Er zijn heel wat tools waarmee je (online) rekenwerk kunt verrichten, maar weinige zijn zo veelzijdig als GeoGebra. De naam is een samentrekking van de woorden geometrie en algebra, het is zowel online beschikbaar als via apps voor vrijwel elk platform.

GeoGebra heeft een lange geschiedenis die meer dan twintig jaar teruggaat. Het project werd ooit opgezet om het leren en onderwijzen van met name algebra en meetkunde te vereenvoudigen, maar is vanwege zijn vele gereedschappen ook zeer geschikt om zelf allerlei (reken)problemen mee op te lossen. Bovendien is GeoGebra door de jaren uitgebreid naar nog meer wiskundige vakgebieden, zoals statistiek en analyse.

Korte rondleiding

De thuisbasis van GeoGebra is www.geogebra.org. Als de site niet standaard in het Nederlands verschijnt, kun je onderaan de pagina op de wereldbol klikken. Je kunt dan de gewenste taal selecteren.

Op de site vind je verschillende modules die je los of gecombineerd kunt gebruiken. Zo is er de 3D Rekenmachine voor het maken van 3D-grafieken, de Grafische rekenmachine voor het maken van 2D-grafieken, de Wetenschappelijke rekenmachine voor het maken van (wiskundige) berekeningen en de CAS Rekenmachine voor 2D-grafieken en algebra. De Rekenmachine suite combineert deze modules en voegt daar kansberekening aan toe.

Daarnaast vind je op de hoofdpagina links naar GeoGebra Klassiek, de oorspronkelijke combinatie van meetkunde en algebra, het onderdeel Meetkunde, dat zich specifiek richt op het oplossen van meetkundige vraagstukken en het Notitieblok, waarmee je illustraties kunt maken.

Met het onderdeel Toetsen kunnen docenten examenvragen maken die offline kunnen worden gebruikt en tot slot heb je toegang tot heel veel lesmateriaal en bronnen voor het leren werken met GeoGebra.

Meetkunde

De Griekse wiskundige Euclides leefde zo’n 2300 jaar geleden en is vooral bekend van De Elementen, een serie geschriften waarin hij onder andere in Boek 1 de basisbeginselen van de zogeheten vlakke meetkunde uitwerkt. Hierin bewijst hij vanuit een vijftal vooronderstellingen (axioma’s) allerlei zaken over lijnen, cirkels, driehoeken enzovoort. De manier waarop hij dat deed, staat sindsdien model voor het uitbreiden van kennis door middel van logisch redeneren en daarom vormde De Elementen zo’n 2000 jaar lang (!) verplicht studiemateriaal voor iedereen die een hogere opleiding volgde en is het nog altijd goede kost om de geest te scherpen.

Eén van de te bewijzen stellingen over gelijkzijdige driehoeken in het begin van De Elementen (Propositie 5) werd bekend onder de naam Pons Asinorum, Latijn voor ezelsbrug. Waar dat bij ons een mentaal hulpmiddel betekent, staat het oorspronkelijk juist voor een probleem dat bepaalde of je slim genoeg was om door te gaan.

Constructie

De klassieke meetkunde van Euclides maakt gebruik van constructies met een passer en een liniaal. Die laatste dient alleen voor het tekenen van rechte lijnen en heeft geen maatstrepen. Het zal je verbazen hoeveel Euclides (en zijn navolgers in latere eeuwen) met die eenvoudige gereedschappen kon ontdekken. In het onderdeel Meetkunde van GeoGebra kun je zelf aan de slag met een digitale passer en liniaal.

Objecten

In het venster links zie je onder Basisknoppen een handvol objecten die je kunt maken. Met Punt, Lijnstuk, Lijn en Cirkel bewijst Euclides hoe je bijvoorbeeld een lijnstuk in twee gelijke delen kunt delen. Om zo’n middelpunt in latere constructies niet telkens opnieuw te hoeven maken, kun je dit soort meer geavanceerde objecten in Meetkunde ook in één keer maken. Klik daarvoor op Meer. Behalve Constructies kun je ook andere elementen toevoegen, zoals tekst. Scrol je naar beneden dan kun je nogmaals op Meer klikken voor extra mogelijkheden.

Voorbeeld

Klik op Nieuw punt en klik vervolgens op drie verschillende plekken in het rechterschermdeel. Zoals je ziet, worden de drie punten die je daarmee hebt geplaatst naar goed meetkundig gebruik automatisch van een letter voorzien. Kies nu Lijnstuk onder Basisknoppen en klik op punt A. Klik vervolgens op punt B. A en B zijn nu verbonden. Maak op dezelfde manier de driehoek af.

