Er zijn heel wat tools waarmee je (online) rekenwerk kunt verrichten, maar weinige zijn zo veelzijdig als GeoGebra. De naam is een samentrekking van de woorden geometrie en algebra, het is zowel online beschikbaar als via apps voor vrijwel elk platform.

GeoGebra heeft een lange geschiedenis die meer dan twintig jaar teruggaat. Het project werd ooit opgezet om het leren en onderwijzen van met name algebra en meetkunde te vereenvoudigen, maar is vanwege zijn vele gereedschappen ook zeer geschikt om zelf allerlei (reken)problemen mee op te lossen. Bovendien is GeoGebra door de jaren uitgebreid naar nog meer wiskundige vakgebieden, zoals statistiek en analyse.

Korte rondleiding

De thuisbasis van GeoGebra is www.geogebra.org. Als de site niet standaard in het Nederlands verschijnt, kun je onderaan de pagina op de wereldbol klikken. Je kunt dan de gewenste taal selecteren.

Op de site vind je verschillende modules die je los of gecombineerd kunt gebruiken. Zo is er de 3D Rekenmachine voor het maken van 3D-grafieken, de Grafische rekenmachine voor het maken van 2D-grafieken, de Wetenschappelijke rekenmachine voor het maken van (wiskundige) berekeningen en de CAS Rekenmachine voor 2D-grafieken en algebra. De Rekenmachine suite combineert deze modules en voegt daar kansberekening aan toe.

Daarnaast vind je op de hoofdpagina links naar GeoGebra Klassiek, de oorspronkelijke combinatie van meetkunde en algebra, het onderdeel Meetkunde, dat zich specifiek richt op het oplossen van meetkundige vraagstukken en het Notitieblok, waarmee je illustraties kunt maken.

Met het onderdeel Toetsen kunnen docenten examenvragen maken die offline kunnen worden gebruikt en tot slot heb je toegang tot heel veel lesmateriaal en bronnen voor het leren werken met GeoGebra.

Meetkunde

De Griekse wiskundige Euclides leefde zo’n 2300 jaar geleden en is vooral bekend van De Elementen, een serie geschriften waarin hij onder andere in Boek 1 de basisbeginselen van de zogeheten vlakke meetkunde uitwerkt. Hierin bewijst hij vanuit een vijftal vooronderstellingen (axioma’s) allerlei zaken over lijnen, cirkels, driehoeken enzovoort. De manier waarop hij dat deed, staat sindsdien model voor het uitbreiden van kennis door middel van logisch redeneren en daarom vormde De Elementen zo’n 2000 jaar lang (!) verplicht studiemateriaal voor iedereen die een hogere opleiding volgde en is het nog altijd goede kost om de geest te scherpen.

Eén van de te bewijzen stellingen over gelijkzijdige driehoeken in het begin van De Elementen (Propositie 5) werd bekend onder de naam Pons Asinorum, Latijn voor ezelsbrug. Waar dat bij ons een mentaal hulpmiddel betekent, staat het oorspronkelijk juist voor een probleem dat bepaalde of je slim genoeg was om door te gaan.

Constructie

De klassieke meetkunde van Euclides maakt gebruik van constructies met een passer en een liniaal. Die laatste dient alleen voor het tekenen van rechte lijnen en heeft geen maatstrepen. Het zal je verbazen hoeveel Euclides (en zijn navolgers in latere eeuwen) met die eenvoudige gereedschappen kon ontdekken. In het onderdeel Meetkunde van GeoGebra kun je zelf aan de slag met een digitale passer en liniaal.

Objecten

In het venster links zie je onder Basisknoppen een handvol objecten die je kunt maken. Met Punt, Lijnstuk, Lijn en Cirkel bewijst Euclides hoe je bijvoorbeeld een lijnstuk in twee gelijke delen kunt delen. Om zo’n middelpunt in latere constructies niet telkens opnieuw te hoeven maken, kun je dit soort meer geavanceerde objecten in Meetkunde ook in één keer maken. Klik daarvoor op Meer. Behalve Constructies kun je ook andere elementen toevoegen, zoals tekst. Scrol je naar beneden dan kun je nogmaals op Meer klikken voor extra mogelijkheden.

