Er zijn heel wat tools waarmee je (online) rekenwerk kunt verrichten, maar weinige zijn zo veelzijdig als GeoGebra. De naam is een samentrekking van de woorden geometrie en algebra, het is zowel online beschikbaar als via apps voor vrijwel elk platform.

GeoGebra heeft een lange geschiedenis die meer dan twintig jaar teruggaat. Het project werd ooit opgezet om het leren en onderwijzen van met name algebra en meetkunde te vereenvoudigen, maar is vanwege zijn vele gereedschappen ook zeer geschikt om zelf allerlei (reken)problemen mee op te lossen. Bovendien is GeoGebra door de jaren uitgebreid naar nog meer wiskundige vakgebieden, zoals statistiek en analyse.

Korte rondleiding

De thuisbasis van GeoGebra is www.geogebra.org. Als de site niet standaard in het Nederlands verschijnt, kun je onderaan de pagina op de wereldbol klikken. Je kunt dan de gewenste taal selecteren.

Op de site vind je verschillende modules die je los of gecombineerd kunt gebruiken. Zo is er de 3D Rekenmachine voor het maken van 3D-grafieken, de Grafische rekenmachine voor het maken van 2D-grafieken, de Wetenschappelijke rekenmachine voor het maken van (wiskundige) berekeningen en de CAS Rekenmachine voor 2D-grafieken en algebra. De Rekenmachine suite combineert deze modules en voegt daar kansberekening aan toe.

Daarnaast vind je op de hoofdpagina links naar GeoGebra Klassiek, de oorspronkelijke combinatie van meetkunde en algebra, het onderdeel Meetkunde, dat zich specifiek richt op het oplossen van meetkundige vraagstukken en het Notitieblok, waarmee je illustraties kunt maken.

Met het onderdeel Toetsen kunnen docenten examenvragen maken die offline kunnen worden gebruikt en tot slot heb je toegang tot heel veel lesmateriaal en bronnen voor het leren werken met GeoGebra.

Meetkunde

De Griekse wiskundige Euclides leefde zo’n 2300 jaar geleden en is vooral bekend van De Elementen, een serie geschriften waarin hij onder andere in Boek 1 de basisbeginselen van de zogeheten vlakke meetkunde uitwerkt. Hierin bewijst hij vanuit een vijftal vooronderstellingen (axioma’s) allerlei zaken over lijnen, cirkels, driehoeken enzovoort. De manier waarop hij dat deed, staat sindsdien model voor het uitbreiden van kennis door middel van logisch redeneren en daarom vormde De Elementen zo’n 2000 jaar lang (!) verplicht studiemateriaal voor iedereen die een hogere opleiding volgde en is het nog altijd goede kost om de geest te scherpen.

Eén van de te bewijzen stellingen over gelijkzijdige driehoeken in het begin van De Elementen (Propositie 5) werd bekend onder de naam Pons Asinorum, Latijn voor ezelsbrug. Waar dat bij ons een mentaal hulpmiddel betekent, staat het oorspronkelijk juist voor een probleem dat bepaalde of je slim genoeg was om door te gaan.

Constructie

De klassieke meetkunde van Euclides maakt gebruik van constructies met een passer en een liniaal. Die laatste dient alleen voor het tekenen van rechte lijnen en heeft geen maatstrepen. Het zal je verbazen hoeveel Euclides (en zijn navolgers in latere eeuwen) met die eenvoudige gereedschappen kon ontdekken. In het onderdeel Meetkunde van GeoGebra kun je zelf aan de slag met een digitale passer en liniaal.

Objecten

In het venster links zie je onder Basisknoppen een handvol objecten die je kunt maken. Met Punt, Lijnstuk, Lijn en Cirkel bewijst Euclides hoe je bijvoorbeeld een lijnstuk in twee gelijke delen kunt delen. Om zo’n middelpunt in latere constructies niet telkens opnieuw te hoeven maken, kun je dit soort meer geavanceerde objecten in Meetkunde ook in één keer maken. Klik daarvoor op Meer. Behalve Constructies kun je ook andere elementen toevoegen, zoals tekst. Scrol je naar beneden dan kun je nogmaals op Meer klikken voor extra mogelijkheden.

