Er zijn heel wat tools waarmee je (online) rekenwerk kunt verrichten, maar weinige zijn zo veelzijdig als GeoGebra. De naam is een samentrekking van de woorden geometrie en algebra, het is zowel online beschikbaar als via apps voor vrijwel elk platform.

GeoGebra heeft een lange geschiedenis die meer dan twintig jaar teruggaat. Het project werd ooit opgezet om het leren en onderwijzen van met name algebra en meetkunde te vereenvoudigen, maar is vanwege zijn vele gereedschappen ook zeer geschikt om zelf allerlei (reken)problemen mee op te lossen. Bovendien is GeoGebra door de jaren uitgebreid naar nog meer wiskundige vakgebieden, zoals statistiek en analyse.

Korte rondleiding

De thuisbasis van GeoGebra is www.geogebra.org. Als de site niet standaard in het Nederlands verschijnt, kun je onderaan de pagina op de wereldbol klikken. Je kunt dan de gewenste taal selecteren.

Op de site vind je verschillende modules die je los of gecombineerd kunt gebruiken. Zo is er de 3D Rekenmachine voor het maken van 3D-grafieken, de Grafische rekenmachine voor het maken van 2D-grafieken, de Wetenschappelijke rekenmachine voor het maken van (wiskundige) berekeningen en de CAS Rekenmachine voor 2D-grafieken en algebra. De Rekenmachine suite combineert deze modules en voegt daar kansberekening aan toe.

Daarnaast vind je op de hoofdpagina links naar GeoGebra Klassiek, de oorspronkelijke combinatie van meetkunde en algebra, het onderdeel Meetkunde, dat zich specifiek richt op het oplossen van meetkundige vraagstukken en het Notitieblok, waarmee je illustraties kunt maken.

Met het onderdeel Toetsen kunnen docenten examenvragen maken die offline kunnen worden gebruikt en tot slot heb je toegang tot heel veel lesmateriaal en bronnen voor het leren werken met GeoGebra.

Meetkunde

De Griekse wiskundige Euclides leefde zo’n 2300 jaar geleden en is vooral bekend van De Elementen, een serie geschriften waarin hij onder andere in Boek 1 de basisbeginselen van de zogeheten vlakke meetkunde uitwerkt. Hierin bewijst hij vanuit een vijftal vooronderstellingen (axioma’s) allerlei zaken over lijnen, cirkels, driehoeken enzovoort. De manier waarop hij dat deed, staat sindsdien model voor het uitbreiden van kennis door middel van logisch redeneren en daarom vormde De Elementen zo’n 2000 jaar lang (!) verplicht studiemateriaal voor iedereen die een hogere opleiding volgde en is het nog altijd goede kost om de geest te scherpen.

Eén van de te bewijzen stellingen over gelijkzijdige driehoeken in het begin van De Elementen (Propositie 5) werd bekend onder de naam Pons Asinorum, Latijn voor ezelsbrug. Waar dat bij ons een mentaal hulpmiddel betekent, staat het oorspronkelijk juist voor een probleem dat bepaalde of je slim genoeg was om door te gaan.

Constructie

De klassieke meetkunde van Euclides maakt gebruik van constructies met een passer en een liniaal. Die laatste dient alleen voor het tekenen van rechte lijnen en heeft geen maatstrepen. Het zal je verbazen hoeveel Euclides (en zijn navolgers in latere eeuwen) met die eenvoudige gereedschappen kon ontdekken. In het onderdeel Meetkunde van GeoGebra kun je zelf aan de slag met een digitale passer en liniaal.

Objecten

In het venster links zie je onder Basisknoppen een handvol objecten die je kunt maken. Met Punt, Lijnstuk, Lijn en Cirkel bewijst Euclides hoe je bijvoorbeeld een lijnstuk in twee gelijke delen kunt delen. Om zo’n middelpunt in latere constructies niet telkens opnieuw te hoeven maken, kun je dit soort meer geavanceerde objecten in Meetkunde ook in één keer maken. Klik daarvoor op Meer. Behalve Constructies kun je ook andere elementen toevoegen, zoals tekst. Scrol je naar beneden dan kun je nogmaals op Meer klikken voor extra mogelijkheden.

