Er zijn heel wat tools waarmee je (online) rekenwerk kunt verrichten, maar weinige zijn zo veelzijdig als GeoGebra. De naam is een samentrekking van de woorden geometrie en algebra, het is zowel online beschikbaar als via apps voor vrijwel elk platform.

GeoGebra heeft een lange geschiedenis die meer dan twintig jaar teruggaat. Het project werd ooit opgezet om het leren en onderwijzen van met name algebra en meetkunde te vereenvoudigen, maar is vanwege zijn vele gereedschappen ook zeer geschikt om zelf allerlei (reken)problemen mee op te lossen. Bovendien is GeoGebra door de jaren uitgebreid naar nog meer wiskundige vakgebieden, zoals statistiek en analyse.

Korte rondleiding

De thuisbasis van GeoGebra is www.geogebra.org. Als de site niet standaard in het Nederlands verschijnt, kun je onderaan de pagina op de wereldbol klikken. Je kunt dan de gewenste taal selecteren.

Op de site vind je verschillende modules die je los of gecombineerd kunt gebruiken. Zo is er de 3D Rekenmachine voor het maken van 3D-grafieken, de Grafische rekenmachine voor het maken van 2D-grafieken, de Wetenschappelijke rekenmachine voor het maken van (wiskundige) berekeningen en de CAS Rekenmachine voor 2D-grafieken en algebra. De Rekenmachine suite combineert deze modules en voegt daar kansberekening aan toe.

Daarnaast vind je op de hoofdpagina links naar GeoGebra Klassiek, de oorspronkelijke combinatie van meetkunde en algebra, het onderdeel Meetkunde, dat zich specifiek richt op het oplossen van meetkundige vraagstukken en het Notitieblok, waarmee je illustraties kunt maken.

Met het onderdeel Toetsen kunnen docenten examenvragen maken die offline kunnen worden gebruikt en tot slot heb je toegang tot heel veel lesmateriaal en bronnen voor het leren werken met GeoGebra.

Meetkunde

De Griekse wiskundige Euclides leefde zo’n 2300 jaar geleden en is vooral bekend van De Elementen, een serie geschriften waarin hij onder andere in Boek 1 de basisbeginselen van de zogeheten vlakke meetkunde uitwerkt. Hierin bewijst hij vanuit een vijftal vooronderstellingen (axioma’s) allerlei zaken over lijnen, cirkels, driehoeken enzovoort. De manier waarop hij dat deed, staat sindsdien model voor het uitbreiden van kennis door middel van logisch redeneren en daarom vormde De Elementen zo’n 2000 jaar lang (!) verplicht studiemateriaal voor iedereen die een hogere opleiding volgde en is het nog altijd goede kost om de geest te scherpen.

Eén van de te bewijzen stellingen over gelijkzijdige driehoeken in het begin van De Elementen (Propositie 5) werd bekend onder de naam Pons Asinorum, Latijn voor ezelsbrug. Waar dat bij ons een mentaal hulpmiddel betekent, staat het oorspronkelijk juist voor een probleem dat bepaalde of je slim genoeg was om door te gaan.

Constructie

De klassieke meetkunde van Euclides maakt gebruik van constructies met een passer en een liniaal. Die laatste dient alleen voor het tekenen van rechte lijnen en heeft geen maatstrepen. Het zal je verbazen hoeveel Euclides (en zijn navolgers in latere eeuwen) met die eenvoudige gereedschappen kon ontdekken. In het onderdeel Meetkunde van GeoGebra kun je zelf aan de slag met een digitale passer en liniaal.

Objecten

In het venster links zie je onder Basisknoppen een handvol objecten die je kunt maken. Met Punt, Lijnstuk, Lijn en Cirkel bewijst Euclides hoe je bijvoorbeeld een lijnstuk in twee gelijke delen kunt delen. Om zo’n middelpunt in latere constructies niet telkens opnieuw te hoeven maken, kun je dit soort meer geavanceerde objecten in Meetkunde ook in één keer maken. Klik daarvoor op Meer. Behalve Constructies kun je ook andere elementen toevoegen, zoals tekst. Scrol je naar beneden dan kun je nogmaals op Meer klikken voor extra mogelijkheden.

