Er zijn heel wat tools waarmee je (online) rekenwerk kunt verrichten, maar weinige zijn zo veelzijdig als GeoGebra. De naam is een samentrekking van de woorden geometrie en algebra, het is zowel online beschikbaar als via apps voor vrijwel elk platform.

GeoGebra heeft een lange geschiedenis die meer dan twintig jaar teruggaat. Het project werd ooit opgezet om het leren en onderwijzen van met name algebra en meetkunde te vereenvoudigen, maar is vanwege zijn vele gereedschappen ook zeer geschikt om zelf allerlei (reken)problemen mee op te lossen. Bovendien is GeoGebra door de jaren uitgebreid naar nog meer wiskundige vakgebieden, zoals statistiek en analyse.

Korte rondleiding

De thuisbasis van GeoGebra is www.geogebra.org. Als de site niet standaard in het Nederlands verschijnt, kun je onderaan de pagina op de wereldbol klikken. Je kunt dan de gewenste taal selecteren.

Op de site vind je verschillende modules die je los of gecombineerd kunt gebruiken. Zo is er de 3D Rekenmachine voor het maken van 3D-grafieken, de Grafische rekenmachine voor het maken van 2D-grafieken, de Wetenschappelijke rekenmachine voor het maken van (wiskundige) berekeningen en de CAS Rekenmachine voor 2D-grafieken en algebra. De Rekenmachine suite combineert deze modules en voegt daar kansberekening aan toe.

Daarnaast vind je op de hoofdpagina links naar GeoGebra Klassiek, de oorspronkelijke combinatie van meetkunde en algebra, het onderdeel Meetkunde, dat zich specifiek richt op het oplossen van meetkundige vraagstukken en het Notitieblok, waarmee je illustraties kunt maken.

Met het onderdeel Toetsen kunnen docenten examenvragen maken die offline kunnen worden gebruikt en tot slot heb je toegang tot heel veel lesmateriaal en bronnen voor het leren werken met GeoGebra.

Meetkunde

De Griekse wiskundige Euclides leefde zo’n 2300 jaar geleden en is vooral bekend van De Elementen, een serie geschriften waarin hij onder andere in Boek 1 de basisbeginselen van de zogeheten vlakke meetkunde uitwerkt. Hierin bewijst hij vanuit een vijftal vooronderstellingen (axioma’s) allerlei zaken over lijnen, cirkels, driehoeken enzovoort. De manier waarop hij dat deed, staat sindsdien model voor het uitbreiden van kennis door middel van logisch redeneren en daarom vormde De Elementen zo’n 2000 jaar lang (!) verplicht studiemateriaal voor iedereen die een hogere opleiding volgde en is het nog altijd goede kost om de geest te scherpen.

Eén van de te bewijzen stellingen over gelijkzijdige driehoeken in het begin van De Elementen (Propositie 5) werd bekend onder de naam Pons Asinorum, Latijn voor ezelsbrug. Waar dat bij ons een mentaal hulpmiddel betekent, staat het oorspronkelijk juist voor een probleem dat bepaalde of je slim genoeg was om door te gaan.

Constructie

De klassieke meetkunde van Euclides maakt gebruik van constructies met een passer en een liniaal. Die laatste dient alleen voor het tekenen van rechte lijnen en heeft geen maatstrepen. Het zal je verbazen hoeveel Euclides (en zijn navolgers in latere eeuwen) met die eenvoudige gereedschappen kon ontdekken. In het onderdeel Meetkunde van GeoGebra kun je zelf aan de slag met een digitale passer en liniaal.

Objecten

In het venster links zie je onder Basisknoppen een handvol objecten die je kunt maken. Met Punt, Lijnstuk, Lijn en Cirkel bewijst Euclides hoe je bijvoorbeeld een lijnstuk in twee gelijke delen kunt delen. Om zo’n middelpunt in latere constructies niet telkens opnieuw te hoeven maken, kun je dit soort meer geavanceerde objecten in Meetkunde ook in één keer maken. Klik daarvoor op Meer. Behalve Constructies kun je ook andere elementen toevoegen, zoals tekst. Scrol je naar beneden dan kun je nogmaals op Meer klikken voor extra mogelijkheden.

Voorbeeld

Klik op Nieuw punt en klik vervolgens op drie verschillende plekken in het rechterschermdeel. Zoals je ziet, worden de drie punten die je daarmee hebt geplaatst naar goed meetkundig gebruik automatisch van een letter voorzien. Kies nu Lijnstuk onder Basisknoppen en klik op punt A. Klik vervolgens op punt B. A en B zijn nu verbonden. Maak op dezelfde manier de driehoek af.

