Er zijn heel wat tools waarmee je (online) rekenwerk kunt verrichten, maar weinige zijn zo veelzijdig als GeoGebra. De naam is een samentrekking van de woorden geometrie en algebra, het is zowel online beschikbaar als via apps voor vrijwel elk platform.

GeoGebra heeft een lange geschiedenis die meer dan twintig jaar teruggaat. Het project werd ooit opgezet om het leren en onderwijzen van met name algebra en meetkunde te vereenvoudigen, maar is vanwege zijn vele gereedschappen ook zeer geschikt om zelf allerlei (reken)problemen mee op te lossen. Bovendien is GeoGebra door de jaren uitgebreid naar nog meer wiskundige vakgebieden, zoals statistiek en analyse.

Korte rondleiding

De thuisbasis van GeoGebra is www.geogebra.org. Als de site niet standaard in het Nederlands verschijnt, kun je onderaan de pagina op de wereldbol klikken. Je kunt dan de gewenste taal selecteren.

Op de site vind je verschillende modules die je los of gecombineerd kunt gebruiken. Zo is er de 3D Rekenmachine voor het maken van 3D-grafieken, de Grafische rekenmachine voor het maken van 2D-grafieken, de Wetenschappelijke rekenmachine voor het maken van (wiskundige) berekeningen en de CAS Rekenmachine voor 2D-grafieken en algebra. De Rekenmachine suite combineert deze modules en voegt daar kansberekening aan toe.

Daarnaast vind je op de hoofdpagina links naar GeoGebra Klassiek, de oorspronkelijke combinatie van meetkunde en algebra, het onderdeel Meetkunde, dat zich specifiek richt op het oplossen van meetkundige vraagstukken en het Notitieblok, waarmee je illustraties kunt maken.

Met het onderdeel Toetsen kunnen docenten examenvragen maken die offline kunnen worden gebruikt en tot slot heb je toegang tot heel veel lesmateriaal en bronnen voor het leren werken met GeoGebra.

Vanaf de hoofdpagina kun je kiezen voor allerlei gereedschappen en lesmateriaal.

Meetkunde

De Griekse wiskundige Euclides leefde zo’n 2300 jaar geleden en is vooral bekend van De Elementen, een serie geschriften waarin hij onder andere in Boek 1 de basisbeginselen van de zogeheten vlakke meetkunde uitwerkt. Hierin bewijst hij vanuit een vijftal vooronderstellingen (axioma’s) allerlei zaken over lijnen, cirkels, driehoeken enzovoort. De manier waarop hij dat deed, staat sindsdien model voor het uitbreiden van kennis door middel van logisch redeneren en daarom vormde De Elementen zo’n 2000 jaar lang (!) verplicht studiemateriaal voor iedereen die een hogere opleiding volgde en is het nog altijd goede kost om de geest te scherpen.

Eén van de te bewijzen stellingen over gelijkzijdige driehoeken in het begin van De Elementen (Propositie 5) werd bekend onder de naam Pons Asinorum, Latijn voor ezelsbrug. Waar dat bij ons een mentaal hulpmiddel betekent, staat het oorspronkelijk juist voor een probleem dat bepaalde of je slim genoeg was om door te gaan.

Constructie

De klassieke meetkunde van Euclides maakt gebruik van constructies met een passer en een liniaal. Die laatste dient alleen voor het tekenen van rechte lijnen en heeft geen maatstrepen. Het zal je verbazen hoeveel Euclides (en zijn navolgers in latere eeuwen) met die eenvoudige gereedschappen kon ontdekken. In het onderdeel Meetkunde van GeoGebra kun je zelf aan de slag met een digitale passer en liniaal.

