Er zijn heel wat tools waarmee je (online) rekenwerk kunt verrichten, maar weinige zijn zo veelzijdig als GeoGebra. De naam is een samentrekking van de woorden geometrie en algebra, het is zowel online beschikbaar als via apps voor vrijwel elk platform.

GeoGebra heeft een lange geschiedenis die meer dan twintig jaar teruggaat. Het project werd ooit opgezet om het leren en onderwijzen van met name algebra en meetkunde te vereenvoudigen, maar is vanwege zijn vele gereedschappen ook zeer geschikt om zelf allerlei (reken)problemen mee op te lossen. Bovendien is GeoGebra door de jaren uitgebreid naar nog meer wiskundige vakgebieden, zoals statistiek en analyse.

Korte rondleiding

De thuisbasis van GeoGebra is www.geogebra.org. Als de site niet standaard in het Nederlands verschijnt, kun je onderaan de pagina op de wereldbol klikken. Je kunt dan de gewenste taal selecteren.

Op de site vind je verschillende modules die je los of gecombineerd kunt gebruiken. Zo is er de 3D Rekenmachine voor het maken van 3D-grafieken, de Grafische rekenmachine voor het maken van 2D-grafieken, de Wetenschappelijke rekenmachine voor het maken van (wiskundige) berekeningen en de CAS Rekenmachine voor 2D-grafieken en algebra. De Rekenmachine suite combineert deze modules en voegt daar kansberekening aan toe.

Daarnaast vind je op de hoofdpagina links naar GeoGebra Klassiek, de oorspronkelijke combinatie van meetkunde en algebra, het onderdeel Meetkunde, dat zich specifiek richt op het oplossen van meetkundige vraagstukken en het Notitieblok, waarmee je illustraties kunt maken.

Met het onderdeel Toetsen kunnen docenten examenvragen maken die offline kunnen worden gebruikt en tot slot heb je toegang tot heel veel lesmateriaal en bronnen voor het leren werken met GeoGebra.

Meetkunde

De Griekse wiskundige Euclides leefde zo’n 2300 jaar geleden en is vooral bekend van De Elementen, een serie geschriften waarin hij onder andere in Boek 1 de basisbeginselen van de zogeheten vlakke meetkunde uitwerkt. Hierin bewijst hij vanuit een vijftal vooronderstellingen (axioma’s) allerlei zaken over lijnen, cirkels, driehoeken enzovoort. De manier waarop hij dat deed, staat sindsdien model voor het uitbreiden van kennis door middel van logisch redeneren en daarom vormde De Elementen zo’n 2000 jaar lang (!) verplicht studiemateriaal voor iedereen die een hogere opleiding volgde en is het nog altijd goede kost om de geest te scherpen.

Eén van de te bewijzen stellingen over gelijkzijdige driehoeken in het begin van De Elementen (Propositie 5) werd bekend onder de naam Pons Asinorum, Latijn voor ezelsbrug. Waar dat bij ons een mentaal hulpmiddel betekent, staat het oorspronkelijk juist voor een probleem dat bepaalde of je slim genoeg was om door te gaan.

Constructie

De klassieke meetkunde van Euclides maakt gebruik van constructies met een passer en een liniaal. Die laatste dient alleen voor het tekenen van rechte lijnen en heeft geen maatstrepen. Het zal je verbazen hoeveel Euclides (en zijn navolgers in latere eeuwen) met die eenvoudige gereedschappen kon ontdekken. In het onderdeel Meetkunde van GeoGebra kun je zelf aan de slag met een digitale passer en liniaal.

Objecten

In het venster links zie je onder Basisknoppen een handvol objecten die je kunt maken. Met Punt, Lijnstuk, Lijn en Cirkel bewijst Euclides hoe je bijvoorbeeld een lijnstuk in twee gelijke delen kunt delen. Om zo’n middelpunt in latere constructies niet telkens opnieuw te hoeven maken, kun je dit soort meer geavanceerde objecten in Meetkunde ook in één keer maken. Klik daarvoor op Meer. Behalve Constructies kun je ook andere elementen toevoegen, zoals tekst. Scrol je naar beneden dan kun je nogmaals op Meer klikken voor extra mogelijkheden.

Voorbeeld

Klik op Nieuw punt en klik vervolgens op drie verschillende plekken in het rechterschermdeel. Zoals je ziet, worden de drie punten die je daarmee hebt geplaatst naar goed meetkundig gebruik automatisch van een letter voorzien. Kies nu Lijnstuk onder Basisknoppen en klik op punt A. Klik vervolgens op punt B. A en B zijn nu verbonden. Maak op dezelfde manier de driehoek af.