Voorbeeld

Klik op Nieuw punt en klik vervolgens op drie verschillende plekken in het rechterschermdeel. Zoals je ziet, worden de drie punten die je daarmee hebt geplaatst naar goed meetkundig gebruik automatisch van een letter voorzien. Kies nu Lijnstuk onder Basisknoppen en klik op punt A. Klik vervolgens op punt B. A en B zijn nu verbonden. Maak op dezelfde manier de driehoek af.

Klik nu onder Constructies op Midden of middelpunt en klik vervolgens op een willekeurige plek op elk van de drie lijnen. Het programma plaatst nu in elk daarvan een middelpunt en voorziet ook die van een letter.

Kies nu Cirkel met middelpunt onder Basisknoppen. Klik op punt A en punt E om een cirkel te maken met straal AE. Doe hetzelfde voor C en F en voor B en D.

Opmaak

Klik je onder Basisknoppen op Verplaatsen, dan kun je elk van de oorspronkelijke (blauwe) punten verslepen. Daarbij blijven de eigenschappen van je constructie in stand. De cirkel door E met middelpunt A blijft dus door E gaan, ook als je A verplaatst.

Klik je onder Bewerken op Selecteer object, dan kun je lijnen, cirkels en dergelijke selecteren. Klik bijvoorbeeld op één van de cirkels. Er verschijnt nu een pop-upmenu met vier pictogrammen.

De eerste drie geven snel toegang tot Kleuren, Labels en Verwijderen, maar de vierde (de drie puntjes) is het krachtigst. Hiermee krijg je via Instellingen toegang tot álle mogelijkheden, variërend van het kiezen van een vaste kleur tot zeer geavanceerde mogelijkheden, zoals kleuren op basis van berekeningen en het maken van scripts.

Gewapend met deze kennis kun je zelf de meest ingewikkelde constructies maken en meetkundige problemen oplossen.

Tabblad Algebra

Uiterst links is standaard het tabblad Macro’s geselecteerd, waarin je de elementen voor je constructie kunt kiezen, aanpassen en verwijderen. Daarnaast is er het tabblad Algebra. Die naam is op het eerste gezicht wat verwarrend, want wat je er ziet is de geschiedenis van een constructie die je hebt gemaakt. Helemaal onderaan zie je ook een zwart pictogram in de vorm van een klein toetsenbord. Daarmee open je een toetsenbord met meerdere tabs waarmee je berekeningen en allerlei geavanceerde functies aan je constructie kunt toevoegen. Klik daarvoor op de drie puntjes boven het toetsenbord. Je ziet dan een helpfunctie met alle concepten die het programma kent. Klik je op een concept, dan verschijnen links daarvan één of meer commando’s. Klik je daarop, dan wordt of worden deze aan je lijst met constructiestappen toegevoegd.

Instellingen

Rechtsboven in het tekenscherm vinden we achter het tandwielpictogram de nodige nuttige instellingen. Bij traditionele meetkunde worden geen roosters gebruikt, maar bij veel andere varianten wel. Ook zijn assen en roosters handig wanneer je constructietekeningen met bekende afstanden wilt maken. Hier kun je niet alleen assen en roosters inschakelen, maar ook het rooster magnetisch maken, zodat punten die je plaatst altijd exact samenvallen met roosterpunten. Via Instellingen kun je bovendien de eigenschappen van assen en roosters aanpassen.

Ook zie je in het menu Wis spoor. Wanneer je een punt in je constructie selecteert, dan kun je namelijk aangeven dat GeoGebra een spoor moet tekenen wanneer het direct of indirect wordt verplaatst. Dit is de plek om dat spoor weer op te ruimen.

Menu

Linksboven (drie streepjes) vind je het menu van GeoGebra. Hier kun je het eindresultaat van een constructie als afbeelding opslaan of afdrukken. Je kunt je werk ook online opslaan. Daardoor kun je er op een later tijdstip ook vanaf een ander platform verder aan werken en als je het werkstuk openbaar maakt, kunnen andere gebruikers stap voor stap je constructie volgen. Dit is het educatieve aspect van GeoGebra waarop we in de paragraaf 'Educatie' nog terugkomen. Je kunt je werk ook privé opslaan. Om je werk lokaal te kunnen opslaan, moet je eerst een gratis account aanmaken.