Objecten

In het venster links zie je onder Basisknoppen een handvol objecten die je kunt maken. Met Punt, Lijnstuk, Lijn en Cirkel bewijst Euclides hoe je bijvoorbeeld een lijnstuk in twee gelijke delen kunt delen. Om zo’n middelpunt in latere constructies niet telkens opnieuw te hoeven maken, kun je dit soort meer geavanceerde objecten in Meetkunde ook in één keer maken. Klik daarvoor op Meer. Behalve Constructies kun je ook andere elementen toevoegen, zoals tekst. Scrol je naar beneden dan kun je nogmaals op Meer klikken voor extra mogelijkheden.

In het onderdeel Meetkunde kun je meetkundige constructies maken.

Voorbeeld

Klik op Nieuw punt en klik vervolgens op drie verschillende plekken in het rechterschermdeel. Zoals je ziet, worden de drie punten die je daarmee hebt geplaatst naar goed meetkundig gebruik automatisch van een letter voorzien. Kies nu Lijnstuk onder Basisknoppen en klik op punt A. Klik vervolgens op punt B. A en B zijn nu verbonden. Maak op dezelfde manier de driehoek af.

Klik nu onder Constructies op Midden of middelpunt en klik vervolgens op een willekeurige plek op elk van de drie lijnen. Het programma plaatst nu in elk daarvan een middelpunt en voorziet ook die van een letter.

Kies nu Cirkel met middelpunt onder Basisknoppen. Klik op punt A en punt E om een cirkel te maken met straal AE. Doe hetzelfde voor C en F en voor B en D.

In Meetkunde maak je snel en gemakkelijk meetkundige tekeningen.

Opmaak

Klik je onder Basisknoppen op Verplaatsen, dan kun je elk van de oorspronkelijke (blauwe) punten verslepen. Daarbij blijven de eigenschappen van je constructie in stand. De cirkel door E met middelpunt A blijft dus door E gaan, ook als je A verplaatst.

Klik je onder Bewerken op Selecteer object, dan kun je lijnen, cirkels en dergelijke selecteren. Klik bijvoorbeeld op één van de cirkels. Er verschijnt nu een pop-upmenu met vier pictogrammen.

De eerste drie geven snel toegang tot Kleuren, Labels en Verwijderen, maar de vierde (de drie puntjes) is het krachtigst. Hiermee krijg je via Instellingen toegang tot álle mogelijkheden, variërend van het kiezen van een vaste kleur tot zeer geavanceerde mogelijkheden, zoals kleuren op basis van berekeningen en het maken van scripts.

Gewapend met deze kennis kun je zelf de meest ingewikkelde constructies maken en meetkundige problemen oplossen.

Het uiterlijk van meetkundige constructies kun je helemaal naar je hand zetten.

Tabblad Algebra

Uiterst links is standaard het tabblad Macro’s geselecteerd, waarin je de elementen voor je constructie kunt kiezen, aanpassen en verwijderen. Daarnaast is er het tabblad Algebra. Die naam is op het eerste gezicht wat verwarrend, want wat je er ziet is de geschiedenis van een constructie die je hebt gemaakt. Helemaal onderaan zie je ook een zwart pictogram in de vorm van een klein toetsenbord. Daarmee open je een toetsenbord met meerdere tabs waarmee je berekeningen en allerlei geavanceerde functies aan je constructie kunt toevoegen. Klik daarvoor op de drie puntjes boven het toetsenbord. Je ziet dan een helpfunctie met alle concepten die het programma kent. Klik je op een concept, dan verschijnen links daarvan één of meer commando’s. Klik je daarop, dan wordt of worden deze aan je lijst met constructiestappen toegevoegd.

Het tabblad Algebra toont je constructiegeschiedenis.

Instellingen

Rechtsboven in het tekenscherm vinden we achter het tandwielpictogram de nodige nuttige instellingen. Bij traditionele meetkunde worden geen roosters gebruikt, maar bij veel andere varianten wel. Ook zijn assen en roosters handig wanneer je constructietekeningen met bekende afstanden wilt maken. Hier kun je niet alleen assen en roosters inschakelen, maar ook het rooster magnetisch maken, zodat punten die je plaatst altijd exact samenvallen met roosterpunten. Via Instellingen kun je bovendien de eigenschappen van assen en roosters aanpassen.