Klik nu onder Constructies op Midden of middelpunt en klik vervolgens op een willekeurige plek op elk van de drie lijnen. Het programma plaatst nu in elk daarvan een middelpunt en voorziet ook die van een letter.

Kies nu Cirkel met middelpunt onder Basisknoppen. Klik op punt A en punt E om een cirkel te maken met straal AE. Doe hetzelfde voor C en F en voor B en D.

Opmaak

Klik je onder Basisknoppen op Verplaatsen, dan kun je elk van de oorspronkelijke (blauwe) punten verslepen. Daarbij blijven de eigenschappen van je constructie in stand. De cirkel door E met middelpunt A blijft dus door E gaan, ook als je A verplaatst.

Klik je onder Bewerken op Selecteer object, dan kun je lijnen, cirkels en dergelijke selecteren. Klik bijvoorbeeld op één van de cirkels. Er verschijnt nu een pop-upmenu met vier pictogrammen.

De eerste drie geven snel toegang tot Kleuren, Labels en Verwijderen, maar de vierde (de drie puntjes) is het krachtigst. Hiermee krijg je via Instellingen toegang tot álle mogelijkheden, variërend van het kiezen van een vaste kleur tot zeer geavanceerde mogelijkheden, zoals kleuren op basis van berekeningen en het maken van scripts.

Gewapend met deze kennis kun je zelf de meest ingewikkelde constructies maken en meetkundige problemen oplossen.

Tabblad Algebra

Uiterst links is standaard het tabblad Macro’s geselecteerd, waarin je de elementen voor je constructie kunt kiezen, aanpassen en verwijderen. Daarnaast is er het tabblad Algebra. Die naam is op het eerste gezicht wat verwarrend, want wat je er ziet is de geschiedenis van een constructie die je hebt gemaakt. Helemaal onderaan zie je ook een zwart pictogram in de vorm van een klein toetsenbord. Daarmee open je een toetsenbord met meerdere tabs waarmee je berekeningen en allerlei geavanceerde functies aan je constructie kunt toevoegen. Klik daarvoor op de drie puntjes boven het toetsenbord. Je ziet dan een helpfunctie met alle concepten die het programma kent. Klik je op een concept, dan verschijnen links daarvan één of meer commando’s. Klik je daarop, dan wordt of worden deze aan je lijst met constructiestappen toegevoegd.

Instellingen

Rechtsboven in het tekenscherm vinden we achter het tandwielpictogram de nodige nuttige instellingen. Bij traditionele meetkunde worden geen roosters gebruikt, maar bij veel andere varianten wel. Ook zijn assen en roosters handig wanneer je constructietekeningen met bekende afstanden wilt maken. Hier kun je niet alleen assen en roosters inschakelen, maar ook het rooster magnetisch maken, zodat punten die je plaatst altijd exact samenvallen met roosterpunten. Via Instellingen kun je bovendien de eigenschappen van assen en roosters aanpassen.

Ook zie je in het menu Wis spoor. Wanneer je een punt in je constructie selecteert, dan kun je namelijk aangeven dat GeoGebra een spoor moet tekenen wanneer het direct of indirect wordt verplaatst. Dit is de plek om dat spoor weer op te ruimen.

Menu

Linksboven (drie streepjes) vind je het menu van GeoGebra. Hier kun je het eindresultaat van een constructie als afbeelding opslaan of afdrukken. Je kunt je werk ook online opslaan. Daardoor kun je er op een later tijdstip ook vanaf een ander platform verder aan werken en als je het werkstuk openbaar maakt, kunnen andere gebruikers stap voor stap je constructie volgen. Dit is het educatieve aspect van GeoGebra waarop we in de paragraaf 'Educatie' nog terugkomen. Je kunt je werk ook privé opslaan. Om je werk lokaal te kunnen opslaan, moet je eerst een gratis account aanmaken.

Kies je in dit menu Open, dan krijg je niet alleen toegang tot je eigen werk, maar ook de tot het vele materiaal dat anderen gemaakt hebben.

CAS Rekenmachine

We keren terug naar de startpagina van GeoGebra en nemen nu een kijkje bij de CAS Rekenmachine (CAS staat voor Computer Algebra Systeem).