Klik nu onder Constructies op Midden of middelpunt en klik vervolgens op een willekeurige plek op elk van de drie lijnen. Het programma plaatst nu in elk daarvan een middelpunt en voorziet ook die van een letter.

Kies nu Cirkel met middelpunt onder Basisknoppen. Klik op punt A en punt E om een cirkel te maken met straal AE. Doe hetzelfde voor C en F en voor B en D.

Opmaak

Klik je onder Basisknoppen op Verplaatsen, dan kun je elk van de oorspronkelijke (blauwe) punten verslepen. Daarbij blijven de eigenschappen van je constructie in stand. De cirkel door E met middelpunt A blijft dus door E gaan, ook als je A verplaatst.

Klik je onder Bewerken op Selecteer object, dan kun je lijnen, cirkels en dergelijke selecteren. Klik bijvoorbeeld op één van de cirkels. Er verschijnt nu een pop-upmenu met vier pictogrammen.

De eerste drie geven snel toegang tot Kleuren, Labels en Verwijderen, maar de vierde (de drie puntjes) is het krachtigst. Hiermee krijg je via Instellingen toegang tot álle mogelijkheden, variërend van het kiezen van een vaste kleur tot zeer geavanceerde mogelijkheden, zoals kleuren op basis van berekeningen en het maken van scripts.

Gewapend met deze kennis kun je zelf de meest ingewikkelde constructies maken en meetkundige problemen oplossen.

Tabblad Algebra

Uiterst links is standaard het tabblad Macro’s geselecteerd, waarin je de elementen voor je constructie kunt kiezen, aanpassen en verwijderen. Daarnaast is er het tabblad Algebra. Die naam is op het eerste gezicht wat verwarrend, want wat je er ziet is de geschiedenis van een constructie die je hebt gemaakt. Helemaal onderaan zie je ook een zwart pictogram in de vorm van een klein toetsenbord. Daarmee open je een toetsenbord met meerdere tabs waarmee je berekeningen en allerlei geavanceerde functies aan je constructie kunt toevoegen. Klik daarvoor op de drie puntjes boven het toetsenbord. Je ziet dan een helpfunctie met alle concepten die het programma kent. Klik je op een concept, dan verschijnen links daarvan één of meer commando’s. Klik je daarop, dan wordt of worden deze aan je lijst met constructiestappen toegevoegd.

Instellingen

Rechtsboven in het tekenscherm vinden we achter het tandwielpictogram de nodige nuttige instellingen. Bij traditionele meetkunde worden geen roosters gebruikt, maar bij veel andere varianten wel. Ook zijn assen en roosters handig wanneer je constructietekeningen met bekende afstanden wilt maken. Hier kun je niet alleen assen en roosters inschakelen, maar ook het rooster magnetisch maken, zodat punten die je plaatst altijd exact samenvallen met roosterpunten. Via Instellingen kun je bovendien de eigenschappen van assen en roosters aanpassen.

Ook zie je in het menu Wis spoor. Wanneer je een punt in je constructie selecteert, dan kun je namelijk aangeven dat GeoGebra een spoor moet tekenen wanneer het direct of indirect wordt verplaatst. Dit is de plek om dat spoor weer op te ruimen.

Menu

Linksboven (drie streepjes) vind je het menu van GeoGebra. Hier kun je het eindresultaat van een constructie als afbeelding opslaan of afdrukken. Je kunt je werk ook online opslaan. Daardoor kun je er op een later tijdstip ook vanaf een ander platform verder aan werken en als je het werkstuk openbaar maakt, kunnen andere gebruikers stap voor stap je constructie volgen. Dit is het educatieve aspect van GeoGebra waarop we in de paragraaf 'Educatie' nog terugkomen. Je kunt je werk ook privé opslaan. Om je werk lokaal te kunnen opslaan, moet je eerst een gratis account aanmaken.

Kies je in dit menu Open, dan krijg je niet alleen toegang tot je eigen werk, maar ook de tot het vele materiaal dat anderen gemaakt hebben.

CAS Rekenmachine

We keren terug naar de startpagina van GeoGebra en nemen nu een kijkje bij de CAS Rekenmachine (CAS staat voor Computer Algebra Systeem).