Klik nu onder Constructies op Midden of middelpunt en klik vervolgens op een willekeurige plek op elk van de drie lijnen. Het programma plaatst nu in elk daarvan een middelpunt en voorziet ook die van een letter.

Kies nu Cirkel met middelpunt onder Basisknoppen. Klik op punt A en punt E om een cirkel te maken met straal AE. Doe hetzelfde voor C en F en voor B en D.

Opmaak

Klik je onder Basisknoppen op Verplaatsen, dan kun je elk van de oorspronkelijke (blauwe) punten verslepen. Daarbij blijven de eigenschappen van je constructie in stand. De cirkel door E met middelpunt A blijft dus door E gaan, ook als je A verplaatst.

Klik je onder Bewerken op Selecteer object, dan kun je lijnen, cirkels en dergelijke selecteren. Klik bijvoorbeeld op één van de cirkels. Er verschijnt nu een pop-upmenu met vier pictogrammen.

De eerste drie geven snel toegang tot Kleuren, Labels en Verwijderen, maar de vierde (de drie puntjes) is het krachtigst. Hiermee krijg je via Instellingen toegang tot álle mogelijkheden, variërend van het kiezen van een vaste kleur tot zeer geavanceerde mogelijkheden, zoals kleuren op basis van berekeningen en het maken van scripts.

Gewapend met deze kennis kun je zelf de meest ingewikkelde constructies maken en meetkundige problemen oplossen.

Tabblad Algebra

Uiterst links is standaard het tabblad Macro’s geselecteerd, waarin je de elementen voor je constructie kunt kiezen, aanpassen en verwijderen. Daarnaast is er het tabblad Algebra. Die naam is op het eerste gezicht wat verwarrend, want wat je er ziet is de geschiedenis van een constructie die je hebt gemaakt. Helemaal onderaan zie je ook een zwart pictogram in de vorm van een klein toetsenbord. Daarmee open je een toetsenbord met meerdere tabs waarmee je berekeningen en allerlei geavanceerde functies aan je constructie kunt toevoegen. Klik daarvoor op de drie puntjes boven het toetsenbord. Je ziet dan een helpfunctie met alle concepten die het programma kent. Klik je op een concept, dan verschijnen links daarvan één of meer commando’s. Klik je daarop, dan wordt of worden deze aan je lijst met constructiestappen toegevoegd.

Instellingen

Rechtsboven in het tekenscherm vinden we achter het tandwielpictogram de nodige nuttige instellingen. Bij traditionele meetkunde worden geen roosters gebruikt, maar bij veel andere varianten wel. Ook zijn assen en roosters handig wanneer je constructietekeningen met bekende afstanden wilt maken. Hier kun je niet alleen assen en roosters inschakelen, maar ook het rooster magnetisch maken, zodat punten die je plaatst altijd exact samenvallen met roosterpunten. Via Instellingen kun je bovendien de eigenschappen van assen en roosters aanpassen.

Ook zie je in het menu Wis spoor. Wanneer je een punt in je constructie selecteert, dan kun je namelijk aangeven dat GeoGebra een spoor moet tekenen wanneer het direct of indirect wordt verplaatst. Dit is de plek om dat spoor weer op te ruimen.

Menu

Linksboven (drie streepjes) vind je het menu van GeoGebra. Hier kun je het eindresultaat van een constructie als afbeelding opslaan of afdrukken. Je kunt je werk ook online opslaan. Daardoor kun je er op een later tijdstip ook vanaf een ander platform verder aan werken en als je het werkstuk openbaar maakt, kunnen andere gebruikers stap voor stap je constructie volgen. Dit is het educatieve aspect van GeoGebra waarop we in de paragraaf 'Educatie' nog terugkomen. Je kunt je werk ook privé opslaan. Om je werk lokaal te kunnen opslaan, moet je eerst een gratis account aanmaken.

Kies je in dit menu Open, dan krijg je niet alleen toegang tot je eigen werk, maar ook de tot het vele materiaal dat anderen gemaakt hebben.

CAS Rekenmachine

We keren terug naar de startpagina van GeoGebra en nemen nu een kijkje bij de CAS Rekenmachine (CAS staat voor Computer Algebra Systeem).

Ditmaal komen we terecht in een scherm dat doet denken aan het scherm van het onderdeel Meetkunde, zoals we dat op het laatst hadden ingericht, dus met assen, een rooster en een toetsenbord voor het invoeren van formules. Wat anders is zijn de tabbladen; hier Algebra en Tabel. In dit onderdeel kunnen we onder andere 2D-grafieken maken.