Voorbeeld

Klik op Nieuw punt en klik vervolgens op drie verschillende plekken in het rechterschermdeel. Zoals je ziet, worden de drie punten die je daarmee hebt geplaatst naar goed meetkundig gebruik automatisch van een letter voorzien. Kies nu Lijnstuk onder Basisknoppen en klik op punt A. Klik vervolgens op punt B. A en B zijn nu verbonden. Maak op dezelfde manier de driehoek af.

Klik nu onder Constructies op Midden of middelpunt en klik vervolgens op een willekeurige plek op elk van de drie lijnen. Het programma plaatst nu in elk daarvan een middelpunt en voorziet ook die van een letter.

Kies nu Cirkel met middelpunt onder Basisknoppen. Klik op punt A en punt E om een cirkel te maken met straal AE. Doe hetzelfde voor C en F en voor B en D.

Opmaak

Klik je onder Basisknoppen op Verplaatsen, dan kun je elk van de oorspronkelijke (blauwe) punten verslepen. Daarbij blijven de eigenschappen van je constructie in stand. De cirkel door E met middelpunt A blijft dus door E gaan, ook als je A verplaatst.

Klik je onder Bewerken op Selecteer object, dan kun je lijnen, cirkels en dergelijke selecteren. Klik bijvoorbeeld op één van de cirkels. Er verschijnt nu een pop-upmenu met vier pictogrammen.

De eerste drie geven snel toegang tot Kleuren, Labels en Verwijderen, maar de vierde (de drie puntjes) is het krachtigst. Hiermee krijg je via Instellingen toegang tot álle mogelijkheden, variërend van het kiezen van een vaste kleur tot zeer geavanceerde mogelijkheden, zoals kleuren op basis van berekeningen en het maken van scripts.

Gewapend met deze kennis kun je zelf de meest ingewikkelde constructies maken en meetkundige problemen oplossen.

Tabblad Algebra

Uiterst links is standaard het tabblad Macro’s geselecteerd, waarin je de elementen voor je constructie kunt kiezen, aanpassen en verwijderen. Daarnaast is er het tabblad Algebra. Die naam is op het eerste gezicht wat verwarrend, want wat je er ziet is de geschiedenis van een constructie die je hebt gemaakt. Helemaal onderaan zie je ook een zwart pictogram in de vorm van een klein toetsenbord. Daarmee open je een toetsenbord met meerdere tabs waarmee je berekeningen en allerlei geavanceerde functies aan je constructie kunt toevoegen. Klik daarvoor op de drie puntjes boven het toetsenbord. Je ziet dan een helpfunctie met alle concepten die het programma kent. Klik je op een concept, dan verschijnen links daarvan één of meer commando’s. Klik je daarop, dan wordt of worden deze aan je lijst met constructiestappen toegevoegd.

Instellingen

Rechtsboven in het tekenscherm vinden we achter het tandwielpictogram de nodige nuttige instellingen. Bij traditionele meetkunde worden geen roosters gebruikt, maar bij veel andere varianten wel. Ook zijn assen en roosters handig wanneer je constructietekeningen met bekende afstanden wilt maken. Hier kun je niet alleen assen en roosters inschakelen, maar ook het rooster magnetisch maken, zodat punten die je plaatst altijd exact samenvallen met roosterpunten. Via Instellingen kun je bovendien de eigenschappen van assen en roosters aanpassen.

Ook zie je in het menu Wis spoor. Wanneer je een punt in je constructie selecteert, dan kun je namelijk aangeven dat GeoGebra een spoor moet tekenen wanneer het direct of indirect wordt verplaatst. Dit is de plek om dat spoor weer op te ruimen.

Menu

Linksboven (drie streepjes) vind je het menu van GeoGebra. Hier kun je het eindresultaat van een constructie als afbeelding opslaan of afdrukken. Je kunt je werk ook online opslaan. Daardoor kun je er op een later tijdstip ook vanaf een ander platform verder aan werken en als je het werkstuk openbaar maakt, kunnen andere gebruikers stap voor stap je constructie volgen. Dit is het educatieve aspect van GeoGebra waarop we in de paragraaf 'Educatie' nog terugkomen. Je kunt je werk ook privé opslaan. Om je werk lokaal te kunnen opslaan, moet je eerst een gratis account aanmaken.

