop op de Startknop klikken (onderaan je scherm, links). Meteen verschijnt een menu met een lijst vol snelkoppelingen. Geen wachttijd, geen vertraging: het menu reageert direct.

Gebruik je liever het toetsenbord? Druk dan op Windows-toets + X. Deze sneltoets werkt overal in Windows, zelfs midden in een programma. Handig op een laptop, zeker als je geen muis bij de hand hebt.

Werk je op een touchscreen? Tik dan op de Startknop en houd die een paar seconden vast. Zodra Windows dit herkent als een 'lang tikken', verschijnt het menu automatisch.

Hoe je het ook opent, de inhoud is altijd gelijk. Het menu komt standaard naast de Startknop in beeld, dus je hoeft nooit te zoeken.

💡Door de Donkere Modus in te stellen (via Instellingen -> Persoonlijke instellingen -> Kleuren) krijgt het tweede Startmenu een donkere achtergrond. Dat zorgt ervoor dat het onderscheid met eventueel geopende programmavensters wat groter wordt.

Wat vind je in dit tweede Startmenu?

Alles wat je anders via Instellingen of het Configuratiescherm moet opzoeken, staat hier bij elkaar. In plaats van losse snelkoppelingen of visuele tegels, toont dit menu een strakke lijst.

Zo kom je met één klik bij Apparaatbeheer, Schijfbeheer, Taakbeheer, Netwerkinstellingen of PowerShell. Handig als je iets wilt aanpassen, controleren of snel een probleem moet oplossen.

Microsoft heeft de functies logisch gegroepeerd. De bovenste opties gaan over apps en energiebeheer, daaronder volgen tools voor systeembeheer en netwerkverbindingen. Verder naar beneden vind je opdrachten voor afsluiten of afmelden. Je herkent ze aan hun vertrouwde namen, wat zoeken overbodig maakt. Een voorbeeld: als je software wilt verwijderen, hoef je niet naar Instellingen > Apps > Geïnstalleerde apps. Je kiest gewoon 'Geïnstalleerde Apps' uit het menu en je bent er meteen.

©ID.nl

Via het tweede Startmenu heb je meteen toegang tot allerlei systeemtools waarvoor je anders zou moeten zoeken in Instellingen of in het Configuratiescherm.

Waarom het tweede Startmenu zo handig is

Hoewel de systeemtools die je via het tweede Startmenu kunt bereiken voor veel mensen Windows-onderdelen zijn die ze niet zo vaak zullen gebruiken, is het toch handig dt je ze direct 'onder de knop' hebt zitten. Stel: je hebt wifi-problemen. In plaats van drie keer klikken door Instellingen kun je direct 'Netwerkverbindingen' openen. Of je wilt zien of een usb-stick goed wordt herkend. Dan hoef je alleen maar te klikken op 'Apparaatbeheer'. Voor wie vaker met systeeminstellingen werkt, is dit menu eigenlijk helemaal onmisbaar. Je hoeft geen sneltoetsen te onthouden of eindeloos door menu's te klikken. Alles wat je vaak gebruikt zit binnen handbereik. En ook als je het niet dagelijks gebruikt, is het handig om te weten dat het er is. Het scheelt je hoe dan ook veel tijd en zoekwerk.

Ook fijn: het menu ziet er op elke Windows 11-pc hetzelfde uit. Of je nu thuis werkt, op kantoor zit of iemand anders helpt: je weet precies waar je moet zijn.

Dus?

Het verborgen Startmenu is een van de meest praktische onderdelen van Windows 11. Het geeft je directe toegang tot systeemfuncties en tools waarvoor je anders moet doorklikken en waar je naar moet zoeken. Het is geen vervanger van het gewone menu, maar een aanvulling voor wie meer uit z'n systeem wil halen. Of je nu snel iets wilt aanpassen, een probleem onderzoekt of gewoon minder wilt klikken: het tweede Startmenu maakt het net een stuk makkelijker!

⬇️Scrol omlaag en bekijk welke onderdelen je in het tweede Startmenu vindt en wat je ermee kunt

Van buiten oogt hij misschien smetteloos, maar vanbinnen kan je wasdroger behoorlijk smerig zijn. Warmte, vocht en pluis vormen namelijk de perfecte broedplek voor bacteriën en schimmels. En dat ruik je. Bovendien werkt een vervuilde droger minder goed én verbruikt hij meer energie. Tijd om in actie te komen: met dit 8-stappenplan houd je jouw wasdroger schoon, fris en in topconditie!