Voorbeeldgrafiek

Klik op het toetsenbordje op de x en op het pictogram daaronder om een kwadraat te maken. Klik vervolgens op +, op y en nogmaals op het Kwadraat-pictogram. Klik tot slot op = en 1 en toets Enter. Er verschijnt een kleine cirkel met straal 1.

Om de cirkel wat groter te maken, kun je inzoomen met het muiswiel of met het Zoom-pictogram rechtsonder.

Links zie je de formule die je hebt ingevoerd (de impliciete vergelijking voor een cirkel). Klik op de drie puntjes erachter en kies Dupliceer invoer. Klik op de tweede formule en verander beide kwadraten in een 4. Na een druk op Enter wordt de nieuwe grafiek getekend die het midden houdt tussen een vierkant en een cirkel. Klik op deze grafiek en klik op het Kleur-pictogram (verf-emmertje). Klik op rood en vervolgens op een lege plek en je hebt twee verschillend gekleurde grafieken.

Klik nu op het tabblad Tabel. Hierin staat de linkerkolom voor x-waarden en de rechter voor y-waarden. Hier kun je uitsluitend getallen invoeren en dit deel gebruik je om bijvoorbeeld een grafiek van de gemeten gegevens te maken.

Klik je op de drie puntjes in de y-kolom dan kun je via Regressie je meetpunten automatisch verbinden.

Het maken van grafieken vormt slechts een klein deel van de mogelijkheden van de CAS Rekenmachine. Je kunt hier bijvoorbeeld ook afgeleiden en integralen berekenen.

3D

Waar we met (onder andere) de CAS Rekenmachine grafieken in het platte vlak kunnen maken, gaan we met de 3D Rekenmachine de ruimte in. De bediening lijkt op die van de eerder besproken onderdelen.

In CAS kun je 2D-grafieken maken op basis van een functie van x of van parametrische vergelijkingen. Ook kun je werken met impliciete vergelijkingen (zoals wij in ons voorbeeld deden) en kun je naast rechthoekige coördinaten ook werken met poolcoördinaten. De 3D-tegenhanger ondersteunt ook al deze varianten, waarbij je in plaats van poolcoördinaten kunt kiezen voor cilindrische of bolcoördinaten.

3D Voorbeeld

Op basis van het 2D-voorbeeld weet je inmiddels hoe je een formule kunt invoeren. In de 3D Rekenmachine kiezen we voor 4x2+y2+z2=16. Na een druk op de Enter-knop verschijnt de grafiek.

In de 3D Rekenmachine kun je niet alleen grafieken maken op basis van formules. In het tabblad Knoppen vind je namelijk ook allerlei objecten. Om ze allemaal te zien, moet je op Meer klikken. Klik bijvoorbeeld op Piramide, klik vervolgens op vier punten op de x- en y- as (in het grondvlak, bijvoorbeeld (4,0,0), (0,6,0), (-4,0,0) en (0,-6,0)). Klik tot slot op de z-as op het punt (0,0,4) en daar is je piramide.

Ook nu kun je het uiterlijk van alles wat je maakt weer volop naar je hand zetten.

Apps

De web-versies van de verschillende onderdelen van GeoGebra werken uitstekend, maar werk je liever lokaal, dan kan dat ook. Op deze pagina vind je alle modules als download voor Windows. Verschillende zijn ook beschikbaar voor macOS en de oerversie GeoGebra Classic is er bovendien voor Linux.

Alle modules zijn daarnaast beschikbaar voor iOS en Android. Zoek je in de appstore voor een van beide op het trefwoord 'geogebra', dan vind je alle beschikbare producten. 

Educatie

Omdat je het werk dat je maakt met GeoGebra online kunt opslaan en kunt delen, biedt de website een gigantische hoeveelheid voorbeelden om mee te spelen. Op de startpagina van GeoGebra zie je de rubriek Aanbevolen materiaal en klik je daarachter op Alle dan kom je op een pagina waar je door het complete aanbod kunt bladeren.

Onder de voorbeelden onder Aanbevolen materiaal (verdeeld over verschillende niveaus), vind je een zoekboom waarmee je door verschillende disciplines binnen de wiskunde kunt bladeren. Klik bijvoorbeeld op Algebra. Zoals je ziet, kun je ook daarbinnen weer navigeren, bijvoorbeeld door te klikken op Breuken. Je ziet nu alle openbare bestanden binnen dat thema. We openen Breuken optellen (niveau 3). Dit werkblad is een typisch voorbeeld van een overhoring en daarom kun je het niet aanpassen. Er zijn ook vele werkbladen waar je wel onder de motorkap kunt kijken om meer de leren over de vele mogelijkheden van GeoGebra.