Kies je in dit menu Open, dan krijg je niet alleen toegang tot je eigen werk, maar ook de tot het vele materiaal dat anderen gemaakt hebben.

CAS Rekenmachine

We keren terug naar de startpagina van GeoGebra en nemen nu een kijkje bij de CAS Rekenmachine (CAS staat voor Computer Algebra Systeem).

Ditmaal komen we terecht in een scherm dat doet denken aan het scherm van het onderdeel Meetkunde, zoals we dat op het laatst hadden ingericht, dus met assen, een rooster en een toetsenbord voor het invoeren van formules. Wat anders is zijn de tabbladen; hier Algebra en Tabel. In dit onderdeel kunnen we onder andere 2D-grafieken maken.

Voorbeeldgrafiek

Klik op het toetsenbordje op de x en op het pictogram daaronder om een kwadraat te maken. Klik vervolgens op +, op y en nogmaals op het Kwadraat-pictogram. Klik tot slot op = en 1 en toets Enter. Er verschijnt een kleine cirkel met straal 1.

Om de cirkel wat groter te maken, kun je inzoomen met het muiswiel of met het Zoom-pictogram rechtsonder.

Links zie je de formule die je hebt ingevoerd (de impliciete vergelijking voor een cirkel). Klik op de drie puntjes erachter en kies Dupliceer invoer. Klik op de tweede formule en verander beide kwadraten in een 4. Na een druk op Enter wordt de nieuwe grafiek getekend die het midden houdt tussen een vierkant en een cirkel. Klik op deze grafiek en klik op het Kleur-pictogram (verf-emmertje). Klik op rood en vervolgens op een lege plek en je hebt twee verschillend gekleurde grafieken.

Klik nu op het tabblad Tabel. Hierin staat de linkerkolom voor x-waarden en de rechter voor y-waarden. Hier kun je uitsluitend getallen invoeren en dit deel gebruik je om bijvoorbeeld een grafiek van de gemeten gegevens te maken.

Klik je op de drie puntjes in de y-kolom dan kun je via Regressie je meetpunten automatisch verbinden.

Het maken van grafieken vormt slechts een klein deel van de mogelijkheden van de CAS Rekenmachine. Je kunt hier bijvoorbeeld ook afgeleiden en integralen berekenen.

3D

Waar we met (onder andere) de CAS Rekenmachine grafieken in het platte vlak kunnen maken, gaan we met de 3D Rekenmachine de ruimte in. De bediening lijkt op die van de eerder besproken onderdelen.

In CAS kun je 2D-grafieken maken op basis van een functie van x of van parametrische vergelijkingen. Ook kun je werken met impliciete vergelijkingen (zoals wij in ons voorbeeld deden) en kun je naast rechthoekige coördinaten ook werken met poolcoördinaten. De 3D-tegenhanger ondersteunt ook al deze varianten, waarbij je in plaats van poolcoördinaten kunt kiezen voor cilindrische of bolcoördinaten.

3D Voorbeeld

Op basis van het 2D-voorbeeld weet je inmiddels hoe je een formule kunt invoeren. In de 3D Rekenmachine kiezen we voor 4x2+y2+z2=16. Na een druk op de Enter-knop verschijnt de grafiek.

In de 3D Rekenmachine kun je niet alleen grafieken maken op basis van formules. In het tabblad Knoppen vind je namelijk ook allerlei objecten. Om ze allemaal te zien, moet je op Meer klikken. Klik bijvoorbeeld op Piramide, klik vervolgens op vier punten op de x- en y- as (in het grondvlak, bijvoorbeeld (4,0,0), (0,6,0), (-4,0,0) en (0,-6,0)). Klik tot slot op de z-as op het punt (0,0,4) en daar is je piramide.

Ook nu kun je het uiterlijk van alles wat je maakt weer volop naar je hand zetten.

Apps

De web-versies van de verschillende onderdelen van GeoGebra werken uitstekend, maar werk je liever lokaal, dan kan dat ook. Op deze pagina vind je alle modules als download voor Windows. Verschillende zijn ook beschikbaar voor macOS en de oerversie GeoGebra Classic is er bovendien voor Linux.

Alle modules zijn daarnaast beschikbaar voor iOS en Android. Zoek je in de appstore voor een van beide op het trefwoord 'geogebra', dan vind je alle beschikbare producten. 

