Er zijn heel wat tools waarmee je (online) rekenwerk kunt verrichten, maar weinige zijn zo veelzijdig als GeoGebra. De naam is een samentrekking van de woorden geometrie en algebra, het is zowel online beschikbaar als via apps voor vrijwel elk platform.

GeoGebra heeft een lange geschiedenis die meer dan twintig jaar teruggaat. Het project werd ooit opgezet om het leren en onderwijzen van met name algebra en meetkunde te vereenvoudigen, maar is vanwege zijn vele gereedschappen ook zeer geschikt om zelf allerlei (reken)problemen mee op te lossen. Bovendien is GeoGebra door de jaren uitgebreid naar nog meer wiskundige vakgebieden, zoals statistiek en analyse.

Korte rondleiding

De thuisbasis van GeoGebra is www.geogebra.org. Als de site niet standaard in het Nederlands verschijnt, kun je onderaan de pagina op de wereldbol klikken. Je kunt dan de gewenste taal selecteren.

Op de site vind je verschillende modules die je los of gecombineerd kunt gebruiken. Zo is er de 3D Rekenmachine voor het maken van 3D-grafieken, de Grafische rekenmachine voor het maken van 2D-grafieken, de Wetenschappelijke rekenmachine voor het maken van (wiskundige) berekeningen en de CAS Rekenmachine voor 2D-grafieken en algebra. De Rekenmachine suite combineert deze modules en voegt daar kansberekening aan toe.

Daarnaast vind je op de hoofdpagina links naar GeoGebra Klassiek, de oorspronkelijke combinatie van meetkunde en algebra, het onderdeel Meetkunde, dat zich specifiek richt op het oplossen van meetkundige vraagstukken en het Notitieblok, waarmee je illustraties kunt maken.

Met het onderdeel Toetsen kunnen docenten examenvragen maken die offline kunnen worden gebruikt en tot slot heb je toegang tot heel veel lesmateriaal en bronnen voor het leren werken met GeoGebra.

Meetkunde

De Griekse wiskundige Euclides leefde zo’n 2300 jaar geleden en is vooral bekend van De Elementen, een serie geschriften waarin hij onder andere in Boek 1 de basisbeginselen van de zogeheten vlakke meetkunde uitwerkt. Hierin bewijst hij vanuit een vijftal vooronderstellingen (axioma’s) allerlei zaken over lijnen, cirkels, driehoeken enzovoort. De manier waarop hij dat deed, staat sindsdien model voor het uitbreiden van kennis door middel van logisch redeneren en daarom vormde De Elementen zo’n 2000 jaar lang (!) verplicht studiemateriaal voor iedereen die een hogere opleiding volgde en is het nog altijd goede kost om de geest te scherpen.

Eén van de te bewijzen stellingen over gelijkzijdige driehoeken in het begin van De Elementen (Propositie 5) werd bekend onder de naam Pons Asinorum, Latijn voor ezelsbrug. Waar dat bij ons een mentaal hulpmiddel betekent, staat het oorspronkelijk juist voor een probleem dat bepaalde of je slim genoeg was om door te gaan.

Constructie

De klassieke meetkunde van Euclides maakt gebruik van constructies met een passer en een liniaal. Die laatste dient alleen voor het tekenen van rechte lijnen en heeft geen maatstrepen. Het zal je verbazen hoeveel Euclides (en zijn navolgers in latere eeuwen) met die eenvoudige gereedschappen kon ontdekken. In het onderdeel Meetkunde van GeoGebra kun je zelf aan de slag met een digitale passer en liniaal.

Objecten

In het venster links zie je onder Basisknoppen een handvol objecten die je kunt maken. Met Punt, Lijnstuk, Lijn en Cirkel bewijst Euclides hoe je bijvoorbeeld een lijnstuk in twee gelijke delen kunt delen. Om zo’n middelpunt in latere constructies niet telkens opnieuw te hoeven maken, kun je dit soort meer geavanceerde objecten in Meetkunde ook in één keer maken. Klik daarvoor op Meer. Behalve Constructies kun je ook andere elementen toevoegen, zoals tekst. Scrol je naar beneden dan kun je nogmaals op Meer klikken voor extra mogelijkheden.