Ook zie je in het menu Wis spoor. Wanneer je een punt in je constructie selecteert, dan kun je namelijk aangeven dat GeoGebra een spoor moet tekenen wanneer het direct of indirect wordt verplaatst. Dit is de plek om dat spoor weer op te ruimen.

Je kunt ook werken op een rooster en sporen creëren van bewegende punten.

Menu

Linksboven (drie streepjes) vind je het menu van GeoGebra. Hier kun je het eindresultaat van een constructie als afbeelding opslaan of afdrukken. Je kunt je werk ook online opslaan. Daardoor kun je er op een later tijdstip ook vanaf een ander platform verder aan werken en als je het werkstuk openbaar maakt, kunnen andere gebruikers stap voor stap je constructie volgen. Dit is het educatieve aspect van GeoGebra waarop we in de paragraaf 'Educatie' nog terugkomen. Je kunt je werk ook privé opslaan. Om je werk lokaal te kunnen opslaan, moet je eerst een gratis account aanmaken.

Kies je in dit menu Open, dan krijg je niet alleen toegang tot je eigen werk, maar ook de tot het vele materiaal dat anderen gemaakt hebben.

CAS Rekenmachine

We keren terug naar de startpagina van GeoGebra en nemen nu een kijkje bij de CAS Rekenmachine (CAS staat voor Computer Algebra Systeem).

Ditmaal komen we terecht in een scherm dat doet denken aan het scherm van het onderdeel Meetkunde, zoals we dat op het laatst hadden ingericht, dus met assen, een rooster en een toetsenbord voor het invoeren van formules. Wat anders is zijn de tabbladen; hier Algebra en Tabel. In dit onderdeel kunnen we onder andere 2D-grafieken maken.

Voorbeeldgrafiek

Klik op het toetsenbordje op de x en op het pictogram daaronder om een kwadraat te maken. Klik vervolgens op +, op y en nogmaals op het Kwadraat-pictogram. Klik tot slot op = en 1 en toets Enter. Er verschijnt een kleine cirkel met straal 1.

Om de cirkel wat groter te maken, kun je inzoomen met het muiswiel of met het Zoom-pictogram rechtsonder.

Links zie je de formule die je hebt ingevoerd (de impliciete vergelijking voor een cirkel). Klik op de drie puntjes erachter en kies Dupliceer invoer. Klik op de tweede formule en verander beide kwadraten in een 4. Na een druk op Enter wordt de nieuwe grafiek getekend die het midden houdt tussen een vierkant en een cirkel. Klik op deze grafiek en klik op het Kleur-pictogram (verf-emmertje). Klik op rood en vervolgens op een lege plek en je hebt twee verschillend gekleurde grafieken.

Met de CAS Rekenmachine kun je onder andere 2D-grafieken maken.

Klik nu op het tabblad Tabel. Hierin staat de linkerkolom voor x-waarden en de rechter voor y-waarden. Hier kun je uitsluitend getallen invoeren en dit deel gebruik je om bijvoorbeeld een grafiek van de gemeten gegevens te maken.

Klik je op de drie puntjes in de y-kolom dan kun je via Regressie je meetpunten automatisch verbinden.

Het maken van grafieken vormt slechts een klein deel van de mogelijkheden van de CAS Rekenmachine. Je kunt hier bijvoorbeeld ook afgeleiden en integralen berekenen.

Ook kan de CAS Rekenmachine een grafiek door meetpunten bepalen.

3D

Waar we met (onder andere) de CAS Rekenmachine grafieken in het platte vlak kunnen maken, gaan we met de 3D Rekenmachine de ruimte in. De bediening lijkt op die van de eerder besproken onderdelen.

In CAS kun je 2D-grafieken maken op basis van een functie van x of van parametrische vergelijkingen. Ook kun je werken met impliciete vergelijkingen (zoals wij in ons voorbeeld deden) en kun je naast rechthoekige coördinaten ook werken met poolcoördinaten. De 3D-tegenhanger ondersteunt ook al deze varianten, waarbij je in plaats van poolcoördinaten kunt kiezen voor cilindrische of bolcoördinaten.