Ditmaal komen we terecht in een scherm dat doet denken aan het scherm van het onderdeel Meetkunde, zoals we dat op het laatst hadden ingericht, dus met assen, een rooster en een toetsenbord voor het invoeren van formules. Wat anders is zijn de tabbladen; hier Algebra en Tabel. In dit onderdeel kunnen we onder andere 2D-grafieken maken.

Voorbeeldgrafiek

Klik op het toetsenbordje op de x en op het pictogram daaronder om een kwadraat te maken. Klik vervolgens op +, op y en nogmaals op het Kwadraat-pictogram. Klik tot slot op = en 1 en toets Enter. Er verschijnt een kleine cirkel met straal 1.

Om de cirkel wat groter te maken, kun je inzoomen met het muiswiel of met het Zoom-pictogram rechtsonder.

Links zie je de formule die je hebt ingevoerd (de impliciete vergelijking voor een cirkel). Klik op de drie puntjes erachter en kies Dupliceer invoer. Klik op de tweede formule en verander beide kwadraten in een 4. Na een druk op Enter wordt de nieuwe grafiek getekend die het midden houdt tussen een vierkant en een cirkel. Klik op deze grafiek en klik op het Kleur-pictogram (verf-emmertje). Klik op rood en vervolgens op een lege plek en je hebt twee verschillend gekleurde grafieken.

Klik nu op het tabblad Tabel. Hierin staat de linkerkolom voor x-waarden en de rechter voor y-waarden. Hier kun je uitsluitend getallen invoeren en dit deel gebruik je om bijvoorbeeld een grafiek van de gemeten gegevens te maken.

Klik je op de drie puntjes in de y-kolom dan kun je via Regressie je meetpunten automatisch verbinden.

Het maken van grafieken vormt slechts een klein deel van de mogelijkheden van de CAS Rekenmachine. Je kunt hier bijvoorbeeld ook afgeleiden en integralen berekenen.

3D

Waar we met (onder andere) de CAS Rekenmachine grafieken in het platte vlak kunnen maken, gaan we met de 3D Rekenmachine de ruimte in. De bediening lijkt op die van de eerder besproken onderdelen.

In CAS kun je 2D-grafieken maken op basis van een functie van x of van parametrische vergelijkingen. Ook kun je werken met impliciete vergelijkingen (zoals wij in ons voorbeeld deden) en kun je naast rechthoekige coördinaten ook werken met poolcoördinaten. De 3D-tegenhanger ondersteunt ook al deze varianten, waarbij je in plaats van poolcoördinaten kunt kiezen voor cilindrische of bolcoördinaten.

3D Voorbeeld

Op basis van het 2D-voorbeeld weet je inmiddels hoe je een formule kunt invoeren. In de 3D Rekenmachine kiezen we voor 4x2+y2+z2=16. Na een druk op de Enter-knop verschijnt de grafiek.

In de 3D Rekenmachine kun je niet alleen grafieken maken op basis van formules. In het tabblad Knoppen vind je namelijk ook allerlei objecten. Om ze allemaal te zien, moet je op Meer klikken. Klik bijvoorbeeld op Piramide, klik vervolgens op vier punten op de x- en y- as (in het grondvlak, bijvoorbeeld (4,0,0), (0,6,0), (-4,0,0) en (0,-6,0)). Klik tot slot op de z-as op het punt (0,0,4) en daar is je piramide.

Ook nu kun je het uiterlijk van alles wat je maakt weer volop naar je hand zetten.

Apps

De web-versies van de verschillende onderdelen van GeoGebra werken uitstekend, maar werk je liever lokaal, dan kan dat ook. Op deze pagina vind je alle modules als download voor Windows. Verschillende zijn ook beschikbaar voor macOS en de oerversie GeoGebra Classic is er bovendien voor Linux.

Alle modules zijn daarnaast beschikbaar voor iOS en Android. Zoek je in de appstore voor een van beide op het trefwoord 'geogebra', dan vind je alle beschikbare producten. 

Educatie

Omdat je het werk dat je maakt met GeoGebra online kunt opslaan en kunt delen, biedt de website een gigantische hoeveelheid voorbeelden om mee te spelen. Op de startpagina van GeoGebra zie je de rubriek Aanbevolen materiaal en klik je daarachter op Alle dan kom je op een pagina waar je door het complete aanbod kunt bladeren.

