Er zijn heel wat tools waarmee je (online) rekenwerk kunt verrichten, maar weinige zijn zo veelzijdig als GeoGebra. De naam is een samentrekking van de woorden geometrie en algebra, het is zowel online beschikbaar als via apps voor vrijwel elk platform.

GeoGebra heeft een lange geschiedenis die meer dan twintig jaar teruggaat. Het project werd ooit opgezet om het leren en onderwijzen van met name algebra en meetkunde te vereenvoudigen, maar is vanwege zijn vele gereedschappen ook zeer geschikt om zelf allerlei (reken)problemen mee op te lossen. Bovendien is GeoGebra door de jaren uitgebreid naar nog meer wiskundige vakgebieden, zoals statistiek en analyse.

Korte rondleiding

De thuisbasis van GeoGebra is www.geogebra.org. Als de site niet standaard in het Nederlands verschijnt, kun je onderaan de pagina op de wereldbol klikken. Je kunt dan de gewenste taal selecteren.

Op de site vind je verschillende modules die je los of gecombineerd kunt gebruiken. Zo is er de 3D Rekenmachine voor het maken van 3D-grafieken, de Grafische rekenmachine voor het maken van 2D-grafieken, de Wetenschappelijke rekenmachine voor het maken van (wiskundige) berekeningen en de CAS Rekenmachine voor 2D-grafieken en algebra. De Rekenmachine suite combineert deze modules en voegt daar kansberekening aan toe.

Daarnaast vind je op de hoofdpagina links naar GeoGebra Klassiek, de oorspronkelijke combinatie van meetkunde en algebra, het onderdeel Meetkunde, dat zich specifiek richt op het oplossen van meetkundige vraagstukken en het Notitieblok, waarmee je illustraties kunt maken.

Met het onderdeel Toetsen kunnen docenten examenvragen maken die offline kunnen worden gebruikt en tot slot heb je toegang tot heel veel lesmateriaal en bronnen voor het leren werken met GeoGebra.

Meetkunde

De Griekse wiskundige Euclides leefde zo’n 2300 jaar geleden en is vooral bekend van De Elementen, een serie geschriften waarin hij onder andere in Boek 1 de basisbeginselen van de zogeheten vlakke meetkunde uitwerkt. Hierin bewijst hij vanuit een vijftal vooronderstellingen (axioma’s) allerlei zaken over lijnen, cirkels, driehoeken enzovoort. De manier waarop hij dat deed, staat sindsdien model voor het uitbreiden van kennis door middel van logisch redeneren en daarom vormde De Elementen zo’n 2000 jaar lang (!) verplicht studiemateriaal voor iedereen die een hogere opleiding volgde en is het nog altijd goede kost om de geest te scherpen.

Eén van de te bewijzen stellingen over gelijkzijdige driehoeken in het begin van De Elementen (Propositie 5) werd bekend onder de naam Pons Asinorum, Latijn voor ezelsbrug. Waar dat bij ons een mentaal hulpmiddel betekent, staat het oorspronkelijk juist voor een probleem dat bepaalde of je slim genoeg was om door te gaan.

Constructie

De klassieke meetkunde van Euclides maakt gebruik van constructies met een passer en een liniaal. Die laatste dient alleen voor het tekenen van rechte lijnen en heeft geen maatstrepen. Het zal je verbazen hoeveel Euclides (en zijn navolgers in latere eeuwen) met die eenvoudige gereedschappen kon ontdekken. In het onderdeel Meetkunde van GeoGebra kun je zelf aan de slag met een digitale passer en liniaal.

Objecten

In het venster links zie je onder Basisknoppen een handvol objecten die je kunt maken. Met Punt, Lijnstuk, Lijn en Cirkel bewijst Euclides hoe je bijvoorbeeld een lijnstuk in twee gelijke delen kunt delen. Om zo’n middelpunt in latere constructies niet telkens opnieuw te hoeven maken, kun je dit soort meer geavanceerde objecten in Meetkunde ook in één keer maken. Klik daarvoor op Meer. Behalve Constructies kun je ook andere elementen toevoegen, zoals tekst. Scrol je naar beneden dan kun je nogmaals op Meer klikken voor extra mogelijkheden.