Zelf leren

We hebben maar een fractie van de vele mogelijkheden kunnen bespreken die GeoGebra en zijn verschillende modules te bieden hebben. Klik je vanaf de startpagina op Toon alle achter Initiatiehandleidingen, dan kom je op een pagina met een dertigtal boeken waarmee je zelfs de meest geavanceerde technieken leert om niet alleen berekeningen te maken, maar ook je eigen gebruikersinterfaces te bouwen.

HBO heeft The Last of Us-showrunner Craig Mazin ingeschakeld om een televisieserie te maken gebaseerd op Baldur's Gate.

Dat meldt Deadline. Mazin is vooral bekend van de miniserie Chernobyl, maar heeft de eerste twee seizoenen van gameverfilming The Last of Us ook gemaakt samen met Neil Druckmann, die de games zelf ontwikkeld heeft bij Naughty Dog.

Mazin zou de Baldur's Gate-televisieserie creëren, schrijven en draaiende houden. Jacqueline Lesko, Cecil O'Connor en Gabriel Marano zouden ook verbonden zijn aan het project als producenten. Marano representateert daarbij Hasbro Entertainment, de eigenaar van de Baldur's Gate-franchise.

Gebaseerd op Baldur's Gate 3

De serie zou vooral gebaseerd zijn op gebeurtenissen uit Baldur's Gate 3 (dat verkrijgbaar is op pc, PlayStation 5 en Xbox Series-consoles) en beginnen bij waar het spel is beëindigd. Mazin zou daarbij volledige vrijheid hebben om het verhaal te bedenken. Diverse personages uit de game zouden ook in de serie voorkomen.

De Baldur's Gate-gamefranchise is weer gebaseerd op het populaire rollenspel Dungeons and Dragons. Met de derde Baldur's Gate-game enkele jaren geleden - ontwikkeld door het Belgische Larian - wist de franchise pas echt door te breken bij het grote publiek.

De Dungeons and Dragons-IP waar Baldur's Gate op is gebaseerd werd gemaakt door Wizards of the Coast, en Chris Perkins, die tot 2025 aan het hoofd van verhalen bij het bedrijf stond, zal dan ook als raadgever betrokken zijn bij de aankomende tv-serie.

Mazin werkt op dit moment nog aan de HBO-serie The Last of Us, waarvan vorig jaar het tweede seizoen is uitgekomen. De ceo van HBO gaf onlangs aan dat hij vermoedt dat het derde seizoen van de serie de laatste wordt.

Mazin heeft in ieder geval een goede reputatie op het gebied van het maken van series, voornamelijk gebaseerd op Chernobyl en het eerste seizoen van The Last of Us. Het tweede seizoen van bovengenoemde serie werd echter wisselender ontvangen.

Een wasmachine moet doen wat hij moet doen, toch? Verder hoef je er niet veel van te verwachten, maar bij Hisense denken ze daar toch anders over. De wasmachines zijn voorzien van allerlei handige functies. Niet voor niets heeft de Consumentenbond het merk Hisense een cijfer van 9,4 gegeven op het gebied van betrouwbaarheid. Waar komt dat door?

Partnerbijdrage - In samenwerking met Hisense

Wanneer je op zoek gaat naar een nieuw huishoudelijk apparaat, dan zoek je niet alleen op specificaties of prijs, maar kijk je ook steeds vaker naar wat anderen ervan vinden. Bijvoorbeeld gebruikersreviews op vergelijkingssites.

Maar evenzo belangrijk: wat vinden leden van een gerenommeerde instantie van een bepaald product? De Consumentenbond test al sinds de jaren '50 van de vorige eeuw producten en doet dat met maar liefst 2000 producten per jaar. De leden van de Consumentenbond zijn kritisch; ze zijn niet voor niets lid.

Wasmachines leven langer...

Hisense maakt ook al geruime tijd huishoudelijke apparatuur, zoals koelkasten, drogers en wasmachines. En laat het nou net in die laatste categorie goed scoren: wasmachines van Hisense worden door consumenten bij een groot Europees onderzoek met ruim 30.000 respondenten beoordeeld met een 9.4 voor betrouwbaarheid. Een hoge score die je graag van de daken schreeuwt. En met een totaalscore 9 op alle gebieden komt ook hier Hisense goed uit de bus. Wat betekent dat concreet? Consumenten ervaren bij Hisense wasmachines de minste problemen ten opzichte van andere merken.