Voorbeeld

Klik op Nieuw punt en klik vervolgens op drie verschillende plekken in het rechterschermdeel. Zoals je ziet, worden de drie punten die je daarmee hebt geplaatst naar goed meetkundig gebruik automatisch van een letter voorzien. Kies nu Lijnstuk onder Basisknoppen en klik op punt A. Klik vervolgens op punt B. A en B zijn nu verbonden. Maak op dezelfde manier de driehoek af.

Klik nu onder Constructies op Midden of middelpunt en klik vervolgens op een willekeurige plek op elk van de drie lijnen. Het programma plaatst nu in elk daarvan een middelpunt en voorziet ook die van een letter.

Kies nu Cirkel met middelpunt onder Basisknoppen. Klik op punt A en punt E om een cirkel te maken met straal AE. Doe hetzelfde voor C en F en voor B en D.

Opmaak

Klik je onder Basisknoppen op Verplaatsen, dan kun je elk van de oorspronkelijke (blauwe) punten verslepen. Daarbij blijven de eigenschappen van je constructie in stand. De cirkel door E met middelpunt A blijft dus door E gaan, ook als je A verplaatst.

Klik je onder Bewerken op Selecteer object, dan kun je lijnen, cirkels en dergelijke selecteren. Klik bijvoorbeeld op één van de cirkels. Er verschijnt nu een pop-upmenu met vier pictogrammen.

De eerste drie geven snel toegang tot Kleuren, Labels en Verwijderen, maar de vierde (de drie puntjes) is het krachtigst. Hiermee krijg je via Instellingen toegang tot álle mogelijkheden, variërend van het kiezen van een vaste kleur tot zeer geavanceerde mogelijkheden, zoals kleuren op basis van berekeningen en het maken van scripts.

Gewapend met deze kennis kun je zelf de meest ingewikkelde constructies maken en meetkundige problemen oplossen.

Tabblad Algebra

Uiterst links is standaard het tabblad Macro’s geselecteerd, waarin je de elementen voor je constructie kunt kiezen, aanpassen en verwijderen. Daarnaast is er het tabblad Algebra. Die naam is op het eerste gezicht wat verwarrend, want wat je er ziet is de geschiedenis van een constructie die je hebt gemaakt. Helemaal onderaan zie je ook een zwart pictogram in de vorm van een klein toetsenbord. Daarmee open je een toetsenbord met meerdere tabs waarmee je berekeningen en allerlei geavanceerde functies aan je constructie kunt toevoegen. Klik daarvoor op de drie puntjes boven het toetsenbord. Je ziet dan een helpfunctie met alle concepten die het programma kent. Klik je op een concept, dan verschijnen links daarvan één of meer commando’s. Klik je daarop, dan wordt of worden deze aan je lijst met constructiestappen toegevoegd.

Instellingen

Rechtsboven in het tekenscherm vinden we achter het tandwielpictogram de nodige nuttige instellingen. Bij traditionele meetkunde worden geen roosters gebruikt, maar bij veel andere varianten wel. Ook zijn assen en roosters handig wanneer je constructietekeningen met bekende afstanden wilt maken. Hier kun je niet alleen assen en roosters inschakelen, maar ook het rooster magnetisch maken, zodat punten die je plaatst altijd exact samenvallen met roosterpunten. Via Instellingen kun je bovendien de eigenschappen van assen en roosters aanpassen.

Ook zie je in het menu Wis spoor. Wanneer je een punt in je constructie selecteert, dan kun je namelijk aangeven dat GeoGebra een spoor moet tekenen wanneer het direct of indirect wordt verplaatst. Dit is de plek om dat spoor weer op te ruimen.