Voorbeeld

Klik op Nieuw punt en klik vervolgens op drie verschillende plekken in het rechterschermdeel. Zoals je ziet, worden de drie punten die je daarmee hebt geplaatst naar goed meetkundig gebruik automatisch van een letter voorzien. Kies nu Lijnstuk onder Basisknoppen en klik op punt A. Klik vervolgens op punt B. A en B zijn nu verbonden. Maak op dezelfde manier de driehoek af.

Klik nu onder Constructies op Midden of middelpunt en klik vervolgens op een willekeurige plek op elk van de drie lijnen. Het programma plaatst nu in elk daarvan een middelpunt en voorziet ook die van een letter.

Kies nu Cirkel met middelpunt onder Basisknoppen. Klik op punt A en punt E om een cirkel te maken met straal AE. Doe hetzelfde voor C en F en voor B en D.

Opmaak

Klik je onder Basisknoppen op Verplaatsen, dan kun je elk van de oorspronkelijke (blauwe) punten verslepen. Daarbij blijven de eigenschappen van je constructie in stand. De cirkel door E met middelpunt A blijft dus door E gaan, ook als je A verplaatst.

Klik je onder Bewerken op Selecteer object, dan kun je lijnen, cirkels en dergelijke selecteren. Klik bijvoorbeeld op één van de cirkels. Er verschijnt nu een pop-upmenu met vier pictogrammen.

De eerste drie geven snel toegang tot Kleuren, Labels en Verwijderen, maar de vierde (de drie puntjes) is het krachtigst. Hiermee krijg je via Instellingen toegang tot álle mogelijkheden, variërend van het kiezen van een vaste kleur tot zeer geavanceerde mogelijkheden, zoals kleuren op basis van berekeningen en het maken van scripts.

Gewapend met deze kennis kun je zelf de meest ingewikkelde constructies maken en meetkundige problemen oplossen.

Tabblad Algebra

Uiterst links is standaard het tabblad Macro’s geselecteerd, waarin je de elementen voor je constructie kunt kiezen, aanpassen en verwijderen. Daarnaast is er het tabblad Algebra. Die naam is op het eerste gezicht wat verwarrend, want wat je er ziet is de geschiedenis van een constructie die je hebt gemaakt. Helemaal onderaan zie je ook een zwart pictogram in de vorm van een klein toetsenbord. Daarmee open je een toetsenbord met meerdere tabs waarmee je berekeningen en allerlei geavanceerde functies aan je constructie kunt toevoegen. Klik daarvoor op de drie puntjes boven het toetsenbord. Je ziet dan een helpfunctie met alle concepten die het programma kent. Klik je op een concept, dan verschijnen links daarvan één of meer commando’s. Klik je daarop, dan wordt of worden deze aan je lijst met constructiestappen toegevoegd.

Instellingen

Rechtsboven in het tekenscherm vinden we achter het tandwielpictogram de nodige nuttige instellingen. Bij traditionele meetkunde worden geen roosters gebruikt, maar bij veel andere varianten wel. Ook zijn assen en roosters handig wanneer je constructietekeningen met bekende afstanden wilt maken. Hier kun je niet alleen assen en roosters inschakelen, maar ook het rooster magnetisch maken, zodat punten die je plaatst altijd exact samenvallen met roosterpunten. Via Instellingen kun je bovendien de eigenschappen van assen en roosters aanpassen.

Ook zie je in het menu Wis spoor. Wanneer je een punt in je constructie selecteert, dan kun je namelijk aangeven dat GeoGebra een spoor moet tekenen wanneer het direct of indirect wordt verplaatst. Dit is de plek om dat spoor weer op te ruimen.

Menu

Linksboven (drie streepjes) vind je het menu van GeoGebra. Hier kun je het eindresultaat van een constructie als afbeelding opslaan of afdrukken. Je kunt je werk ook online opslaan. Daardoor kun je er op een later tijdstip ook vanaf een ander platform verder aan werken en als je het werkstuk openbaar maakt, kunnen andere gebruikers stap voor stap je constructie volgen. Dit is het educatieve aspect van GeoGebra waarop we in de paragraaf 'Educatie' nog terugkomen. Je kunt je werk ook privé opslaan. Om je werk lokaal te kunnen opslaan, moet je eerst een gratis account aanmaken.