Voorbeeld

Klik op Nieuw punt en klik vervolgens op drie verschillende plekken in het rechterschermdeel. Zoals je ziet, worden de drie punten die je daarmee hebt geplaatst naar goed meetkundig gebruik automatisch van een letter voorzien. Kies nu Lijnstuk onder Basisknoppen en klik op punt A. Klik vervolgens op punt B. A en B zijn nu verbonden. Maak op dezelfde manier de driehoek af.

Klik nu onder Constructies op Midden of middelpunt en klik vervolgens op een willekeurige plek op elk van de drie lijnen. Het programma plaatst nu in elk daarvan een middelpunt en voorziet ook die van een letter.

Kies nu Cirkel met middelpunt onder Basisknoppen. Klik op punt A en punt E om een cirkel te maken met straal AE. Doe hetzelfde voor C en F en voor B en D.

Opmaak

Klik je onder Basisknoppen op Verplaatsen, dan kun je elk van de oorspronkelijke (blauwe) punten verslepen. Daarbij blijven de eigenschappen van je constructie in stand. De cirkel door E met middelpunt A blijft dus door E gaan, ook als je A verplaatst.

Klik je onder Bewerken op Selecteer object, dan kun je lijnen, cirkels en dergelijke selecteren. Klik bijvoorbeeld op één van de cirkels. Er verschijnt nu een pop-upmenu met vier pictogrammen.

De eerste drie geven snel toegang tot Kleuren, Labels en Verwijderen, maar de vierde (de drie puntjes) is het krachtigst. Hiermee krijg je via Instellingen toegang tot álle mogelijkheden, variërend van het kiezen van een vaste kleur tot zeer geavanceerde mogelijkheden, zoals kleuren op basis van berekeningen en het maken van scripts.

Gewapend met deze kennis kun je zelf de meest ingewikkelde constructies maken en meetkundige problemen oplossen.

Tabblad Algebra

Uiterst links is standaard het tabblad Macro’s geselecteerd, waarin je de elementen voor je constructie kunt kiezen, aanpassen en verwijderen. Daarnaast is er het tabblad Algebra. Die naam is op het eerste gezicht wat verwarrend, want wat je er ziet is de geschiedenis van een constructie die je hebt gemaakt. Helemaal onderaan zie je ook een zwart pictogram in de vorm van een klein toetsenbord. Daarmee open je een toetsenbord met meerdere tabs waarmee je berekeningen en allerlei geavanceerde functies aan je constructie kunt toevoegen. Klik daarvoor op de drie puntjes boven het toetsenbord. Je ziet dan een helpfunctie met alle concepten die het programma kent. Klik je op een concept, dan verschijnen links daarvan één of meer commando’s. Klik je daarop, dan wordt of worden deze aan je lijst met constructiestappen toegevoegd.

Instellingen

Rechtsboven in het tekenscherm vinden we achter het tandwielpictogram de nodige nuttige instellingen. Bij traditionele meetkunde worden geen roosters gebruikt, maar bij veel andere varianten wel. Ook zijn assen en roosters handig wanneer je constructietekeningen met bekende afstanden wilt maken. Hier kun je niet alleen assen en roosters inschakelen, maar ook het rooster magnetisch maken, zodat punten die je plaatst altijd exact samenvallen met roosterpunten. Via Instellingen kun je bovendien de eigenschappen van assen en roosters aanpassen.

Ook zie je in het menu Wis spoor. Wanneer je een punt in je constructie selecteert, dan kun je namelijk aangeven dat GeoGebra een spoor moet tekenen wanneer het direct of indirect wordt verplaatst. Dit is de plek om dat spoor weer op te ruimen.

Menu

Linksboven (drie streepjes) vind je het menu van GeoGebra. Hier kun je het eindresultaat van een constructie als afbeelding opslaan of afdrukken. Je kunt je werk ook online opslaan. Daardoor kun je er op een later tijdstip ook vanaf een ander platform verder aan werken en als je het werkstuk openbaar maakt, kunnen andere gebruikers stap voor stap je constructie volgen. Dit is het educatieve aspect van GeoGebra waarop we in de paragraaf 'Educatie' nog terugkomen. Je kunt je werk ook privé opslaan. Om je werk lokaal te kunnen opslaan, moet je eerst een gratis account aanmaken.

Kies je in dit menu Open, dan krijg je niet alleen toegang tot je eigen werk, maar ook de tot het vele materiaal dat anderen gemaakt hebben.

CAS Rekenmachine

We keren terug naar de startpagina van GeoGebra en nemen nu een kijkje bij de CAS Rekenmachine (CAS staat voor Computer Algebra Systeem).