Menu

Linksboven (drie streepjes) vind je het menu van GeoGebra. Hier kun je het eindresultaat van een constructie als afbeelding opslaan of afdrukken. Je kunt je werk ook online opslaan. Daardoor kun je er op een later tijdstip ook vanaf een ander platform verder aan werken en als je het werkstuk openbaar maakt, kunnen andere gebruikers stap voor stap je constructie volgen. Dit is het educatieve aspect van GeoGebra waarop we in de paragraaf 'Educatie' nog terugkomen. Je kunt je werk ook privé opslaan. Om je werk lokaal te kunnen opslaan, moet je eerst een gratis account aanmaken.

Kies je in dit menu Open, dan krijg je niet alleen toegang tot je eigen werk, maar ook de tot het vele materiaal dat anderen gemaakt hebben.

CAS Rekenmachine

We keren terug naar de startpagina van GeoGebra en nemen nu een kijkje bij de CAS Rekenmachine (CAS staat voor Computer Algebra Systeem).

Ditmaal komen we terecht in een scherm dat doet denken aan het scherm van het onderdeel Meetkunde, zoals we dat op het laatst hadden ingericht, dus met assen, een rooster en een toetsenbord voor het invoeren van formules. Wat anders is zijn de tabbladen; hier Algebra en Tabel. In dit onderdeel kunnen we onder andere 2D-grafieken maken.

Voorbeeldgrafiek

Klik op het toetsenbordje op de x en op het pictogram daaronder om een kwadraat te maken. Klik vervolgens op +, op y en nogmaals op het Kwadraat-pictogram. Klik tot slot op = en 1 en toets Enter. Er verschijnt een kleine cirkel met straal 1.

Om de cirkel wat groter te maken, kun je inzoomen met het muiswiel of met het Zoom-pictogram rechtsonder.

Links zie je de formule die je hebt ingevoerd (de impliciete vergelijking voor een cirkel). Klik op de drie puntjes erachter en kies Dupliceer invoer. Klik op de tweede formule en verander beide kwadraten in een 4. Na een druk op Enter wordt de nieuwe grafiek getekend die het midden houdt tussen een vierkant en een cirkel. Klik op deze grafiek en klik op het Kleur-pictogram (verf-emmertje). Klik op rood en vervolgens op een lege plek en je hebt twee verschillend gekleurde grafieken.

Klik nu op het tabblad Tabel. Hierin staat de linkerkolom voor x-waarden en de rechter voor y-waarden. Hier kun je uitsluitend getallen invoeren en dit deel gebruik je om bijvoorbeeld een grafiek van de gemeten gegevens te maken.

Klik je op de drie puntjes in de y-kolom dan kun je via Regressie je meetpunten automatisch verbinden.

Het maken van grafieken vormt slechts een klein deel van de mogelijkheden van de CAS Rekenmachine. Je kunt hier bijvoorbeeld ook afgeleiden en integralen berekenen.

3D

Waar we met (onder andere) de CAS Rekenmachine grafieken in het platte vlak kunnen maken, gaan we met de 3D Rekenmachine de ruimte in. De bediening lijkt op die van de eerder besproken onderdelen.

In CAS kun je 2D-grafieken maken op basis van een functie van x of van parametrische vergelijkingen. Ook kun je werken met impliciete vergelijkingen (zoals wij in ons voorbeeld deden) en kun je naast rechthoekige coördinaten ook werken met poolcoördinaten. De 3D-tegenhanger ondersteunt ook al deze varianten, waarbij je in plaats van poolcoördinaten kunt kiezen voor cilindrische of bolcoördinaten.

3D Voorbeeld

Op basis van het 2D-voorbeeld weet je inmiddels hoe je een formule kunt invoeren. In de 3D Rekenmachine kiezen we voor 4x2+y2+z2=16. Na een druk op de Enter-knop verschijnt de grafiek.