Educatie

Omdat je het werk dat je maakt met GeoGebra online kunt opslaan en kunt delen, biedt de website een gigantische hoeveelheid voorbeelden om mee te spelen. Op de startpagina van GeoGebra zie je de rubriek Aanbevolen materiaal en klik je daarachter op Alle dan kom je op een pagina waar je door het complete aanbod kunt bladeren.

Onder de voorbeelden onder Aanbevolen materiaal (verdeeld over verschillende niveaus), vind je een zoekboom waarmee je door verschillende disciplines binnen de wiskunde kunt bladeren. Klik bijvoorbeeld op Algebra. Zoals je ziet, kun je ook daarbinnen weer navigeren, bijvoorbeeld door te klikken op Breuken. Je ziet nu alle openbare bestanden binnen dat thema. We openen Breuken optellen (niveau 3). Dit werkblad is een typisch voorbeeld van een overhoring en daarom kun je het niet aanpassen. Er zijn ook vele werkbladen waar je wel onder de motorkap kunt kijken om meer de leren over de vele mogelijkheden van GeoGebra.

Zelf leren

We hebben maar een fractie van de vele mogelijkheden kunnen bespreken die GeoGebra en zijn verschillende modules te bieden hebben. Klik je vanaf de startpagina op Toon alle achter Initiatiehandleidingen, dan kom je op een pagina met een dertigtal boeken waarmee je zelfs de meest geavanceerde technieken leert om niet alleen berekeningen te maken, maar ook je eigen gebruikersinterfaces te bouwen.

Tijdens de elektronicabeurs CES 2026 viert ASUS Republic of Gamers (ROG) zijn twintigste verjaardag met de introductie van een breed scala aan nieuwe producten. De fabrikant toont onder meer vernieuwde Zephyrus-laptops met de nieuwste grafische kaarten, geavanceerde oledmonitors en een opvallende productlijn in samenwerking met Kojima Productions.

De presentatie in Las Vegas staat dit jaar in het teken van een jubileum, aangezien het submerk dit jaar precies twee decennia bestaat. Wat in 2006 begon met de introductie van een moederbord is inmiddels uitgegroeid tot een volledig ecosysteem dat varieert van losse componenten tot complete systemen en wearables.

Op CES blikt ROG echter niet alleen terug op het verleden, maar wordt ook gekeken naar de toekomst die wordt gevormd in het ROG Lab. In deze interne ontwikkelafdeling van ASUS ligt de focus op de kunst om apparaten steeds krachtiger te maken en ze tegelijkertijd koel te houden, zeker nu computers steeds zwaardere AI-taken zelfstandig moeten verwerken. Bezoekers van de techbeurs kunnen de resultaten van deze engineering-inspanningen de komende dagen live bekijken in The Venetian Expo.

Nieuwe Zephyrus-modellen

Daarnaast heeft ASUS voor de gelegenheid zijn populaire Zephyrus-lijn een update gegeven met de nieuwe G14- en G16-modellen. Deze laptops zijn ontworpen om veel rekenkracht te bieden in een relatief compacte behuizing, waarbij de interne componenten flink zijn opgekrikt ten opzichte van de voorgaande generaties. De apparaten maken gebruik van de nieuwste Intel Core Ultra Series 3-processors en bieden ondersteuning voor NVIDIA GeForce RTX 50-serie grafische kaarten, waarbij het 16-inch model zelfs is uit te rusten met een RTX 5090.

Een belangrijk aspect van deze nieuwe chips is de toevoeging van krachtige NPU's, die lokale AI-taken kunnen verwerken zonder tussenkomst van de cloud. Daarnaast zijn de laptops voorzien van verbeterde oledschermen met een hogere helderheid en kleurnauwkeurigheid, wat ze geschikt maakt voor zowel gaming als grafisch werk.

©ASUS ROG

Dubbele schermen voor multitaskers

Naast de standaardmodellen introduceert ROG ook een nieuwe versie van de Zephyrus Duo 16, een laptop die zich onderscheidt door de integratie van een tweede scherm boven het toetsenbord. Dit secundaire touchscreen werkt samen met het 16-inch hoofdscherm om extra werkruimte te bieden, wat vooral nuttig is voor streamers die hun chat willen lezen of creatieve professionals die hun tijdlijn en tools gescheiden willen houden.