Kies je in dit menu Open, dan krijg je niet alleen toegang tot je eigen werk, maar ook de tot het vele materiaal dat anderen gemaakt hebben.

CAS Rekenmachine

We keren terug naar de startpagina van GeoGebra en nemen nu een kijkje bij de CAS Rekenmachine (CAS staat voor Computer Algebra Systeem).

Ditmaal komen we terecht in een scherm dat doet denken aan het scherm van het onderdeel Meetkunde, zoals we dat op het laatst hadden ingericht, dus met assen, een rooster en een toetsenbord voor het invoeren van formules. Wat anders is zijn de tabbladen; hier Algebra en Tabel. In dit onderdeel kunnen we onder andere 2D-grafieken maken.

Voorbeeldgrafiek

Klik op het toetsenbordje op de x en op het pictogram daaronder om een kwadraat te maken. Klik vervolgens op +, op y en nogmaals op het Kwadraat-pictogram. Klik tot slot op = en 1 en toets Enter. Er verschijnt een kleine cirkel met straal 1.

Om de cirkel wat groter te maken, kun je inzoomen met het muiswiel of met het Zoom-pictogram rechtsonder.

Links zie je de formule die je hebt ingevoerd (de impliciete vergelijking voor een cirkel). Klik op de drie puntjes erachter en kies Dupliceer invoer. Klik op de tweede formule en verander beide kwadraten in een 4. Na een druk op Enter wordt de nieuwe grafiek getekend die het midden houdt tussen een vierkant en een cirkel. Klik op deze grafiek en klik op het Kleur-pictogram (verf-emmertje). Klik op rood en vervolgens op een lege plek en je hebt twee verschillend gekleurde grafieken.

Klik nu op het tabblad Tabel. Hierin staat de linkerkolom voor x-waarden en de rechter voor y-waarden. Hier kun je uitsluitend getallen invoeren en dit deel gebruik je om bijvoorbeeld een grafiek van de gemeten gegevens te maken.

Klik je op de drie puntjes in de y-kolom dan kun je via Regressie je meetpunten automatisch verbinden.

Het maken van grafieken vormt slechts een klein deel van de mogelijkheden van de CAS Rekenmachine. Je kunt hier bijvoorbeeld ook afgeleiden en integralen berekenen.

3D

Waar we met (onder andere) de CAS Rekenmachine grafieken in het platte vlak kunnen maken, gaan we met de 3D Rekenmachine de ruimte in. De bediening lijkt op die van de eerder besproken onderdelen.

In CAS kun je 2D-grafieken maken op basis van een functie van x of van parametrische vergelijkingen. Ook kun je werken met impliciete vergelijkingen (zoals wij in ons voorbeeld deden) en kun je naast rechthoekige coördinaten ook werken met poolcoördinaten. De 3D-tegenhanger ondersteunt ook al deze varianten, waarbij je in plaats van poolcoördinaten kunt kiezen voor cilindrische of bolcoördinaten.

3D Voorbeeld

Op basis van het 2D-voorbeeld weet je inmiddels hoe je een formule kunt invoeren. In de 3D Rekenmachine kiezen we voor 4x2+y2+z2=16. Na een druk op de Enter-knop verschijnt de grafiek.

In de 3D Rekenmachine kun je niet alleen grafieken maken op basis van formules. In het tabblad Knoppen vind je namelijk ook allerlei objecten. Om ze allemaal te zien, moet je op Meer klikken. Klik bijvoorbeeld op Piramide, klik vervolgens op vier punten op de x- en y- as (in het grondvlak, bijvoorbeeld (4,0,0), (0,6,0), (-4,0,0) en (0,-6,0)). Klik tot slot op de z-as op het punt (0,0,4) en daar is je piramide.

Ook nu kun je het uiterlijk van alles wat je maakt weer volop naar je hand zetten.

Apps

De web-versies van de verschillende onderdelen van GeoGebra werken uitstekend, maar werk je liever lokaal, dan kan dat ook. Op deze pagina vind je alle modules als download voor Windows. Verschillende zijn ook beschikbaar voor macOS en de oerversie GeoGebra Classic is er bovendien voor Linux.