In de 3D Rekenmachine kun je niet alleen grafieken maken op basis van formules. In het tabblad Knoppen vind je namelijk ook allerlei objecten. Om ze allemaal te zien, moet je op Meer klikken. Klik bijvoorbeeld op Piramide, klik vervolgens op vier punten op de x- en y- as (in het grondvlak, bijvoorbeeld (4,0,0), (0,6,0), (-4,0,0) en (0,-6,0)). Klik tot slot op de z-as op het punt (0,0,4) en daar is je piramide.

Ook nu kun je het uiterlijk van alles wat je maakt weer volop naar je hand zetten.

Apps

De web-versies van de verschillende onderdelen van GeoGebra werken uitstekend, maar werk je liever lokaal, dan kan dat ook. Op deze pagina vind je alle modules als download voor Windows. Verschillende zijn ook beschikbaar voor macOS en de oerversie GeoGebra Classic is er bovendien voor Linux.

Alle modules zijn daarnaast beschikbaar voor iOS en Android. Zoek je in de appstore voor een van beide op het trefwoord 'geogebra', dan vind je alle beschikbare producten. 

Educatie

Omdat je het werk dat je maakt met GeoGebra online kunt opslaan en kunt delen, biedt de website een gigantische hoeveelheid voorbeelden om mee te spelen. Op de startpagina van GeoGebra zie je de rubriek Aanbevolen materiaal en klik je daarachter op Alle dan kom je op een pagina waar je door het complete aanbod kunt bladeren.

Onder de voorbeelden onder Aanbevolen materiaal (verdeeld over verschillende niveaus), vind je een zoekboom waarmee je door verschillende disciplines binnen de wiskunde kunt bladeren. Klik bijvoorbeeld op Algebra. Zoals je ziet, kun je ook daarbinnen weer navigeren, bijvoorbeeld door te klikken op Breuken. Je ziet nu alle openbare bestanden binnen dat thema. We openen Breuken optellen (niveau 3). Dit werkblad is een typisch voorbeeld van een overhoring en daarom kun je het niet aanpassen. Er zijn ook vele werkbladen waar je wel onder de motorkap kunt kijken om meer de leren over de vele mogelijkheden van GeoGebra.

Zelf leren

We hebben maar een fractie van de vele mogelijkheden kunnen bespreken die GeoGebra en zijn verschillende modules te bieden hebben. Klik je vanaf de startpagina op Toon alle achter Initiatiehandleidingen, dan kom je op een pagina met een dertigtal boeken waarmee je zelfs de meest geavanceerde technieken leert om niet alleen berekeningen te maken, maar ook je eigen gebruikersinterfaces te bouwen.

De Motorola Edge 70 volgt de recente trend van dunne, lichte smartphones, maar dan met een zachter prijskaartje van net geen 800 euro. Hoewel het geen directe concurrent is van vlaggenschepen als de S25 Edge, bewijst de Edge 70 dat een uniek premium ontwerp niet de hoofdprijs hoeft te kosten.

Met een dikte van nét iets minder dan 6 millimeter en een gewicht van slechts 159 gram is de Edge 70 een van de lichtste en slankste telefoons op de markt. Desondanks voelt het toestel niet goedkoop aan, en dat is te danken aan een stevig aluminium chassis en een op nylon geïnspireerde bekleding. De Edge 70 biedt bovendien uitstekende duurzaamheid: hij heeft een MIL-STD-810H-certificering (MIL staat voor military grade), IP68- en IP69-ratings én is voorzien van Gorilla Glass 7i.

Het 6,7-inch amoledscherm heeft een resolutie van 2712 bij 1220 pixels en een adaptieve verversingssnelheid van 1 tot 120 Hz. Het vlakke oledpaneel biedt daarnaast een hoog contrast. Vooral de levendige, licht verzadigde kleuren, mogelijk gemaakt door de Pantone-nabewerking, vallen positief op. Het enige nadeel aan het display is de laag geplaatste vingerafdrukscanner; om die te gebruiken moet je je duim in een oncomfortabele positie buigen.