Voorbeeld

Klik op Nieuw punt en klik vervolgens op drie verschillende plekken in het rechterschermdeel. Zoals je ziet, worden de drie punten die je daarmee hebt geplaatst naar goed meetkundig gebruik automatisch van een letter voorzien. Kies nu Lijnstuk onder Basisknoppen en klik op punt A. Klik vervolgens op punt B. A en B zijn nu verbonden. Maak op dezelfde manier de driehoek af.

Klik nu onder Constructies op Midden of middelpunt en klik vervolgens op een willekeurige plek op elk van de drie lijnen. Het programma plaatst nu in elk daarvan een middelpunt en voorziet ook die van een letter.

Kies nu Cirkel met middelpunt onder Basisknoppen. Klik op punt A en punt E om een cirkel te maken met straal AE. Doe hetzelfde voor C en F en voor B en D.

Opmaak

Klik je onder Basisknoppen op Verplaatsen, dan kun je elk van de oorspronkelijke (blauwe) punten verslepen. Daarbij blijven de eigenschappen van je constructie in stand. De cirkel door E met middelpunt A blijft dus door E gaan, ook als je A verplaatst.

Klik je onder Bewerken op Selecteer object, dan kun je lijnen, cirkels en dergelijke selecteren. Klik bijvoorbeeld op één van de cirkels. Er verschijnt nu een pop-upmenu met vier pictogrammen.

De eerste drie geven snel toegang tot Kleuren, Labels en Verwijderen, maar de vierde (de drie puntjes) is het krachtigst. Hiermee krijg je via Instellingen toegang tot álle mogelijkheden, variërend van het kiezen van een vaste kleur tot zeer geavanceerde mogelijkheden, zoals kleuren op basis van berekeningen en het maken van scripts.

Gewapend met deze kennis kun je zelf de meest ingewikkelde constructies maken en meetkundige problemen oplossen.

Tabblad Algebra

Uiterst links is standaard het tabblad Macro’s geselecteerd, waarin je de elementen voor je constructie kunt kiezen, aanpassen en verwijderen. Daarnaast is er het tabblad Algebra. Die naam is op het eerste gezicht wat verwarrend, want wat je er ziet is de geschiedenis van een constructie die je hebt gemaakt. Helemaal onderaan zie je ook een zwart pictogram in de vorm van een klein toetsenbord. Daarmee open je een toetsenbord met meerdere tabs waarmee je berekeningen en allerlei geavanceerde functies aan je constructie kunt toevoegen. Klik daarvoor op de drie puntjes boven het toetsenbord. Je ziet dan een helpfunctie met alle concepten die het programma kent. Klik je op een concept, dan verschijnen links daarvan één of meer commando’s. Klik je daarop, dan wordt of worden deze aan je lijst met constructiestappen toegevoegd.

Instellingen

Rechtsboven in het tekenscherm vinden we achter het tandwielpictogram de nodige nuttige instellingen. Bij traditionele meetkunde worden geen roosters gebruikt, maar bij veel andere varianten wel. Ook zijn assen en roosters handig wanneer je constructietekeningen met bekende afstanden wilt maken. Hier kun je niet alleen assen en roosters inschakelen, maar ook het rooster magnetisch maken, zodat punten die je plaatst altijd exact samenvallen met roosterpunten. Via Instellingen kun je bovendien de eigenschappen van assen en roosters aanpassen.

Ook zie je in het menu Wis spoor. Wanneer je een punt in je constructie selecteert, dan kun je namelijk aangeven dat GeoGebra een spoor moet tekenen wanneer het direct of indirect wordt verplaatst. Dit is de plek om dat spoor weer op te ruimen.