3D Voorbeeld

Op basis van het 2D-voorbeeld weet je inmiddels hoe je een formule kunt invoeren. In de 3D Rekenmachine kiezen we voor 4x2+y2+z2=16. Na een druk op de Enter-knop verschijnt de grafiek.

In de 3D Rekenmachine kun je niet alleen grafieken maken op basis van formules. In het tabblad Knoppen vind je namelijk ook allerlei objecten. Om ze allemaal te zien, moet je op Meer klikken. Klik bijvoorbeeld op Piramide, klik vervolgens op vier punten op de x- en y- as (in het grondvlak, bijvoorbeeld (4,0,0), (0,6,0), (-4,0,0) en (0,-6,0)). Klik tot slot op de z-as op het punt (0,0,4) en daar is je piramide.

Ook nu kun je het uiterlijk van alles wat je maakt weer volop naar je hand zetten.

GeoGebra maakt 3D grafieken in vele soorten.

Apps

De web-versies van de verschillende onderdelen van GeoGebra werken uitstekend, maar werk je liever lokaal, dan kan dat ook. Op deze pagina vind je alle modules als download voor Windows. Verschillende zijn ook beschikbaar voor macOS en de oerversie GeoGebra Classic is er bovendien voor Linux.

Alle modules zijn daarnaast beschikbaar voor iOS en Android. Zoek je in de appstore voor een van beide op het trefwoord 'geogebra', dan vind je alle beschikbare producten. 

Educatie

Omdat je het werk dat je maakt met GeoGebra online kunt opslaan en kunt delen, biedt de website een gigantische hoeveelheid voorbeelden om mee te spelen. Op de startpagina van GeoGebra zie je de rubriek Aanbevolen materiaal en klik je daarachter op Alle dan kom je op een pagina waar je door het complete aanbod kunt bladeren.

Onder de voorbeelden onder Aanbevolen materiaal (verdeeld over verschillende niveaus), vind je een zoekboom waarmee je door verschillende disciplines binnen de wiskunde kunt bladeren. Klik bijvoorbeeld op Algebra. Zoals je ziet, kun je ook daarbinnen weer navigeren, bijvoorbeeld door te klikken op Breuken. Je ziet nu alle openbare bestanden binnen dat thema. We openen Breuken optellen (niveau 3). Dit werkblad is een typisch voorbeeld van een overhoring en daarom kun je het niet aanpassen. Er zijn ook vele werkbladen waar je wel onder de motorkap kunt kijken om meer de leren over de vele mogelijkheden van GeoGebra.

Met ruim een miljoen openbare werkbladen ben je wel even zoet.

Zelf leren

We hebben maar een fractie van de vele mogelijkheden kunnen bespreken die GeoGebra en zijn verschillende modules te bieden hebben. Klik je vanaf de startpagina op Toon alle achter Initiatiehandleidingen, dan kom je op een pagina met een dertigtal boeken waarmee je zelfs de meest geavanceerde technieken leert om niet alleen berekeningen te maken, maar ook je eigen gebruikersinterfaces te bouwen.

Tientallen digitale boeken helpen je verder op weg om GeoGebra te ontdekken.

De Philips NA221/00 2000-serie Airfryer heeft het Review.nl Testpanel weten te overtuigen met zijn compacte design, snelle prestaties en gebruiksgemak. Dit veelzijdige apparaat kreeg lovende woorden voor de RapidAir-technologie, het handige kijkvenster en de eenvoudige reiniging.