Alle modules zijn daarnaast beschikbaar voor iOS en Android. Zoek je in de appstore voor een van beide op het trefwoord 'geogebra', dan vind je alle beschikbare producten. 

Educatie

Omdat je het werk dat je maakt met GeoGebra online kunt opslaan en kunt delen, biedt de website een gigantische hoeveelheid voorbeelden om mee te spelen. Op de startpagina van GeoGebra zie je de rubriek Aanbevolen materiaal en klik je daarachter op Alle dan kom je op een pagina waar je door het complete aanbod kunt bladeren.

Onder de voorbeelden onder Aanbevolen materiaal (verdeeld over verschillende niveaus), vind je een zoekboom waarmee je door verschillende disciplines binnen de wiskunde kunt bladeren. Klik bijvoorbeeld op Algebra. Zoals je ziet, kun je ook daarbinnen weer navigeren, bijvoorbeeld door te klikken op Breuken. Je ziet nu alle openbare bestanden binnen dat thema. We openen Breuken optellen (niveau 3). Dit werkblad is een typisch voorbeeld van een overhoring en daarom kun je het niet aanpassen. Er zijn ook vele werkbladen waar je wel onder de motorkap kunt kijken om meer de leren over de vele mogelijkheden van GeoGebra.

Zelf leren

We hebben maar een fractie van de vele mogelijkheden kunnen bespreken die GeoGebra en zijn verschillende modules te bieden hebben. Klik je vanaf de startpagina op Toon alle achter Initiatiehandleidingen, dan kom je op een pagina met een dertigtal boeken waarmee je zelfs de meest geavanceerde technieken leert om niet alleen berekeningen te maken, maar ook je eigen gebruikersinterfaces te bouwen.

Iedereen droomt weleens van een thuisbioscoop, maar groter is niet altijd beter. Een te groot scherm kan bijvoorbeeld zorgen voor vermoeide ogen of korrelig beeld. Ontdek hoe zaken als kijkafstand, de resolutie en de kijkhoek bepalen of een televisie daadwerkelijk in je woonkamer past.

In de felverlichte showroom van de elektronicawinkel lijkt die enorme 75-inch televisie waanzinnig indrukwekkend, maar eenmaal aan de muur in een doorsnee Nederlandse doorzonwoning kan zo'n gapend zwart vlak de ruimte volledig domineren. Veel consumenten denken onterecht dat een groter scherm automatisch garant staat voor een betere kijkervaring, ongeacht de afmetingen van de kamer. Toch is er een harde technische grens waarbij groot verandert in té groot, met hoofdpijn en onscherp beeld als direct gevolg. In dit artikel leer je precies hoe je die grens bepaalt en de ideale televisie kiest.

De kern van het probleem: resolutie en blikveld

Het probleem van een te grote tv is niet alleen esthetisch, maar vooral fysiologisch en technisch. Het draait allemaal om de verhouding tussen de resolutie (het aantal beeldpunten) en je blikveld. Zelfs bij moderne 4K-televisies zijn de pixels niet oneindig klein. Als je een enorm scherm neemt en daar te dicht op zit, trek je het beeld als het ware uit elkaar. Hierdoor verliest het beeld zijn scherpte en samenhang; je hersenen moeten harder werken om de losse informatie tot één geheel te smeden.

Een veelgehoorde misvatting is dat je simpelweg went aan elk formaat. Hoewel de eerste shock van een groot scherm inderdaad verdwijnt, blijft de fysieke belasting overeind. Als een scherm meer dan 40 graden van je horizontale blikveld inneemt, kun je niet meer het hele plaatje in één oogopslag zien. Je ogen moeten dan constant van links naar rechts scannen om de actie te volgen, vergelijkbaar met het kijken naar een tenniswedstrijd vanaf de eerste rij. Dat zorgt voor vermoeide ogen en kan op den duur zelfs leiden tot misselijkheid, ook wel 'cybersickness' genoemd.

©Gorodenkoff

Wanneer werkt een groot formaat wél goed?