Kies je in dit menu Open, dan krijg je niet alleen toegang tot je eigen werk, maar ook de tot het vele materiaal dat anderen gemaakt hebben.

CAS Rekenmachine

We keren terug naar de startpagina van GeoGebra en nemen nu een kijkje bij de CAS Rekenmachine (CAS staat voor Computer Algebra Systeem).

Ditmaal komen we terecht in een scherm dat doet denken aan het scherm van het onderdeel Meetkunde, zoals we dat op het laatst hadden ingericht, dus met assen, een rooster en een toetsenbord voor het invoeren van formules. Wat anders is zijn de tabbladen; hier Algebra en Tabel. In dit onderdeel kunnen we onder andere 2D-grafieken maken.

Voorbeeldgrafiek

Klik op het toetsenbordje op de x en op het pictogram daaronder om een kwadraat te maken. Klik vervolgens op +, op y en nogmaals op het Kwadraat-pictogram. Klik tot slot op = en 1 en toets Enter. Er verschijnt een kleine cirkel met straal 1.

Om de cirkel wat groter te maken, kun je inzoomen met het muiswiel of met het Zoom-pictogram rechtsonder.

Links zie je de formule die je hebt ingevoerd (de impliciete vergelijking voor een cirkel). Klik op de drie puntjes erachter en kies Dupliceer invoer. Klik op de tweede formule en verander beide kwadraten in een 4. Na een druk op Enter wordt de nieuwe grafiek getekend die het midden houdt tussen een vierkant en een cirkel. Klik op deze grafiek en klik op het Kleur-pictogram (verf-emmertje). Klik op rood en vervolgens op een lege plek en je hebt twee verschillend gekleurde grafieken.

Klik nu op het tabblad Tabel. Hierin staat de linkerkolom voor x-waarden en de rechter voor y-waarden. Hier kun je uitsluitend getallen invoeren en dit deel gebruik je om bijvoorbeeld een grafiek van de gemeten gegevens te maken.

Klik je op de drie puntjes in de y-kolom dan kun je via Regressie je meetpunten automatisch verbinden.

Het maken van grafieken vormt slechts een klein deel van de mogelijkheden van de CAS Rekenmachine. Je kunt hier bijvoorbeeld ook afgeleiden en integralen berekenen.

3D

Waar we met (onder andere) de CAS Rekenmachine grafieken in het platte vlak kunnen maken, gaan we met de 3D Rekenmachine de ruimte in. De bediening lijkt op die van de eerder besproken onderdelen.

In CAS kun je 2D-grafieken maken op basis van een functie van x of van parametrische vergelijkingen. Ook kun je werken met impliciete vergelijkingen (zoals wij in ons voorbeeld deden) en kun je naast rechthoekige coördinaten ook werken met poolcoördinaten. De 3D-tegenhanger ondersteunt ook al deze varianten, waarbij je in plaats van poolcoördinaten kunt kiezen voor cilindrische of bolcoördinaten.

3D Voorbeeld

Op basis van het 2D-voorbeeld weet je inmiddels hoe je een formule kunt invoeren. In de 3D Rekenmachine kiezen we voor 4x2+y2+z2=16. Na een druk op de Enter-knop verschijnt de grafiek.

In de 3D Rekenmachine kun je niet alleen grafieken maken op basis van formules. In het tabblad Knoppen vind je namelijk ook allerlei objecten. Om ze allemaal te zien, moet je op Meer klikken. Klik bijvoorbeeld op Piramide, klik vervolgens op vier punten op de x- en y- as (in het grondvlak, bijvoorbeeld (4,0,0), (0,6,0), (-4,0,0) en (0,-6,0)). Klik tot slot op de z-as op het punt (0,0,4) en daar is je piramide.

Ook nu kun je het uiterlijk van alles wat je maakt weer volop naar je hand zetten.

Apps

De web-versies van de verschillende onderdelen van GeoGebra werken uitstekend, maar werk je liever lokaal, dan kan dat ook. Op deze pagina vind je alle modules als download voor Windows. Verschillende zijn ook beschikbaar voor macOS en de oerversie GeoGebra Classic is er bovendien voor Linux.