Menu

Linksboven (drie streepjes) vind je het menu van GeoGebra. Hier kun je het eindresultaat van een constructie als afbeelding opslaan of afdrukken. Je kunt je werk ook online opslaan. Daardoor kun je er op een later tijdstip ook vanaf een ander platform verder aan werken en als je het werkstuk openbaar maakt, kunnen andere gebruikers stap voor stap je constructie volgen. Dit is het educatieve aspect van GeoGebra waarop we in de paragraaf 'Educatie' nog terugkomen. Je kunt je werk ook privé opslaan. Om je werk lokaal te kunnen opslaan, moet je eerst een gratis account aanmaken.

Kies je in dit menu Open, dan krijg je niet alleen toegang tot je eigen werk, maar ook de tot het vele materiaal dat anderen gemaakt hebben.

CAS Rekenmachine

We keren terug naar de startpagina van GeoGebra en nemen nu een kijkje bij de CAS Rekenmachine (CAS staat voor Computer Algebra Systeem).

Ditmaal komen we terecht in een scherm dat doet denken aan het scherm van het onderdeel Meetkunde, zoals we dat op het laatst hadden ingericht, dus met assen, een rooster en een toetsenbord voor het invoeren van formules. Wat anders is zijn de tabbladen; hier Algebra en Tabel. In dit onderdeel kunnen we onder andere 2D-grafieken maken.

Voorbeeldgrafiek

Klik op het toetsenbordje op de x en op het pictogram daaronder om een kwadraat te maken. Klik vervolgens op +, op y en nogmaals op het Kwadraat-pictogram. Klik tot slot op = en 1 en toets Enter. Er verschijnt een kleine cirkel met straal 1.

Om de cirkel wat groter te maken, kun je inzoomen met het muiswiel of met het Zoom-pictogram rechtsonder.

Links zie je de formule die je hebt ingevoerd (de impliciete vergelijking voor een cirkel). Klik op de drie puntjes erachter en kies Dupliceer invoer. Klik op de tweede formule en verander beide kwadraten in een 4. Na een druk op Enter wordt de nieuwe grafiek getekend die het midden houdt tussen een vierkant en een cirkel. Klik op deze grafiek en klik op het Kleur-pictogram (verf-emmertje). Klik op rood en vervolgens op een lege plek en je hebt twee verschillend gekleurde grafieken.

Klik nu op het tabblad Tabel. Hierin staat de linkerkolom voor x-waarden en de rechter voor y-waarden. Hier kun je uitsluitend getallen invoeren en dit deel gebruik je om bijvoorbeeld een grafiek van de gemeten gegevens te maken.

Klik je op de drie puntjes in de y-kolom dan kun je via Regressie je meetpunten automatisch verbinden.

Het maken van grafieken vormt slechts een klein deel van de mogelijkheden van de CAS Rekenmachine. Je kunt hier bijvoorbeeld ook afgeleiden en integralen berekenen.

3D

Waar we met (onder andere) de CAS Rekenmachine grafieken in het platte vlak kunnen maken, gaan we met de 3D Rekenmachine de ruimte in. De bediening lijkt op die van de eerder besproken onderdelen.

In CAS kun je 2D-grafieken maken op basis van een functie van x of van parametrische vergelijkingen. Ook kun je werken met impliciete vergelijkingen (zoals wij in ons voorbeeld deden) en kun je naast rechthoekige coördinaten ook werken met poolcoördinaten. De 3D-tegenhanger ondersteunt ook al deze varianten, waarbij je in plaats van poolcoördinaten kunt kiezen voor cilindrische of bolcoördinaten.

3D Voorbeeld

Op basis van het 2D-voorbeeld weet je inmiddels hoe je een formule kunt invoeren. In de 3D Rekenmachine kiezen we voor 4x2+y2+z2=16. Na een druk op de Enter-knop verschijnt de grafiek.

In de 3D Rekenmachine kun je niet alleen grafieken maken op basis van formules. In het tabblad Knoppen vind je namelijk ook allerlei objecten. Om ze allemaal te zien, moet je op Meer klikken. Klik bijvoorbeeld op Piramide, klik vervolgens op vier punten op de x- en y- as (in het grondvlak, bijvoorbeeld (4,0,0), (0,6,0), (-4,0,0) en (0,-6,0)). Klik tot slot op de z-as op het punt (0,0,4) en daar is je piramide.