Handige functies

Hisense wasmachines zijn innovatief, zuinig en zijn bovendien ook nog eens erg opvallend en mooi vormgegeven. Wit voert bij vrijwel al dit soort apparaten de boventoon, maar Hisense voegt opvallende vormgeving toe, zoals donker glas voor de laaddeur en een matzwarte afwerking bij de bedieningsknoppen.

Ook een groot voordeel is dat alle nieuwste Hisense wasmachines een zuinig energielabel A hebben, waardoor ze tijdens de wasbeurten niet alleen weinig water verbruiken, maar ook helpen besparen op je energierekening.

Alle Hisense wasmachines kennen natuurlijk alle basisfunctionaliteiten, zoals wassen met verschillende programma's, ladingen, temperaturen en de snelheid van het centrifugeren. De nieuwste Hisense-modellen uit de 5i-serie gaan nog een stapje verder, die machines zijn bijvoorbeeld uitgerust met deze handige functies:

iPlay™: Bediening met een glimlach
Vergeet ingewikkelde knoppen en onduidelijke symbolen. Met het slimme iPlay™ kleurentouch-display bedien je jouw wasmachine net zo intuïtief als je smartphone. In je eigen taal swipe je soepel door de programma's, check je de voortgang en pas je instellingen aan. Het ziet er niet alleen strak en modern uit, maar maakt elke wasbeurt stressvrij en overzichtelijk.

iFit™: Groots wassen, compact formaat
Woon je in een appartement of heb je een compacte keuken? Geen probleem. De iFit™ design-filosofie bewijst dat je geen enorme machine nodig hebt voor grote prestaties. Door de slimme, ondiepe behuizing past de machine perfect in kleinere ruimtes, zonder dat je inlevert op trommelcapaciteit. Je geniet dus van een slank design, maar kunt nog steeds die grote lading was in één keer draaien.

iJet™: De ultieme vlekkenverwijderaar
Voor hardnekkige vlekken hoef je niet meer te weken of te schrobben. De krachtige iJet™-technologie spuit water met hoge druk direct diep in de textielvezels. Hierdoor worden vuil en vlekken veel effectiever losgeweekt dan bij een traditionele wasbeurt. Het resultaat is een diepere reiniging en een verbluffend frisse was, zelfs als de kleding flink vies is geworden.

Auto Dose: Nooit meer gokken met wasmiddel
Te veel wasmiddel is slecht voor je kleding, te weinig zorgt voor vlekken. Met Auto Dose hoef je daar nooit meer over na te denken. Het systeem weegt de lading en doseert automatisch exact de juiste hoeveelheid wasmiddel en wasverzachter. Dat is niet alleen super makkelijk, het bespaart je ook geld én het is beter voor het milieu.

Stoom / Allergy Care: Hygiënisch schoon en zacht
Zeker voor mensen met een gevoelige huid, allergieën of jonge kinderen is dit een uitkomst. De Steam/Allergy Care-technologie gebruikt stoom om diep in de stoffen door te dringen. Dit elimineert 99,9% van de allergenen, bacteriën en nare geurtjes. Je kleding komt niet alleen hygiënisch schoon uit de trommel, maar voelt ook heerlijk zacht aan en heeft minder kreukels.

Quick Wash: Razendsnel opgefrist
Heb je haast of wil je snel even dat ene favoriete shirt opfrissen voor vanavond? De Quick Wash-functie is je redder in nood. In een handomdraai heb je frisgewassen kleding. Ideaal voor kleine wasjes die niet heel vuil zijn, maar wel even die frisse boost nodig hebben. Zo bespaar je kostbare tijd op drukke dagen.

Quicker: Versnel je favoriete programma
Soms wil je een volledig wasprogramma draaien, maar heb je gewoonweg de tijd niet om uren te wachten. Met de Quicker-optie kun je diverse standaardprogramma's aanzienlijk inkorten. Je levert niets in op wasresultaat, maar bent wel een stuk sneller klaar. Maximale flexibiliteit voor een druk leven.

Wasmachines op Kieskeurig.nl

Natuurlijk zijn alle wasmachines van Hisense ook terug te vinden op Kieskeurig.nl, waaronder de modellen uit de nieuwste 5i serie.

Bekijk hier alle wasmachines van Hisense op Kieskeurig.nl