Alle modules zijn daarnaast beschikbaar voor iOS en Android. Zoek je in de appstore voor een van beide op het trefwoord 'geogebra', dan vind je alle beschikbare producten. 

Educatie

Omdat je het werk dat je maakt met GeoGebra online kunt opslaan en kunt delen, biedt de website een gigantische hoeveelheid voorbeelden om mee te spelen. Op de startpagina van GeoGebra zie je de rubriek Aanbevolen materiaal en klik je daarachter op Alle dan kom je op een pagina waar je door het complete aanbod kunt bladeren.

Onder de voorbeelden onder Aanbevolen materiaal (verdeeld over verschillende niveaus), vind je een zoekboom waarmee je door verschillende disciplines binnen de wiskunde kunt bladeren. Klik bijvoorbeeld op Algebra. Zoals je ziet, kun je ook daarbinnen weer navigeren, bijvoorbeeld door te klikken op Breuken. Je ziet nu alle openbare bestanden binnen dat thema. We openen Breuken optellen (niveau 3). Dit werkblad is een typisch voorbeeld van een overhoring en daarom kun je het niet aanpassen. Er zijn ook vele werkbladen waar je wel onder de motorkap kunt kijken om meer de leren over de vele mogelijkheden van GeoGebra.

Zelf leren

We hebben maar een fractie van de vele mogelijkheden kunnen bespreken die GeoGebra en zijn verschillende modules te bieden hebben. Klik je vanaf de startpagina op Toon alle achter Initiatiehandleidingen, dan kom je op een pagina met een dertigtal boeken waarmee je zelfs de meest geavanceerde technieken leert om niet alleen berekeningen te maken, maar ook je eigen gebruikersinterfaces te bouwen.

De Europese Commissie claimt dat het socialmediaplatform TikTok te verslavend is, en wil dan ook dat het oneindig kunnen scrollen in de app onmogelijk wordt.

Volgens de Europese Commissie verbreekt TikTok daarmee de Digital Services Act (DSA). Naast oneindig kunnen scrollen worden ook sommige pushnotificaties en autoplay als boosdoeners gezien.

Doomscrollen

De Commissie haalt specifiek oneindig scrollen aan als een gevaarlijk onderdeel van de app. De Commissie meent dat dit gebruikers in een soort trance brengt door dwangmatig gedrag - in feite waar de populaire term 'doomscrollen' op slaat.

De Commissie heeft echter nog geen bindend oordeel uitgebracht. Zo mag ByteDance, het bedrijf achter TikTok, zichzelf eerst verantwoorden. Ook gaat de Commissie eerst advies vragen aan de Europese Raad, om specifiek te zijn een adviesgroep hierbinnen die over digitale diensten gaat. Mocht de Europese Raad het eens zijn met de Commissie, dan moet TikTok in Europa mogelijk onderdelen van het socialmediaplatform aanpassen. Gebeurt dat niet, dan kan ByteDance forse boetes ontvangen.

Social media onder het vergrootglas

Social media - waaronder TikTok - ligt de laatste tijd toch steeds vaker onder een vergrootglas. In Australië bijvoorbeeld is social media sinds enige tijd verboden voor kinderen, en Spanje kondigde eerder deze week aan soortgelijke maatregelen te nemen.

Tegenwoordig brengt zo'n beetje elk gerespecteerd audiomerk soundbars inclusief subwoofers op de markt. Toch slaagt het Duitse Teufel om zich van de massa te onderscheiden. De bijgesloten basspeaker van de nieuwe Cinebar 22 is namelijk verrassend slank. Hierdoor kun je hem makkelijk naast een televisiemeubel of onder een loungebank kwijt. In de soundbar zelf zitten nog eens acht actieve audiodrivers. Dat belooft wat!

Teufel ontwikkelde zijn Cinebar 22 voor een brede doelgroep. Deze soundbar is namelijk een meter lang, zodat hij goed matcht met een middelgrote tot grote televisie. Je kunt de behuizing op een meubel neerzetten of hem aan de wand schroeven. Voor woonkamers met beperkte ruimte is de bijgesloten subwoofer van slechts twaalf centimeter breed ideaal. Heb je naast de televisiemeubel alsnog geen plek, dan schuif je de basspeaker gewoon onder de bank. Je kunt de subwoofer namelijk zowel staand als liggend positioneren. Denk vooraf goed na over de locatie, want je kunt de vier meegeleverde antislipvoetjes maar op één zijde plakken.