Ditmaal komen we terecht in een scherm dat doet denken aan het scherm van het onderdeel Meetkunde, zoals we dat op het laatst hadden ingericht, dus met assen, een rooster en een toetsenbord voor het invoeren van formules. Wat anders is zijn de tabbladen; hier Algebra en Tabel. In dit onderdeel kunnen we onder andere 2D-grafieken maken.

Voorbeeldgrafiek

Klik op het toetsenbordje op de x en op het pictogram daaronder om een kwadraat te maken. Klik vervolgens op +, op y en nogmaals op het Kwadraat-pictogram. Klik tot slot op = en 1 en toets Enter. Er verschijnt een kleine cirkel met straal 1.

Om de cirkel wat groter te maken, kun je inzoomen met het muiswiel of met het Zoom-pictogram rechtsonder.

Links zie je de formule die je hebt ingevoerd (de impliciete vergelijking voor een cirkel). Klik op de drie puntjes erachter en kies Dupliceer invoer. Klik op de tweede formule en verander beide kwadraten in een 4. Na een druk op Enter wordt de nieuwe grafiek getekend die het midden houdt tussen een vierkant en een cirkel. Klik op deze grafiek en klik op het Kleur-pictogram (verf-emmertje). Klik op rood en vervolgens op een lege plek en je hebt twee verschillend gekleurde grafieken.

Klik nu op het tabblad Tabel. Hierin staat de linkerkolom voor x-waarden en de rechter voor y-waarden. Hier kun je uitsluitend getallen invoeren en dit deel gebruik je om bijvoorbeeld een grafiek van de gemeten gegevens te maken.

Klik je op de drie puntjes in de y-kolom dan kun je via Regressie je meetpunten automatisch verbinden.

Het maken van grafieken vormt slechts een klein deel van de mogelijkheden van de CAS Rekenmachine. Je kunt hier bijvoorbeeld ook afgeleiden en integralen berekenen.

3D

Waar we met (onder andere) de CAS Rekenmachine grafieken in het platte vlak kunnen maken, gaan we met de 3D Rekenmachine de ruimte in. De bediening lijkt op die van de eerder besproken onderdelen.

In CAS kun je 2D-grafieken maken op basis van een functie van x of van parametrische vergelijkingen. Ook kun je werken met impliciete vergelijkingen (zoals wij in ons voorbeeld deden) en kun je naast rechthoekige coördinaten ook werken met poolcoördinaten. De 3D-tegenhanger ondersteunt ook al deze varianten, waarbij je in plaats van poolcoördinaten kunt kiezen voor cilindrische of bolcoördinaten.

3D Voorbeeld

Op basis van het 2D-voorbeeld weet je inmiddels hoe je een formule kunt invoeren. In de 3D Rekenmachine kiezen we voor 4x2+y2+z2=16. Na een druk op de Enter-knop verschijnt de grafiek.

In de 3D Rekenmachine kun je niet alleen grafieken maken op basis van formules. In het tabblad Knoppen vind je namelijk ook allerlei objecten. Om ze allemaal te zien, moet je op Meer klikken. Klik bijvoorbeeld op Piramide, klik vervolgens op vier punten op de x- en y- as (in het grondvlak, bijvoorbeeld (4,0,0), (0,6,0), (-4,0,0) en (0,-6,0)). Klik tot slot op de z-as op het punt (0,0,4) en daar is je piramide.

Ook nu kun je het uiterlijk van alles wat je maakt weer volop naar je hand zetten.

Apps

De web-versies van de verschillende onderdelen van GeoGebra werken uitstekend, maar werk je liever lokaal, dan kan dat ook. Op deze pagina vind je alle modules als download voor Windows. Verschillende zijn ook beschikbaar voor macOS en de oerversie GeoGebra Classic is er bovendien voor Linux.

Alle modules zijn daarnaast beschikbaar voor iOS en Android. Zoek je in de appstore voor een van beide op het trefwoord 'geogebra', dan vind je alle beschikbare producten. 

Educatie

Omdat je het werk dat je maakt met GeoGebra online kunt opslaan en kunt delen, biedt de website een gigantische hoeveelheid voorbeelden om mee te spelen. Op de startpagina van GeoGebra zie je de rubriek Aanbevolen materiaal en klik je daarachter op Alle dan kom je op een pagina waar je door het complete aanbod kunt bladeren.