Er zijn specifieke scenario's waarin een wandvullend scherm niet alleen kan, maar zelfs de voorkeur heeft. Dat geldt vooral als je de televisie primair gebruikt voor hoogwaardige content. Denk hierbij aan films op 4K Blu-ray of streamingdiensten die uitzenden in de hoogste bitrate, en uiteraard gaming op moderne consoles. In deze gevallen is de bronkwaliteit zo hoog dat je dichterbij kunt zitten zonder fouten in het beeld te zien.

Daarnaast werkt een groot formaat goed als de kijkafstand het toelaat. In moderne woningen met een open plattegrond of een loft-indeling staat de bank vaak wat verder van de muur. Als je kijkafstand meer dan 3 meter is, valt een 55-inch televisie al snel in het niet en moet je turen om details te zien. Een 65-inch of groter model herstelt in dat geval de balans en zorgt voor die gewenste bioscoopervaring, waarbij het scherm groot genoeg is om je onder te dompelen zonder dat je individuele pixels ziet.

Wanneer werkt dit níet goed?

De nadelen van een te grote tv worden pijnlijk duidelijk bij 'gewoon' tv-kijken. Veel lineaire televisieprogramma's, zoals het journaal, talkshows of sportuitzendingen via de kabel, worden niet in 4K uitgezonden, maar in Full HD of zelfs nog lager. Een enorme tv vergroot dat signaal genadeloos uit. Op een te groot scherm zie je dan plotseling ruis, compressieblokjes en onscherpe randen die op een kleiner scherm onzichtbaar zouden blijven. Het beeld oogt daardoor onrustig en rommelig.

Ook in de fysieke ruimte kan het tegenvallen. Een tv die uit staat is een groot, zwart en reflecterend vlak. In een compacte woonkamer zuigt een te groot scherm alle aandacht naar zich toe, zelfs als hij uitstaat. Zoiets verstoort de balans in je interieur en kan de kamer kleiner laten aanvoelen dan hij eigenlijk is. Daarnaast is de plaatsing van sfeerverlichting vaak lastiger; een gigantisch scherm blokkeert lichtinval of reflecteert lampen op een storende manier.

©RDVector

Dealbreakers: hier ligt de grens

Er zijn een paar harde grenzen die aangeven dat je beter een maatje kleiner kunt kiezen. Als je een van de onderstaande punten herkent, is dat een duidelijk signaal.

Wat betekent dit voor jouw situatie?

Om te bepalen of een tv past, moet je de rolmaat erbij pakken en even kritisch naar je eigen kijkgedrag kijken. De algemene vuistregel voor 4K-televisies is: meet de afstand van je ogen tot het scherm in centimeters en deel dat door 1,2 tot 1,5. De uitkomst is de ideale schermdiagonaal.

Zit je bijvoorbeeld op 2,5 meter (250 cm) van je scherm? Dan kom je uit op een schermdiagonaal tussen de 166 cm (65 inch) en 208 cm (82 inch). Maar let op: dat geldt alleen voor pure 4K-content. Kijk je veel normale televisie (praatprogramma's, nieuws)? Hanteer dan factor 2. Bij 250 cm afstand kijkt een scherm van 125 cm diagonaal (ongeveer 50 inch) dan vaak prettiger en rustiger. Ben je een fanatieke gamer of filmfanaat? Dan kun je de grens opzoeken. Ben je een casual kijker? Kies dan veilig voor een formaatje kleiner.

©BS | ID.nl

In het kort

Een televisie is te groot wanneer het beeld onscherp oogt of wanneer je fysiek je hoofd moet draaien om alles te kunnen volgen. Hoewel een groot scherm indrukwekkend lijkt, vergroot het bij standaard televisie-uitzendingen ook alle beeldfouten uit. De ideale grootte is een balans tussen kijkafstand en de kwaliteit van wat je kijkt. Meet daarom altijd de afstand tussen bank en muur, en wees realistisch over je kijkgedrag. Zo voorkom je hoofdpijn en blijft tv-kijken ontspannend.

Het is ergens in 2025 als Fable voor het eerst, een soort van, getoond wordt. Beelden volgen elkaar in rap tempo op. We zien de dame die de hoofdrol lijkt te spelen, geen HUD en vooral heel veel mooie filmpjes. Daarna begint het wild speculeren, de klachten over het hoofdpersonage, de vraagtekens over de gameplay. Gelukkig was daar gister de Xbox Developer Direct, waar Microsoft eens te meer bewees de code gekraakt te hebben.