Onder de voorbeelden onder Aanbevolen materiaal (verdeeld over verschillende niveaus), vind je een zoekboom waarmee je door verschillende disciplines binnen de wiskunde kunt bladeren. Klik bijvoorbeeld op Algebra. Zoals je ziet, kun je ook daarbinnen weer navigeren, bijvoorbeeld door te klikken op Breuken. Je ziet nu alle openbare bestanden binnen dat thema. We openen Breuken optellen (niveau 3). Dit werkblad is een typisch voorbeeld van een overhoring en daarom kun je het niet aanpassen. Er zijn ook vele werkbladen waar je wel onder de motorkap kunt kijken om meer de leren over de vele mogelijkheden van GeoGebra.

Zelf leren

We hebben maar een fractie van de vele mogelijkheden kunnen bespreken die GeoGebra en zijn verschillende modules te bieden hebben. Klik je vanaf de startpagina op Toon alle achter Initiatiehandleidingen, dan kom je op een pagina met een dertigtal boeken waarmee je zelfs de meest geavanceerde technieken leert om niet alleen berekeningen te maken, maar ook je eigen gebruikersinterfaces te bouwen.

In de rubriek Waar voor je geld gaan we op zoek naar producten waar je niet de hoofdprijs voor betaalt of die zijn voorzien van bijzondere functies. Een paar keer per week maken we een overzicht van zulke producten. Dit keer: combimagnetrons voor minder dan 200 euro.

Een combimagnetron is een veelzijdig keukenapparaat dat meerdere bereidingswijzen in één toestel combineert, vandaar 'combi'. Waar een gewone magnetron vooral geschikt is voor het opwarmen en ontdooien van eten, kan een combimagnetron veel meer. Je kunt er niet alleen mee magnetronnen, maar ook bakken, grillen en vaak zelfs volledig ovenfuncties gebruiken, zoals hetelucht. Daardoor vervangt een combimagnetron in veel keukens zowel een losse magnetron als een traditionele oven. Wij vonden op kieskeurig.nl vijf combimagnetrons voor minder dan 200 euro.

Samsung MC28H5015CS

Met deze Samsung haal je een stijlvolle keukenhulp in huis die veel meer kan dan alleen opwarmen. Je hebt de beschikking over een ruime inhoud van 28 liter, waardoor ook grotere ovenschalen erin passen. Het draaiplateau kun je stilzetten, wat handig is als je vierkante borden gebruikt die anders tegen de randen zouden stoten. De binnenkant is voorzien van een keramische emaille laag, waardoor vet en vuil nauwelijks hechten en je hem met een doekje zo weer schoon hebt. Dankzij de diverse automatische programma's hoef je niet zelf te gokken hoe lang je groenten of vlees moet garen.

Specificaties:
Inhoud: 28 Liter
Vermogen: 100 - 900 Watt (6 standen)
Maximum temperatuur: 200 °C
Aantal kookprogramma's: 15

Sharp R-843INW

Deze Sharp is een compacte krachtpatser die perfect is voor kleinere keukens. Je bedient hem eenvoudig via het duidelijke digitale display en de draaiknop. Naast de standaard magnetronfunctie beschikt hij over een krachtige grill en een heteluchtoven die tot 230 graden gaat, wat hoog is voor deze prijsklasse. De zogeheten dubbele grill-functie zorgt ervoor dat je gerechten zowel van boven als onderen knapperig worden. Een leuke extra is de speciale pizza-stand, waarmee je diepvriespizza's net dat beetje extra krokantheid geeft.

Specificaties:
Inhoud: 25 Liter
Vermogen: 90 - 900 Watt (5 standen)
Maximum temperatuur: 230 °C
Aantal kookprogramma's: 10

Tomado TMC2302B

Met de TMC2302B haal je een veelzijdig apparaat in huis dat ondanks zijn compacte formaat van 23 liter toch over uitgebreide functies beschikt. Je bedient de combimagnetron eenvoudig via de draaiknop en de druktoetsen onder het digitale display. Naast de standaard magnetronfunctie kun je gebruikmaken van de heteluchtoven en de grill, of een combinatie hiervan om gerechten sneller te bereiden met een krokant resultaat. Er zijn 10 automatische kookprogramma's ingebouwd, zodat je voor veelvoorkomende gerechten zoals pizza of aardappelen niet zelf de tijd en temperatuur hoeft te bedenken. Het draaiplateau zorgt voor een gelijkmatige verwarming van je eten en de binnenverlichting springt automatisch aan zodra je de deur opent. Mocht je kleine kinderen in huis hebben, dan kun je het bedieningspaneel vergrendelen met het kinderslot.