Onder de voorbeelden onder Aanbevolen materiaal (verdeeld over verschillende niveaus), vind je een zoekboom waarmee je door verschillende disciplines binnen de wiskunde kunt bladeren. Klik bijvoorbeeld op Algebra. Zoals je ziet, kun je ook daarbinnen weer navigeren, bijvoorbeeld door te klikken op Breuken. Je ziet nu alle openbare bestanden binnen dat thema. We openen Breuken optellen (niveau 3). Dit werkblad is een typisch voorbeeld van een overhoring en daarom kun je het niet aanpassen. Er zijn ook vele werkbladen waar je wel onder de motorkap kunt kijken om meer de leren over de vele mogelijkheden van GeoGebra.

Zelf leren

We hebben maar een fractie van de vele mogelijkheden kunnen bespreken die GeoGebra en zijn verschillende modules te bieden hebben. Klik je vanaf de startpagina op Toon alle achter Initiatiehandleidingen, dan kom je op een pagina met een dertigtal boeken waarmee je zelfs de meest geavanceerde technieken leert om niet alleen berekeningen te maken, maar ook je eigen gebruikersinterfaces te bouwen.

Herken je dat? Gesprekken in een drukke ruimte die steeds lastiger te volgen zijn. Muziek die doffer klinkt dan vroeger. Of familieleden die zeggen dat de tv wel erg hard staat. Veel mensen merken pas laat dat hun gehoor langzaam achteruitgaat. Toch kun je daar iets aan doen – en dat begint met luisteren. Letterlijk én figuurlijk.

Partnerbijdrage - in samenwerking met Schoonenberg HoorSupport

Hoe weet je of je gehoor achteruitgaat?

Gehoorverlies ontstaat vaak geleidelijk. Je hersenen vullen ontbrekende klanken vanzelf aan, waardoor je het niet meteen merkt. Hierdoor raak je niet alleen sneller vermoeid, maar zijn het ook anderen die eerder merken dat je niet goed hoort: je vraagt mensen steeds vaker of ze willen herhalen wat ze net gezegd hebben, of je zet het volume van de stereo of televisie hoger dan vroeger.

Een eenvoudige manier om in te schatten hoe het met je gehoor staat, is jezelf een cijfer te geven. Hoe beoordeel jij je gehoor op een schaal van 1 tot 10? Scoor je lager dan een 6, dan is dat een goed moment om actie te ondernemen. Hoe eerder je erbij bent, des te beter je er iets aan kunt doen.

Laat je gehoor eens testen

Vermoed je gehoorverlies? Bij Schoonenberg HoorSupport kun je gratis en vrijblijvend een hoortest doen. De audicien onderzoekt hoe goed je hoort en jullie bespreken samen wat voor jou belangrijk is. Met ruim 140 vestigingen in Nederland is er altijd wel een locatie bij jou in de buurt.

In de winkels staan gecertificeerde audiciens klaar om uitleg te geven over moderne hooroplossingen zoals de AudioNova S9. Zo ervaar je opnieuw hoe rijk geluid kan zijn – van stemmen en muziek tot de alledaagse geluiden die je misschien ongemerkt was kwijtgeraakt.

©Schoonenberg HoorSupport

©Schoonenberg HoorSupport

©Schoonenberg HoorSupport

Probeer de AudioNova S9 zelf uit

Review.nl organiseert samen met Schoonenberg HoorSupport een testpanel voor de AudioNova S9. Deelnemers mogen het toestel uitgebreid uitproberen en hun ervaring delen. Je krijgt daarbij professionele begeleiding van de experts van Schoonenberg.

Wil je meedoen of meer weten over de test? Meld je aan via de Review.nl-pagina. Daar lees je alles over deelname, de planning en wat er van je wordt verwacht.

Ook als je niet in het testpanel wordt geselecteerd, kun je natuurlijk een hoortest plannen bij een vestiging van Schoonenberg HoorSupport. Zo ontdek je zelf of de AudioNova S9 of een ander model bij jou past.

©Schoonenberg HoorSupport

Strijken lijkt simpel, maar in de praktijk sluipen er snel gewoontes in die jouw kleding geen goed doen. Veel mensen strijken op gevoel en merken pas later dat toch niet alle kreukels weg zijn, de stof sneller slijt of dat het strijkwerk eindeloos duurt. Door deze zes fouten te vermijden, gaat het strijken vlotter en blijft je kleding mooier.