Ditmaal komen we terecht in een scherm dat doet denken aan het scherm van het onderdeel Meetkunde, zoals we dat op het laatst hadden ingericht, dus met assen, een rooster en een toetsenbord voor het invoeren van formules. Wat anders is zijn de tabbladen; hier Algebra en Tabel. In dit onderdeel kunnen we onder andere 2D-grafieken maken.

Voorbeeldgrafiek

Klik op het toetsenbordje op de x en op het pictogram daaronder om een kwadraat te maken. Klik vervolgens op +, op y en nogmaals op het Kwadraat-pictogram. Klik tot slot op = en 1 en toets Enter. Er verschijnt een kleine cirkel met straal 1.

Om de cirkel wat groter te maken, kun je inzoomen met het muiswiel of met het Zoom-pictogram rechtsonder.

Links zie je de formule die je hebt ingevoerd (de impliciete vergelijking voor een cirkel). Klik op de drie puntjes erachter en kies Dupliceer invoer. Klik op de tweede formule en verander beide kwadraten in een 4. Na een druk op Enter wordt de nieuwe grafiek getekend die het midden houdt tussen een vierkant en een cirkel. Klik op deze grafiek en klik op het Kleur-pictogram (verf-emmertje). Klik op rood en vervolgens op een lege plek en je hebt twee verschillend gekleurde grafieken.

Klik nu op het tabblad Tabel. Hierin staat de linkerkolom voor x-waarden en de rechter voor y-waarden. Hier kun je uitsluitend getallen invoeren en dit deel gebruik je om bijvoorbeeld een grafiek van de gemeten gegevens te maken.

Klik je op de drie puntjes in de y-kolom dan kun je via Regressie je meetpunten automatisch verbinden.

Het maken van grafieken vormt slechts een klein deel van de mogelijkheden van de CAS Rekenmachine. Je kunt hier bijvoorbeeld ook afgeleiden en integralen berekenen.

3D

Waar we met (onder andere) de CAS Rekenmachine grafieken in het platte vlak kunnen maken, gaan we met de 3D Rekenmachine de ruimte in. De bediening lijkt op die van de eerder besproken onderdelen.

In CAS kun je 2D-grafieken maken op basis van een functie van x of van parametrische vergelijkingen. Ook kun je werken met impliciete vergelijkingen (zoals wij in ons voorbeeld deden) en kun je naast rechthoekige coördinaten ook werken met poolcoördinaten. De 3D-tegenhanger ondersteunt ook al deze varianten, waarbij je in plaats van poolcoördinaten kunt kiezen voor cilindrische of bolcoördinaten.

3D Voorbeeld

Op basis van het 2D-voorbeeld weet je inmiddels hoe je een formule kunt invoeren. In de 3D Rekenmachine kiezen we voor 4x2+y2+z2=16. Na een druk op de Enter-knop verschijnt de grafiek.

In de 3D Rekenmachine kun je niet alleen grafieken maken op basis van formules. In het tabblad Knoppen vind je namelijk ook allerlei objecten. Om ze allemaal te zien, moet je op Meer klikken. Klik bijvoorbeeld op Piramide, klik vervolgens op vier punten op de x- en y- as (in het grondvlak, bijvoorbeeld (4,0,0), (0,6,0), (-4,0,0) en (0,-6,0)). Klik tot slot op de z-as op het punt (0,0,4) en daar is je piramide.

Ook nu kun je het uiterlijk van alles wat je maakt weer volop naar je hand zetten.

Apps

De web-versies van de verschillende onderdelen van GeoGebra werken uitstekend, maar werk je liever lokaal, dan kan dat ook. Op deze pagina vind je alle modules als download voor Windows. Verschillende zijn ook beschikbaar voor macOS en de oerversie GeoGebra Classic is er bovendien voor Linux.

Alle modules zijn daarnaast beschikbaar voor iOS en Android. Zoek je in de appstore voor een van beide op het trefwoord 'geogebra', dan vind je alle beschikbare producten. 

Educatie

Omdat je het werk dat je maakt met GeoGebra online kunt opslaan en kunt delen, biedt de website een gigantische hoeveelheid voorbeelden om mee te spelen. Op de startpagina van GeoGebra zie je de rubriek Aanbevolen materiaal en klik je daarachter op Alle dan kom je op een pagina waar je door het complete aanbod kunt bladeren.