Waarom is schoonmaken belangrijk?

Een wasdroger draait op hoge temperaturen en heeft continu te maken met vocht. Ideale omstandigheden voor ongewenste gasten zoals schimmels en bacteriën. Tel daar opgehoopte pluisjes en resten wasmiddel bij op, en je snapt waarom je wasdroger soms muf ruikt of er langer over doet dan normaal. Regelmatig schoonmaken voorkomt vieze luchtjes, verlengt de levensduur én maakt je droger zuiniger.

Een schone droger in 8 simpele stappen

1. Stekker eruit

Voordat je iets doet, trek je de stekker uit het stopcontact. Veiligheid voorop!

2. Pluizenfilters legen

Open het klepje onderin en haal de filters eruit. Meestal zijn dat er twee: een pluizenfilter en een condensfilter. Spoel ze af onder de kraan en laat ze goed drogen voordat je ze terugplaatst.

3. Condensor schoonmaken

Achter een apart klepje aan de voor- of achterkant zit de condensor. Haal stof en pluis voorzichtig weg met een vochtige doek. Vergeet ook de randjes en het klepje zelf niet.

4. Afvoerslang controleren

Koppel de slang los (als jouw droger die heeft) en check of er geen verstopping in zit. Spoel hem goed door en maak de binnen- en buitenkant schoon. Zet hem daarna weer stevig terug.

5. Binnenkant afnemen

Gebruik een zachte, vochtige doek om de binnenzijde van de trommel schoon te maken. Voor hardnekkige vlekken kun je een beetje allesreiniger gebruiken. Vergeet ook de rubber rand niet.

6. Buiten schoon, net als binnen

Neem de buitenkant van de machine af met een vochtige doek. Gebruik wat allesreiniger voor de zijkanten en voorkant, maar houd het bedieningspaneel liever droog of gebruik een licht vochtige doek.

7. Deurtje open laten

Laat na het schoonmaken de deur een tijdje openstaan. Zo kan de binnenkant goed drogen en voorkom je dat er schimmel ontstaat.

8. Lege droogbeurt draaien

Tot slot: draai een heet droogprogramma zonder was erin. Hiermee droog je de laatste vochtresten en geef je eventuele bacteriën geen kans.

©Shi

Hoe vaak moeten onderdelen worden gereinigd?

Niet alle onderdelen hoeven even vaak gereinigd te worden. Dit schema geeft een indicatie:

Merk je toch geurtjes op of neemt de droogprestatie van je wasdroger af? Voer dan een extra schoonmaakbeurt uit.

Schoonmaaktips voor specifieke onderdelen

Voor sommige onderdelen van je wasdroger zijn speciale schoonmaaktips. We zetten ze voor je op een rijtje.

©detry26

Schoonmaakmiddelen: wat gebruik je wel (en liever niet)?

Voor het grondig reinigen van je droger zijn er speciale producten op de markt. Denk aan schoonmaakmiddelen die vet, kalk en vuil aanpakken zonder onderdelen aan te tasten. Let altijd goed op of het middel geschikt is voor jouw type droger.

Ook populair zijn reinigingstabletten of -strips die je in de trommel legt voordat je een schoonmaakprogramma start. Die lossen nare geurtjes en aanslag op, maar gebruik ze niet te vaak. Overmatig gebruik kan het rubber en de binnenkant aantasten.

Liever een natuurlijk alternatief? Meng dan 5 eetlepels citroenzuur met een liter warm water en giet het in de wasmiddellade. Laat vervolgens een heet programma draaien. Goed voor je droger én het milieu.

Veelgestelde vragen over drogers schoonmaken

Kan ik een stoomreiniger gebruiken?

Nee. De hitte en vocht van een stoomreiniger kunnen onderdelen beschadigen. Gebruik altijd een microvezeldoekje met wat sop.

Wat te doen bij zwarte schimmel?

Reinig grondig de rubberen rand, filters en afvoerslang. Gebruik eventueel azijn als nabehandeling en draai daarna een heet programma. Herhaal dat regelmatig.

Waarom ruikt mijn schone was muf na het drogen?

Waarschijnlijk is je droger toe aan een schoonmaakbeurt. Begin bij het filter en de condensor en werk alles stap voor stap af. Vergeet ook de afvoerslang en het draaien van een heet leeg programma niet. Als dat allemaal niet helpt en de droger is al wat ouder, is het misschien tijd om uit te kijken naar een nieuw exemplaar.