Specificaties:
Inhoud: 23 Liter
Vermogen: 90 - 900 Watt (5 standen)
Maximum temperatuur: 200 °C
Aantal kookprogramma's: 10

Etna CMV328ZT

Deze Etna valt op door zijn strakke zwarte design dat in bijna elke moderne keuken past. Je bedient hem met druktoetsen en een draaiknop, wat de bediening intuïtief maakt. Hij heeft een inhoud van 28 liter en combineert magnetron, grill en hetelucht. Een handige feature is de ontdooifunctie op gewicht: je voert in hoeveel gram vlees je hebt en deze magnetron berekent zelf de tijd. De ovenfunctie gaat tot 230 graden, waardoor je er ook prima een cake of lasagne in kunt bereiden.

Specificaties:
Inhoud: 28 Liter
Vermogen: 90 - 900 Watt (5 standen)
Maximum temperatuur: 230 °C
Aantal kookprogramma's: 10

Inventum MN297CB

Inventum staat bekend om degelijke apparatuur en dat zie je terug in dit model. Je hebt de keuze uit diverse kookprogramma's die het leven makkelijker maken. De combinatie van magnetron en hetelucht zorgt ervoor dat je gerechten snel gaar zijn maar toch die lekkere oven-structuur behouden. Het apparaat wordt geleverd met een draaiplateau en een grillrooster, zodat je direct aan de slag kunt met grillen. De timer is digitaal in te stellen tot 95 minuten, wat lang genoeg is voor de meeste ovengerechten.

Specificaties:Inhoud: 29 Liter
Vermogen: 100 - 1000 Watt (5 standen)
Maximum temperatuur: 240 °C
Aantal kookprogramma's: 10

Een terminaal zieke fan van de Grand Theft Auto-reeks heeft mogelijk de kans gekregen om Grand Theft Auto 6 al ruim voor release te spelen.

Ubisoft Toronto-ontwikkelaar Anthony Armstrong plaatste in december een inmiddels verwijderd bericht op LinkedIn. Daarin viel te lezen dat een familielid van hem al jaren tegen kanker streed, en dat de persoon in kwestie nog maar een halfjaar tot jaar te leven had.

'Geweldig nieuws'

In het bericht verduidelijkte Armstrong dat het familielid in kwestie een enorme fan van de Grand Theft Auto-reeks is, en dat het er naar uitzag dat de persoon niet het nieuwste deel in de reeks zou kunnen spelen, dat pas op 19 november uitkomt. Armstrong sprak dan ook de wens uit dat GTA-ontwikkelaar Rockstar Games het op een of andere manier mogelijk zou kunnen maken om de zieke fan alvast GTA 6 te laten spelen.

Enkele weken later gaf Armstrong een update: de ceo van Take-Two Interactive - de uitgever van de GTA-spellen - had contact opgenomen en alleen ontwikkelaar Rockstar moest nog laten weten wat er mogelijk was. In een laatste update voordat het hele bericht werd verwijderd, liet Armstrong weten dat contact met Rockstar inmiddels was gelegd en dat er "geweldig nieuws" uit kwam.

Het lijkt er dus op dat Rockstar Games de terminaal zieke fan tegemoet kwam en hem alvast Grand Theft Auto 6 liet spelen. Het is niet voor het eerst dat de ontwikkelaar iets dergelijks mogelijk maakt: in 2018 mocht een terminaal zieke fan al aan de slag met Rockstars Red Dead Redemption 2, dat een paar weken later pas uit zou komen.

Over Grand Theft Auto 6

De rest van de wereld moet in ieder geval nog tot 19 november wachten tot men met Grand Theft Auto 6 aan de slag kan op PlayStation 5 en Xbox Series X en S. De game draait om twee hoofdpersonages: Lucia Caminos en Jason Duval. Het duo heeft een relatie, en duidelijk is in ieder geval dat Lucia vrijkomt uit de gevangenis en het tweetal vervolgens nog verder het criminele pad op gaat.

De game speelt zich af in Vice City, een fictieve versie van Miami, en omstreken. Dat betekent dat spelers glooiende stranden en met neon verlichte straten kunnen verwachten. Het was ook al de setting van de PlayStation 2-game Grand Theft Auto: Vice City, dat na GTA 3 uitkomt. Naar verwachting zal Grand Theft Auto 6 een ongekende hoeveelheid details vertonen. Lees hier alles over de game.