Onder de voorbeelden onder Aanbevolen materiaal (verdeeld over verschillende niveaus), vind je een zoekboom waarmee je door verschillende disciplines binnen de wiskunde kunt bladeren. Klik bijvoorbeeld op Algebra. Zoals je ziet, kun je ook daarbinnen weer navigeren, bijvoorbeeld door te klikken op Breuken. Je ziet nu alle openbare bestanden binnen dat thema. We openen Breuken optellen (niveau 3). Dit werkblad is een typisch voorbeeld van een overhoring en daarom kun je het niet aanpassen. Er zijn ook vele werkbladen waar je wel onder de motorkap kunt kijken om meer de leren over de vele mogelijkheden van GeoGebra.

Zelf leren

We hebben maar een fractie van de vele mogelijkheden kunnen bespreken die GeoGebra en zijn verschillende modules te bieden hebben. Klik je vanaf de startpagina op Toon alle achter Initiatiehandleidingen, dan kom je op een pagina met een dertigtal boeken waarmee je zelfs de meest geavanceerde technieken leert om niet alleen berekeningen te maken, maar ook je eigen gebruikersinterfaces te bouwen.

Heb je een pc met weinig opslagruimte dan loont het wellicht om in Windows 11 de bestandscompressie in te schakelen. Dan hebben we het niet over zip-archieven, maar de NTFS-compressie waarmee je bestanden, mappen en zelfs volledige schijven kunt verkleinen.

Eerst een waarschuwing

Dankzij compressie is het mogelijk om meer data op te slaan op dezelfde ruimte. In Windows 11 kun je NTFS (New Technology File System) aanspreken. Het nadeel van deze methode is dat het extra rekenkracht vraagt iedere keer dat je zo'n gecomprimeerd bestand opent. Hetzelfde gebeurt wanneer je na de bewerking het bestand sluit en er recompressie wordt toegepast. Gebruik deze methode dus voor data die je lange tijd niet gebruikt en waar extra laadtijd nauwelijks hinderlijk is.

Je kunt op deze manier ook een volledige schijf comprimeren, maar we raden af om dit met de opstartschijf te doen. Gebruik deze functie niet op usb-sticks en alleen op snelle schijven zoals ssd's. Het prestatieverlies zou teveel doorwegen. Bij jpg-afbeeldingen of mp3- of mp4-mediabestanden is de winst verwaarloosbaar.

Map comprimeren

Open Windows Verkenner en navigeer naar de map waarvan je de inhoud wilt verkleinen. Klik met de rechtermuisknop op de map en in het snelmenu selecteer je Eigenschappen. Open het tabblad Algemeen en klik op Geavanceerd. Bij de Geavanceerde kenmerken zie je onderaan Compressie en versleutelingskenmerken. Plaats een vinkje bij Inhoud comprimeren om schijfruimte vrij te maken. Klik op OK en klik daarna op Toepassen.

Selecteer indien nodig de optie Wijzigingen toepassen op deze map, submappen en bestanden en klik op de OK-knop. Net zoals voorheen kun je zo'n map openen en de bestanden bekijken in Verkenner. Om de volledige map te decomprimeren, open je opnieuw de Eigenschappen en volg je de beschreven stappen.

Station comprimeren

Het is mogelijk om een volledige schijf te comprimeren. Open Windows Verkenner en klik op Deze pc in het linkerdeelvenster. Klik met de rechtermuisknop op de opslagschijf die je wilt comprimeren. Selecteer onder het gedeelte Apparaten en stations de optie Eigenschappen. Daarna kun je opnieuw de optie aanvinken: Dit station comprimeren om schijfruimte te besparen.

Ring heeft de tweede generatie van zijn Floodlight Cam Pro uitgebracht. De voornaamste verbetering van deze schijnwerpercamera is de 4K-beeldkwaliteit. Dankzij twee felle ledlampen leent dit product zich goed voor het bewaken van een grote buitenruimte, zoals een oprit of diepe achtertuin.

Zodra we de productdoos openmaken, valt één ding meteen op. Ring levert geen voedingskabel of accu mee. De Ring Floodlight Cam Pro (2e gen) kun je namelijk alleen op de plek van een bestaande buitenlamp monteren. De IP65-gecertificeerde behuizing is grotendeels van kunststof. Desalniettemin voelt de constructie solide aan, dus die gaat niet zomaar stuk. Gunstig is dat je zowel de camera als beide schijnwerpers naar eigen wens kunt richten.