Beide schermen maken gebruik van oledtechnologie en hebben een verversingssnelheid van 120Hz of hoger, wat zorgt voor een vloeiende weergave van beelden. Om de warmteontwikkeling van de zware componenten (waaronder een Intel-processor en een RTX 5090-videokaart) tegen te gaan, maakt het systeem gebruik van een koelmechanisme waarbij de luchttoevoer wordt vergroot zodra het tweede scherm omhoog kantelt.

©ASUS ROG

Samenwerking met Kojima Productions

Een van de meest opvallende aankondigingen is de samenwerking tussen ASUS ROG en de bekende game-ontwikkelaar Hideo Kojima. Deze collectie draait om de ROG Flow Z13-KJP, een krachtige 2-in-1 tablet die functioneert als een volwaardige gaming-pc. Het ontwerp is geïnspireerd op de esthetiek van Kojima Productions en bevat specifieke details die verwijzen naar de bedrijfsmascotte Ludens.

Onder de motorkap bevindt zich een AMD Ryzen AI Max+-processor, waardoor het apparaat ondanks zijn compacte tabletformaat zware taken aankan. De collectie wordt gecompleteerd door bijpassende randapparatuur, waaronder een headset, muis en muismat, die allemaal zijn vormgegeven door Kojima's vaste artdirector Yoji Shinkawa.

©ASUS ROG

Innovaties in beeldweergave en augmented reality

Op het gebied van beeldschermen zet de fabrikant vol in op oledtechnologie met de introductie van nieuwe monitoren die gebruikmaken van Tandem RGB- en QD-OLED-panelen. De nieuwe ROG Swift OLED PG27UCWM biedt bijvoorbeeld een 4K-resolutie met een extreem hoge verversingssnelheid en belooft een langere levensduur en hogere helderheid dan eerdere generaties.

Voor wie liever geen fysieke monitor gebruikt, komt ASUS met de ROG XREAL R1 Gaming Glasses. Deze augmented reality-bril projecteert een virtueel scherm voor je ogen, waardoor het mogelijk is om op een groot formaat te gamen zonder dat daar een televisie of monitor voor nodig is. De bril is uitgerust met sensoren die hoofdbewegingen volgen en ingebouwde audio van Bose, wat moet zorgen voor een meeslepende ervaring onderweg of in kleinere ruimtes.

©ASUS ROG

Focus op audio en magnetische toetsenborden

Tot slot breidt ASUS zijn assortiment aan randapparatuur uit met producten die inspelen op specifieke wensen van gamers, zoals open-ear audio en aanpasbare toetsaanslagen. De nieuwe ROG Cetra Open Wireless-oordoppen zijn ontworpen om omgevingsgeluid door te laten, zodat je tijdens het gamen of werken bereikbaar blijft voor huisgenoten of collega's.

Voor competitieve spelers is er de ROG Falchion Ace 75 HE, een compact toetsenbord met magnetische schakelaars. Daarmee kun je het actuatiepunt – het moment waarop een toetsaanslag wordt geregistreerd – enorm nauwkeurig instellen, variërend van een lichte aanraking tot een diepe toetsaanslag.

©ASUS ROG

Googles Nest Cam Outdoor (2de generatie, netvoeding) is een beveiligingscamera voor buiten. De camera zit vol slimme AI-functies die de gebruikservaring verbeteren, stelt Google. We namen de proef op de som, maar komen vooral tot de conclusie dat deze camera pas goed uit de verf komt met een abonnement.

Deze Nest Cam Outdoor volgt een model van een paar jaar geleden op, vandaar de toevoeging '2de generatie' in de productnaam. Daar staat ook nog 'netvoeding' in, want de camera werkt alleen als de lange stekker in het stopcontact zit. Een aandachtspunt ten opzichte van sommige concurrerende beveiligingscamera's die op een accu werken en dus makkelijker overal op te hangen zijn. Aan de andere kant hoef je bij de Nest Cam Outdoor niet te denken aan het regelmatig opladen van een batterij.