Strijken kan een vervelende klus zijn wanneer je wekelijks met een volle mand aan de slag gaat, zeker als hardnekkige vouwen niet willen verdwijnen of een net gestreken blouse na een uur alweer kreukt. In grotere huishoudens voelt het soms zelfs alsof het werk nooit af is. Het goede nieuws: het kan sneller én makkelijker. Hieronder lees je welke zes fouten het strijken vaak onnodig lastig maken en hoe je ze voorkomt.

1: De temperatuur verkeerd instellen

Veel mensen laten hun strijkijzer standaard op dezelfde temperatuur staan. Dat lijkt handig, maar is het niet. Sommige stoffen, zoals zijde of synthetische vezels, mogen niet te warm gestreken worden omdat ze dat kunnen verschroeien of in het ergste geval zelfs smelten. Maar bij andere stoffen krijg je kreukels juist alleen weg bij een hogere stand. Het wasetiket geeft precies aan wat kan. Staat er een doorgestreept strijkijzer op? Dan kun je het beter helemaal niet strijken. In zo'n geval kan een kledingstomer misschien uitkomst bieden.

Lees ook: Betekenis wassymbolen: wat zijn die wasvoorschriften?

©Igor Nikushin - stock.adobe.com

2: Kleding niet binnenstebuiten strijken

Stoffen blijven langer mooi wanneer je ze aan de binnenkant strijkt. De buitenkant slijt dan minder snel en kleuren blijven langer behouden. Bij kragen, manchetten en zomen is de binnenkant al helemaal veiliger, omdat details anders kunnen beschadigen. Ook donkere stoffen strijk je bij voorkeur aan de binnenzijde: te veel hitte kan glansplekken veroorzaken, en dat wil je natuurlijk niet kunnen zien wanneer je deze kleding draagt.

3: Te droge was strijken

Volledig droge kleding strijkt een stuk lastiger. De strijkzool glijdt minder soepel en kreukels blijven langer zichtbaar. Een licht vochtige stof werkt veel prettiger. Is je was al droog? Dan helpt een plantenspuit of de stoomfunctie van je strijkijzer. Let op: sommige materialen, zoals zijde, zijn gevoelig voor watervlekken. Die kun je dus beter wél droog strijken.

©PhotoSG - stock.adobe.com

4: Vuile kleding of kleding met vlekken strijken

Een gedragen kledingstuk even bijstrijken lijkt handig, maar vlekken kunnen door de hitte in de vezels trekken. Daarna zijn ze veel moeilijker te verwijderen. Strijk daarom om vlekken heen of kies een andere manier om kleding op te frissen. Denk aan een hangertje in de badkamer tijdens een warme douche of verticaal stomen met je stoomstrijkijzer. Er zijn ook speciale sprays voor kreukels te koop.

5: Je strijkijzer niet schoonmaken

Kalk en vuil hopen zich in de stoomopeningen op en dat merk je meteen: de stoomproductie neemt af en het strijken gaat minder makkelijk. Een maandelijkse schoonmaak helpt om problemen te voorkomen. Vul het reservoir, warm het strijkijzer op en stoom het leeg boven de gootsteen. Sommige modellen hebben een reinigingsknop die vuil en kalk extra krachtig losmaakt. Ook de zool van je strijkijzer kan vies worden. Door die regelmatig schoon te maken blijft je schone was ... nou ja, schoon dus!

Lees ook: 3 manieren om de zool van je strijkijzer schoon te maken

©Alliance - stock.adobe.com

6: Het verkeerde strijkijzer gebruiken

Zelfs de beste strijktechniek schiet tekort wanneer het strijkijzer niet goed presteert. Een verouderd of te eenvoudig model kan traag op temperatuur komen, minder stoom produceren of stroef aanvoelen. . Maar wat is dan een goed strijkijzer? Een goed strijkijzer heeft onder andere een fijne brede strijkzool met spitse punt en een effectieve stoomfunctie. Moet je wekelijks bergen was wegstrijken? Gun jezelf dan een stoomgenerator. Dat is een strijkijzer met een extern reservoir waarin tot wel twee liter water gaat, waardoor je ononderbroken kunt strijken. Extra prettig aan dit type strijkbout is dat je hem vóór het strijken uit het waterreservoir haalt en hij dus extra licht van gewicht is. Zo is strijken misschien helemaal zo vervelend nog niet!