©Maikel Dijkhuizen

Montage

Voor de juiste montage-instructies ben je aangewezen op de Ring - Always Home-app. Overigens is dat geen straf, want duidelijke filmpjes en Nederlandstalige aanwijzingen loodsen je soepel door de installatieprocedure. Film de QR-code en volg vervolgens alle stappen. Een beetje kennis van elektra is trouwens geen overbodige luxe.

De fabrikant levert montagegereedschap mee, zoals pluggen, afdekdoppen en een schroevendraaier. Je hebt verder alleen nog maar een boormachine nodig. De montagebeugel bevat een kroonsteentje waarop je de gekleurde stroomdraden kunt aansluiten. Daarnaast heeft de montagebeugel een geïntegreerde waterpas, zodat je de beveiligingscamera helemaal recht hangt. Houd rekening met een ideale ophanghoogte van ongeveer drie meter.

©Maikel Dijkhuizen

Configuratie

Na de montage volgt de configuratie in de Ring - Always Home-app. Je koppelt deze beveiligingscamera van Google binnen een mum van tijd aan een 2,4GHz- of 5GHz-netwerk. Vervolgens downloadt en installeert het apparaat op eigen houtje een firmware-update. Helaas kun je deze beveiligingscamera niet met een bekabeld netwerk verbinden. Zorg op de beoogde locatie dus voor voldoende wifi-dekking. Bij te weinig bandbreedte schakelt deze beveiligingscamera automatisch terug naar een lagere videokwaliteit.

Je geeft tijdens de configuratie optioneel andere gezinsleden toegang tot de camera. Bepaal ook welke slimme meldingen je wilt ontvangen. Na detectie van personen, voertuigen en andere bewegingen stuurt de Floodlight Cam Pro je desgewenst pushnotificaties. Hierbij stel je zelf de gevoeligheid van de bewegingssensor en detectiezone in. Je kunt ook nog gebieden blokkeren, zodat je bijvoorbeeld geen activiteiten in een naburige tuin vastlegt.

©Maikel Dijkhuizen

Opnemen in 4K

De maximale videokwaliteit van 3840 × 2160 pixels betaalt zich uit, want de beelden zijn zeer scherp. Zo'n hoge resolutie is voor bewakingsdoeleinden eigenlijk niet per se nodig, al biedt het wel degelijk voordelen. Na maximaal 10× inzoomen zijn nummerborden namelijk nog goed leesbaar. Met een behoorlijk brede kijkhoek van 140 graden (horizontaal) bewaak je probleemloos een grote tuin of oprijlaan.

In het donker hebben de twee schijnlampen met een totale lichtopbrengst van 2000 lumen veel meerwaarde. Je ziet 's avonds en 's nachts op grote afstand precies wat er bij jouw woning gebeurt. Daarbij fungeert de Floodlight Cam Pro ook nog als veredelde buitenlamp. Voor een beveiligingscamera heeft dit model een luide sirene. Wie weet schrikt dat insluipers af. Dankzij ondersteuning voor tweewegaudio kun je op afstand een gesprek starten.

Je kijkt in de app eenvoudig opnames terug. Met behulp van de kalender en duidelijk vormgegeven tijdlijn bepaal je welk moment je wilt terugzien. Er is ook een slimme zoekfunctie ingebakken, zodat je met specifieke trefwoorden als 'hond', 'pakket' en 'rode auto' relevante opnames kunt vinden. Een nadeel is dat Ring-beveiligingscamera's geen lokale opslag ondersteunen. Wil je opnames van gebeurtenissen opslaan of 24/7 opnemen, dan heb je een betaald Ring Home-abonnement nodig.

©Maikel Dijkhuizen

Ring Floodlight Cam Pro (2e gen) kopen?

De Ring Floodlight Cam Pro (2e gen) heeft een heleboel voordelen, zoals een scherp beeld, twee felle verstelbare ledlampen, luide sirene en gebruiksvriendelijke app. Daarmee zijn alle ingrediënten aanwezig om op een laagdrempelige manier je tuin of oprit te bewaken. Daarentegen is de adviesprijs van 279,99 euro nogal fors. En daarmee ben je er nog niet, want voor het bewaren van opnames heb je een betaald Ring Home-abonnement nodig. Er bestaan als alternatief (veel) goedkopere floodlight-beveiligingscamera's met lokale opslag, al ondersteunen die veelal geen 4K-beeldkwaliteit.

Lees ook: Bedraad of draadloos: wat is de beste slimme deurbel voor jou?