©Maikel Dijkhuizen

Soundbar aansluiten

De soundbar heeft een stevige kunststof behuizing met aan de rechterkant een klein dimbaar display. Hierop bekijk je onder meer de actieve bron en het volumeniveau. Verder bevindt zich bovenop een compact bedieningspaneel met touchknoppen. De subwoofer bestaat uit een MDF-klankkast. Beide componenten communiceren draadloos met elkaar. Het aansluiten van de Cinebar 22 stelt weinig voor. Verbind de twee apparaten met netstroom en koppel de soundbar via HDMI aan een televisie. Een klein kritiekpuntje is dat Teufel geen HDMI-kabel meelevert. Gezien de adviesprijs van bijna zeshonderd euro hoort zo'n snoertje er naar onze mening gewoon bij.

Je geeft met een schuifknopje aan de achterkant van de subwoofer aan hoe de basspeaker is opgesteld, namelijk vrijstaand, in een hoek of liggend. Zodra je beide apparaten eenmaal hebt ingeschakeld, kies je op het display de Nederlandse taal. In de volgende stap koppel je de subwoofer aan de soundbar door op de pairing-knop te drukken. Dat gaat erg snel, want luttele seconden later hoor je tv-geluid.

Handig is dat je achterop ook nog verschillende audiovisuele bronnen kunt aansluiten, zoals een cd-speler, gameconsole of tv-ontvanger. Gebruik hiervoor bijvoorbeeld de tweede HDMI-poort, optische ingang of analoge tulpaansluitingen. De Cinebar 22 vervult daarmee min of meer de rol van klassieke receiver. Abonnees van Spotify of een andere online muziekdienst kunnen draadloos naar albums, afspeellijsten en podcasts luisteren. Verbind hiervoor een smartphone of tablet met bluetooth.

©Maikel Dijkhuizen

©Maikel Dijkhuizen

Ruimtelijk geluid

In tegenstelling tot veel andere soundbars is er geen bijbehorende app. Geen punt, want de duidelijke afstandsbediening voldoet prima. De bediening werkt kinderlijk eenvoudig. Kies TV, HDMI, OPT, AUX of bluetooth als bron en leun lekker achterover. Audiopuristen passen met aparte knopjes de niveaus voor de lage en hoge tonen aan. Verder heeft de Cinebar 22 voorgeprogrammeerde modi voor muziek, spraak en nacht. Vanuit het menu zet je uiteenlopende (geavanceerde) audio-instellingen eventueel nog verder naar je hand.

Alles leuk en aardig, maar uiteindelijk draait het natuurlijk om de geluidskwaliteit. Die is kortweg uitstekend. Het is bewonderingswaardig wat een vol geluid deze soundbar/subwoofer-combinatie kan produceren. Dit audiosysteem heeft ook nog eens veel power, want het volume kan behoorlijk luid. Dankzij twee zijwaarts gerichte audiodrivers schieten surroundeffecten van links naar rechts en vice versa. Via een aparte toets op de afstandsbediening kun je deze effecten nog wat versterken.

De subwoofer doet zijn werk naar behoren, want bombastische scènes hoor (en voel) je heerlijk nadreunen. Teufel pronkt op de productdoos weliswaar met ondersteuning voor Dolby Atmos, maar daar merk je in de praktijk eigenlijk niks van. Er ontbreken simpelweg hoogtekanalen om zo'n audiospoor goed te verwerken. Desalniettemin is de Cinebar 22 voor liefhebbers van films, series en games een absolute aanrader.

©Maikel Dijkhuizen

Teufel Cinebar 22 kopen?

De Teufel Cinebar 22 is een aanwinst voor elke kleine tot middelgrote kamer. Je krijgt deze soundbar/subwoofer-combinatie in enkele minuten aan de praat, waarna je luistert naar een vol televisiegeluid met ruimtelijke effecten. Overige pluspunten zijn de duidelijke afstandsbediening en het Nederlandstalige display. Houd wel rekening met een behoorlijke adviesprijs van zo'n zeshonderd euro.

Meer van Teufel ⤵