Partnerbijdrage - in samenwerking met Philips

©Philips

Compact design met grote mogelijkheden

De Philips Airfryer 2000-serie onderscheidt zich door zijn compacte formaat en lichte gewicht, zonder in te boeten op capaciteit. Met ruimte voor 800 gram patat of acht kipdrumsticks is hij geschikt voor zowel kleine huishoudens als gezinnen tot vier personen. De RapidAir-technologie zorgt ervoor dat gerechten snel en gelijkmatig gaar worden, met een knapperige buitenkant en een sappige binnenkant. Het doorkijkvenster met verlichting maakt het eenvoudig om het kookproces te volgen zonder het apparaat te openen.

De meeste lof van onze testers gaat overigens uit naar het gebruiksgemak en de prestaties van de airfryer. "Wij hebben deze Philips-airfryer mogen testen en zijn superenthousiast", aldus Channa83, die de airfryer dan ook een 10 geeft.

Strak en functioneel ontwerp

Het design van de Philips 2000-serie Airfryer wordt door bijna alle testers geprezen. De strakke uitstraling en het compacte formaat maken van het apparaat een mooie toevoeging aan de keuken. Tester CGM Peters merkt op: "Het design is mooi, de kleuren stijlvol en het apparaat misstaat niet op het aanrecht." Vooral het kijkvenster en de verlichting worden als grote pluspunten genoemd.

Karin81 benadrukt nog eens: "Het is een mooi uitziend product met een heel handig kijkvenster." Ook de handige snoeropberger aan de achterkant van het apparaat wordt positief ontvangen.

©Philips

Veelzijdigheid in kookopties

De airfryer biedt maar liefst 13 bereidingsmethoden: van frituren en bakken tot grillen en roosteren. Deze veelzijdigheid wordt gewaardeerd door testers zoals PhilippeT: "Je hebt megasnel een gezonde of lekkere snack klaar. Het touchscreen is erg handig en het schoonmaken gaat makkelijk." Zaken als de vooraf ingestelde programma's en de HomeID-recepten-app worden als waardevolle toevoegingen genoemd.

Sommige testers, zoals Marie84!, merken op dat de app handig is, maar dat het even wennen kan zijn om deze optimaal te gebruiken.

Knapperige prestaties in recordtijd

De prestaties van de Philips Airfryer 2000-serie worden unaniem geprezen. Gerechten worden snel en gelijkmatig gaar, en behouden hun smaak en textuur zonder overtollig vet. Elcavale zegt hierover: "Wij waren in positieve zin verrast door het apparaat. Met name het feit dat er geen opwarmtijd is, maakt dat je snel een product kunt bakken."

Channa83 is ook enorm enthousiast: "Patatjes, snacks, aardappeltjes, kippenpootjes... allemaal perfect! Buitenkant lekker knapperig, zoals het hoort."

©Philips

Gebruiksvriendelijk en eenvoudig schoon te maken

De gebruiksvriendelijkheid van de airfryer wordt hoog gewaardeerd. Testers vinden het apparaat gemakkelijk in gebruik dankzij het intuïtieve touchscreen en de vooraf ingestelde programma's. Nathalie M merkt op: "Snel warm, handig digitaal display en duidelijke weergave van tijd en temperatuur."

Het schoonmaken van de airfryer wordt daarnaast als eenvoudig ervaren dankzij de vaatwasserbestendige onderdelen en de antiaanbaklaag. Een tester met de toepasselijke naam Airfryer2024 vindt het schoonmaken 'een fluitje van een cent', hoewel hij opmerkt dat de touchknoppen soms wel wat traag reageren.

✅ Pluspunten:

• Compact en lichtgewicht design
• Knapperige resultaten zonder olie
• Geen voorverwarming nodig
• Eenvoudig schoon te maken

❌ Minpunten:

• Capaciteit mogelijk te klein voor grote gezinnen
• Touchknoppen kunnen traag reageren

Conclusie: een aanrader voor kleine en middelgrote huishoudens

De Philips Airfryer 2000-serie heeft het testpanel weten te overtuigen met zijn snelle prestaties, gebruiksgemak en strakke design. Met een gemiddelde score van een 8,7 en lovende woorden van testers als Channa83 en PhilippeT, is dit apparaat een uitstekende keuze voor iedereen die gezond en snel wil koken.