©Rens Blom

©Rens Blom

Bij de installatie van de camera pak je de Google Home-app erbij op je smartphone of tablet. Het instellen via de app is snel gebeurd en je krijgt duidelijke instructies over de fysieke montage van de camera. Dat is netjes. Handig is de magnetische basis van de camera, waardoor hij stevig vastklikt en nauwkeurig te draaien of kantelen is om de juiste hoek van je balkon of – aannemelijker – tuin te filmen. De basis van de camera kun je eenvoudig vastschroeven in bijvoorbeeld hout of steen, mits je zelf het gereedschap regelt. De stroomkabel is lekker lang.

©Rens Blom

Abonnement

Tegen het eind van de app-installatie maak je kennis met het verdienmodel van Googles camera's. Standaard kun je beelden tot zes uur terugkijken, wat nog geen halve dag is. Dat is natuurlijk nogal kort. Twee optionele abonnementen bieden uitkomst. Met het Home Premium Standard-abonnement kun je 'gebeurtenissen' tot 30 dagen terugkijken. Gebeurtenissen zijn momenten waarop de camera aanslaat, bijvoorbeeld omdat er een huisdier of persoon door het beeld liep. Dit abonnement kost maar liefst 10 euro per maand. Er is ook nog een Home Premium Advanced-abonnement van 18 euro per maand. Met dit abonnement kun je gebeurtenissen tot 60 dagen terugkijken, de laatste 10 dagen 24/7 terugspoelen en krijg je meer AI-functies tot je beschikking. Je krijgt een maand proefperiode. Wij vinden de abonnementen wel erg aan de prijs.

©Rens Blom

AI komt begin 2026 pas

Wij gebruikten de proefmaand om de Nest Cam Outdoor aan het werk te zetten op ons dakterras. We hebben filters ingesteld voor gebeurtenissen, zodat we bijvoorbeeld alleen video-opnamen zien van gezichten die de camera herkent. Dat werkt prima, maar voelt niet echt als AI. Googles app geeft gelukkig mooie beschrijvingen van wat de AI allemaal kan. Je kunt bijvoorbeeld 'de hele videogeschiedenis van je camera doorzoeken' of 'snel een overzicht krijgen van wat er vandaag is gebeurd'. Google belooft ook slimme app-meldingen 'over bezoekers en bezorgingen, AI-beschrijvingen en de mogelijkheid om Home te laten zoeken naar alles wat je camera's zien'. Kijk, dát klinkt tof. De technieken leunen op Gemini, de naam van Googles AI.

©Rens Blom

Maar wat blijkt: de Gemini-functies komen pas begin 2026 beschikbaar, zo lezen we op Googles website. In de Home-app kun je bij het camera-tabblad weliswaar vragen stellen aan een AI-chatbot, maar die antwoordt keurig dat hij nog geen antwoord kan geven. Een domper voor de reviewer – die dus nog niet alle beloofde functies kan testen – en voor vroege kopers, die geduld moeten hebben.

©Google-website

Prima camera

We kunnen de Google Nest Cam Outdoor gelukkig wel als beveiligingscamera testen. Wat valt op? De beeldkwaliteit is duidelijk en scherper dan Full HD. Ook in het donker zijn video-opnamen prima. De microfoon vangt geluiden netjes op en onze stem kan ook uit de luidspreker schallen. Meldingen komen snel binnen op onze smartphone. We missen alleen de optie om bepaalde hoeken die de camera filmt softwarematig zwart te maken, een optie die concurrent Ring wel biedt.

©Rens Blom

Net als bij Ring en Arlo stoort het ons dat Google je geen mogelijkheid geeft om videobeelden lokaal op te slaan, bijvoorbeeld op een microSD-kaartje. Wil je beelden langer dan zes uur terugkijken, dan zit je aan een abonnement van minimaal 10 euro per maand vast.

©Rens Blom

©Rens Blom

Google Nest Cam Outdoor (2de generatie) kopen?

De Google Nest Cam Outdoor is een prima beveiligingscamera zonder spannende fysieke functies. Google zegt dat deze camera het vooral van zijn AI-software moet hebben, maar belangrijke functies zijn op moment van schrijven nog niet beschikbaar. Bovendien vereisen deze functies, net als beelden langere tijd terugkijken, een vrij duur abonnement. Om die redenen weten wij niet zo goed wat we met deze camera aan moeten.