©Wesley Akkerman

Uitstekende middenklasser

De Edge 70 wordt aangedreven door de middenklasse Qualcomm Snapdragon 7 Gen 4-processor, bijgestaan door 12 GB werkgeheugen en 256 GB aan opslagruimte. Vooral de cpu is op papier minder krachtig dan die van de duurdere vlaggenschepen, maar in de praktijk maakt dat weinig uit. Apps worden snel geopend en multitasking gaat het apparaat goed af. Een groot voordeel is dat de processor niet erg heet wordt onder hoge druk en zijn werk dus zonder morren doet.

Een ander voordeel is dat de 4800mAh-batterij het opvallend lang volhoudt; zelfs bij matig tot zwaar gebruik is dat al snel een volledige dag. Daarmee overtreft hij de duurdere concurrentie van Samsung en Apple. Opladen gaat eveneens vlot, met 68 W bedraad, waardoor je binnen 50 minuten weer een volledig opgeladen batterij hebt. Ook op dit punt scoort Motorola flink wat punten.

©Wesley Akkerman

©Wesley Akkerman

Typisch Motorola

Traditioneel doet Motorola het goed op het gebied van software dankzij de bijna stock Android 16-ervaring. Helaas treffen we deze keer behoorlijk wat bloatware aan en zijn er advertenties zichtbaar in de weerapp; dubieus voor een toestel van 800 euro. Tijdens de installatie word je bovendien meermaals gevraagd om voorgestelde apps te installeren. En als je daar nee op zegt, kom je alsnog applicaties tegen waar je niet om vroeg, zoals TikTok en Perplexity AI.

Wat betreft ondersteuning kan de Motorola Edge 70 rekenen op vier Android-upgrades (tot Android 20) en vijf jaar aan beveiligingspatches. Hoewel dat voldoende is voor een middenklasser, blijft het wel iets achter bij de langere support die Samsung en Google bieden. Daarnaast voelt Moto AI nog aan als een achtergesteld project. De functies werken niet allemaal in het Nederlands, waardoor de AI-knop op het toestel eigenlijk nog maar weinig waarde heeft.

Foto's maken gaat prima

Het camerasysteem bestaat uit een 50MP-hoofdcamera met optische beeldstabilisatie, een 50MP-ultragroothoeklens en een 50MP-selfiecamera. Bij voldoende licht leveren deze camera's prettig ogende foto's met een ruim dynamisch bereik. Vooral in het donker verrast het toestel: dankzij de grote sensoren blijven beelden helder en gedetailleerd. Jammer is wel dat de software kleuren soms te nadrukkelijk verzadigt, waardoor foto's iets minder natuurlijk overkomen. Voor gebruik op sociale media zijn ze echter meer dan prima.

Toch kent het camerasysteem duidelijke beperkingen. Video's kunnen slechts in 4K met 30 fps worden opgenomen, terwijl beeldstabilisatie alleen werkt bij 1080p en 30 fps. Daarnaast kan de handmatige scherpstelling onverwacht invloed hebben op de helderheid. En doordat er geen telelens aanwezig is, ben je volledig aangewezen op digitale zoom. Begrijpelijk gezien de slanke behuizing van de Edge 70, maar alsnog een teleurstellend compromis.

Motorola Edge 70 kopen?

De Motorola Edge 70 is een slimme aankoop als je een slank en licht toestel zoekt voor minder dan 1000 euro. De bouwkwaliteit, het scherm, de lange batterijduur en de robuustheid maken dit een fijne smartphone voor dagelijks gebruik. Ondanks de bloatware en de onvolwassen Moto AI bewijst dit toestel dat je geen duur vlaggenschip nodig hebt voor een vooruitstrevend ontwerp en vlotte prestaties.

Bij ID.nl zijn we gek op producten waar je niet de hoofdprijs voor betaalt. Een paar keer per week speuren we daarom binnen een bepaald thema naar zulke deals. Op zoek naar een betaalbare smartphone, maar dan wel eentje met een virtuele simkaart? De redactie van ID.nl is voor je op zoek gegaan naar smartphones met een prijskaartje van onder de 400 euro.