Groepschats in WhatsApp kunnen erg nuttig zijn om meerdere mensen tegelijk op de hoogte te stellen van een afspraak of boodschap, maar soms word je werkelijk knettergek van het constante gerinkel en getril. Met de tips in dit artikel ben je daar gelukkig snel vanaf!

Meldingen tijdelijk of permanent dempen

Er zijn van die momenten dat je telefoon maar blijft blèren, oplichten en trillen, omdat een aantal mensen in een groep fanatiek berichten met elkaar uitwisselt. Daar zit je helemaal niet op te wachten als jij net geconcentreerd aan het werk bent of ontspannen op een terras zit. Alle notificaties uitschakelen is niet handig, want dan krijg je helemáál niets meer mee... Met de volgende stappen zet je meldingen van specifieke groepschats tijdelijk of permanent uit.

Ga naar de groepschat en klik bovenaan op de naam. Ga naar Meldingen en selecteer de optie Meldingen dempen. Je krijgt vervolgens drie opties te zien: 8 uur, 1 week en Altijd. Kies een instelling zodat je tijdelijk of voor altijd verlost bent van onnodig veel meldingen.

Heb je specifiek last van bellende groepsleden? Ook daar vind je een instelling voor in hetzelfde menu. Onderaan staat onder Bellen een losse setting Meldingen dempen. Je krijgt dezelfde opties te zien als hierboven.

WhatsApp geeft je een nog iets snellere methode om meldingen voor berichten uit te zetten. Ga daarvoor naar de lijst met je contacten in WhatsApp. Houd vervolgens je vinger een paar seconden op de groep die je wilt aanpassen. Bovenin verschijnt er een icoontje van een bel. Klik daarop en bepaal hoelang de groepschat stil moet zijn.

Rechten van leden beperken

WhatsApp-groepen met veel leden lopen de kans om chaotisch te worden. Vooral wanneer deelnemers allerlei berichten sturen die lang niet voor iedereen relevant zijn. Belangrijke mededelingen kunnen hierdoor ondergesneeuwd raken. Daarom kan het handig zijn om alleen bepaalde leden het recht te geven om berichten te sturen. Voor deze instellingen moet je wel zelf een groepsbeheerder zijn.

Ga wederom naar de groepschat en klik bovenin op de naam. Onder Groepsbestemmingen vind je een aantal instellingen. Stel bijvoorbeeld in dat alleen groepsbeheerders berichten kunnen sturen of voorkom dat ieder lid de naam, de omschrijving en de afbeelding van de groepschat kan veranderen.

Voorkomen dat je aan groepen wordt toegevoegd

In WhatsApp is het vrij makkelijk om groepen te maken en daar leden aan toe te voegen. Maar daar zit je lang niet altijd op te wachten. Soms word je namelijk toegevoegd aan spamgroepen of vreemde chats die mogelijk gevaarlijk zijn.

Klik in het hoofdmenu van WhatsApp op de drie bekende verticale stippen bovenin en selecteer Instellingen. Ga naar Privacy en vervolgens naar Groepen. Je komt in een menu waarin je bepaalt wie jou aan groepen kan toevoegen. De standaardinstelling is Iedereen. Kies in plaats daarvan voor Mijn contacten of Mijn contacten, behalve…

Een poll voor minder berichten

Deze laatste tip is in bepaalde situaties erg handig. Want met grote groepen iets afspreken kan een hele klus zijn. Zomaar vragen op welke dag iedereen beschikbaar is, leidt vaak tot een hele bult berichten en doorgaans tot veel meer vragen. In WhatsApp kun je inmiddels gewoon een poll starten om dat te voorkomen. Daarvoor klik je onderaan op de paperclip of het plusje en selecteer je Peiling.

Vul in het volgende scherm je vraag in en de opties waaruit gekozen kan worden. Leden kunnen nu eenvoudig hun keuze maken en de groep wordt niet overspoeld met berichten.