Vóór de pandemie, toen de Electronic Entertainment Expo (E3) nog bestond en online showcases, Directs en State of Plays nog niet echt een ding waren, wisten gameboeren hun spellen prima te verkopen. Ontwikkelaars verschenen op het podium tijdens liveshows, praatten over hun games, speelden live een demo (wat net zo vaak goed als faliekant misging) en dergelijke presentaties werden afgewisseld met teasers, hypetrailers en (nog verder terug) zelfs weleens grafieken en verkoopcijfers. Hoe anders is de wereld anno nu.

Trailers vol trailers

Klaar zitten voor The Game Awards, een gemiddelde Direct, Showcase of Summer Game Fest is leuk, maar niet hetzelfde als ‘toen’. Want de formule is inmiddels bekend. Een half uur, een uurtje, een paar uur lang wordt er de ene na de andere trailer op je hersenen afgevuurd. Wat is ‘reclame’ en wat niet? Geen idee. Standaard zijn de animegames die elkaar zo rap opvolgen dat de gemiddelde kijker niet eens meer weet waar de ene game begint en de ander ophoudt. Meestal zit er een klapper aan het begin, waarna het grote wachten op de klapper aan het einde begint.

Vraag iemand een week later wat ie gezien heeft, en meer dan de helft van de getoonde games is waarschijnlijk uit het geheugen verdwenen.  En al die flarden van beelden zonder fatsoenlijke uitleg leiden vaker wel dan niet tot hetzelfde als die ene soort van trailer van Fable: speculaties, wild geroep en vraagtekens. Het komt de online discussie rondom games niet ten goede.

©Playground Games

Hoe anders was de inmiddels traditionele Xbox Developer Direct. Langer dan een uur, voor maar vier games. Die games kregen zodoende alle tijd, net als de ontwikkelaars. Gameplaybeelden zijn niet aan te slepen, verscheidene modi worden uitgebreid besproken en zelfs de kleinste details krijgen meer dan genoeg ademruimte. Zo horen we tijdens de Forza Horizon 6-presentatie dat het nummer van je eigen hangar (78) gekozen is omdat de game zich afspeelt in Japan, en die cijfers daar een positieve lading hebben. Fijn om te horen hoe scherp het oog voor detail van een ontwikkelaar is. Dat zegt iets over het project. En het is ook iets wat je never nooit in een hypetrailer van anderhalve minuut langs had zien komen.

Trailers vol trailers

En dus zit ik gisteravond te genieten. Niet eens per se van de games, want ze vallen net niet in mijn straatje. Forza Horizon 6 vind ik héél indrukwekkend en de game zal ongetwijfeld miljoenen spelers perfect bedienen, maar ik ben niet zo van het racen. Game Freak - de makers van Pokémon die eindelijk hun vleugels uitslaan met graphics uit dit decennium - komen met Beast of Reincarnation. Het ziet er oké uit. Double Fine vindt in mij ook geen fan en een multiplayer-pottenbakgame (Kiln) is niet iets wat hoog op mijn lijstje stond. Zelfs afsluiter Fable wist me met z’n levenssimulaties ook niet te overtuigen. Maar, nogmaals, wat heb ik genoten. Van ontwikkelaars die ruim de tijd kregen. Van de games, die van alle kanten belicht werden. Van de antwoorden die we kregen.

©Playground Games

Want wat ik nou precies van die games vond, is niet eens zo heel belangrijk. Veel belangrijker is dat iedereen dit keer in ieder geval een uitgebreid beeld kreeg van wat deze games nu precies worden. Een Xbox Developer Direct creëert geen valse hype. Van die vier getoonde games, weten we nu eigenlijk alles wat we redelijkerwijs moeten weten. Zoals bijvoorbeeld dat Fable een character creation-modus heeft, om maar iets te noemen. En plots zie je de discussies rondom de games gaan om… de inhoud. En niet op wilde speculaties rondom hoofdpersonages die helemaal niet vast blijken te staan. Love it.