Met een eSim ben je niet meer afhankelijk van een fysiek simkaartje en heb je geen gepriegel meer met het plaatsen van je sim in de telefoon. Je kunt daardoor snel van provider wisselen zonder gedoe. Dit bespaart niet alleen tijd, maar ook ruimte in je apparaat. Perfect voor wie veel reist, omdat je eenvoudig internationale abonnementen kunt activeren. Daarnaast kun je op die manier ook gebruik maken van meerdere telefoonnummers op een enkel toestel, bijvoorbeeld eentje voor werk en prive.

Samsung Galaxy A26 5G

De Galaxy A26 5G combineert een slank ontwerp met krachtige prestaties. Het 6,7-inch FHD+ Super AMOLED-display biedt levendige kleuren en vloeiende beelden dankzij de 120 Hz verversingssnelheid. Onder de motorkap bevindt zich de Exynos 1380-chipset, ondersteund door 4 tot 8 GB RAM, wat zorgt voor soepele multitasking.

De 50 MP hoofdcamera met optische beeldstabilisatie legt scherpe foto's vast, zelfs bij weinig licht. Met een batterijcapaciteit van 5000 mAh en IP67-certificering is dit toestel zowel duurzaam als betrouwbaar. Bovendien belooft Samsung tot zes jaar beveiligingsupdates, wat de levensduur van het apparaat verlengt

Redmi Note 13 Pro

De Redmi Note 13 Pro 5G is een krachtpatser in het middensegment. Met een indrukwekkende 200 MP hoofdcamera met optische beeldstabilisatie leg je elk detail vast. Het 6,67-inch AMOLED-display met een resolutie van 1220x2712 pixels en een verversingssnelheid van 120 Hz zorgt voor een meeslepende kijkervaring.

Aangedreven door de Snapdragon 7s Gen 2-chipset en beschikbaar met tot 16 GB RAM, biedt dit toestel uitstekende prestaties. De 5100 mAh batterij ondersteunt 67W snelladen, waardoor je snel weer op pad kunt.​

Motorola Moto G35 5G

De Motorola Moto G35 5G biedt solide prestaties voor een betaalbare prijs. Het 6,72-inch LCD-scherm met een verversingssnelheid van 120 Hz zorgt voor vloeiende beelden. De 50 MP Quad Pixel-camera levert scherpe foto's, zelfs bij weinig licht.

Met een batterijcapaciteit van 5000 mAh en ondersteuning voor 5G-connectiviteit blijf je de hele dag verbonden. Hoewel de Unisoc T760-processor niet de snelste is, biedt het toestel voldoende kracht voor dagelijks gebruik

Sony Xperia 10 VI

De Sony Xperia 10 VI is een compacte smartphone met een focus op multimedia. Het 6,1-inch FHD+ OLED-scherm met een 21:9 beeldverhouding is ideaal voor het bekijken van films. Aangedreven door de Snapdragon 6 Gen 1-chipset en uitgerust met 8 GB RAM, biedt het toestel soepele prestaties.

De 48 MP hoofdcamera legt gedetailleerde foto's vast, terwijl de 5000 mAh batterij zorgt voor langdurig gebruik. Met IP68-certificering is het toestel bestand tegen water en stof

Samsung Galaxy A35 5G

De Galaxy A35 5G biedt premium functies in een betaalbaar jasje. Het 6,6-inch FHD+ Super AMOLED-display met een verversingssnelheid van 120 Hz zorgt voor heldere en vloeiende beelden. De 50 MP hoofdcamera met optische beeldstabilisatie legt scherpe foto's vast, terwijl de 13 MP selfiecamera zorgt voor duidelijke zelfportretten.

Aangedreven door de Exynos 1380-chipset en beschikbaar met tot 12 GB RAM, biedt het toestel krachtige prestaties. De 5000 mAh batterij ondersteunt 25W snelladen, en Samsung belooft tot vijf jaar beveiligingsupdates.