Ook nu kun je het uiterlijk van alles wat je maakt weer volop naar je hand zetten.

Apps

De web-versies van de verschillende onderdelen van GeoGebra werken uitstekend, maar werk je liever lokaal, dan kan dat ook. Op deze pagina vind je alle modules als download voor Windows. Verschillende zijn ook beschikbaar voor macOS en de oerversie GeoGebra Classic is er bovendien voor Linux.

Alle modules zijn daarnaast beschikbaar voor iOS en Android. Zoek je in de appstore voor een van beide op het trefwoord 'geogebra', dan vind je alle beschikbare producten. 

Educatie

Omdat je het werk dat je maakt met GeoGebra online kunt opslaan en kunt delen, biedt de website een gigantische hoeveelheid voorbeelden om mee te spelen. Op de startpagina van GeoGebra zie je de rubriek Aanbevolen materiaal en klik je daarachter op Alle dan kom je op een pagina waar je door het complete aanbod kunt bladeren.

Onder de voorbeelden onder Aanbevolen materiaal (verdeeld over verschillende niveaus), vind je een zoekboom waarmee je door verschillende disciplines binnen de wiskunde kunt bladeren. Klik bijvoorbeeld op Algebra. Zoals je ziet, kun je ook daarbinnen weer navigeren, bijvoorbeeld door te klikken op Breuken. Je ziet nu alle openbare bestanden binnen dat thema. We openen Breuken optellen (niveau 3). Dit werkblad is een typisch voorbeeld van een overhoring en daarom kun je het niet aanpassen. Er zijn ook vele werkbladen waar je wel onder de motorkap kunt kijken om meer de leren over de vele mogelijkheden van GeoGebra.

Zelf leren

We hebben maar een fractie van de vele mogelijkheden kunnen bespreken die GeoGebra en zijn verschillende modules te bieden hebben. Klik je vanaf de startpagina op Toon alle achter Initiatiehandleidingen, dan kom je op een pagina met een dertigtal boeken waarmee je zelfs de meest geavanceerde technieken leert om niet alleen berekeningen te maken, maar ook je eigen gebruikersinterfaces te bouwen.

Een blender of een keukenmachine maakt geluid, dat is nu eenmaal zo. Er zitten bewegende onderdelen in, en er komt flink wat kracht bij kijken. Maar wat als je blender meer lawaai maakt dan zou moeten? Gelukkig kun je dat vaak zelf oplossen. Hier lees je hoe.

Lees ook: 9 dingen die je óók met je blender kunt maken

Waarom maakt mijn blender lawaai? 

De messen van een blender draaien doorgaans in de rondte met zo'n 20.000 toeren per minuut – bijna tien keer zo veel als de wielen van je auto als je lekker aan het cruisen bent. Geen wonder dus dat daar wat geluid bij komt kijken. 

Oudere blenders maken vaak meer lawaai dan nieuwe, en hoe langer je je blender hebt, des te meer geluid hij gaat maken, omdat de onderdelen verouderd raken. Daar is verder weinig aan te doen, behalve een nieuwe blender kopen. 

Stille blenders

Er zijn steeds meer stille blenders op de markt, al blijven ze natuurlijk altijd geluid maken. Doorgaans geldt dat hoe krachtiger het model, des te hoger de geluidsproductie. Denk dus goed na of je wel de krachtigste blender nodig hebt, of dat je het met een simpeler – en stiller! – model af kan. 

Fabrikanten doen er ook steeds meer aan om het geluid tegen te houden, bijvoorbeeld door een geluidsreductiesysteem en een slimme vorm van de messen en de glazen kan. Nieuwer is niet altijd beter, maar in dit geval vaak wel. 

©HP

Resonantie

Een van de hoofdredenen van een luide blender is de resonantie in de rest van je keuken. Probeer je blender maar eens op te tillen tijdens het blenden: dan hoor je meteen een stuk minder. Dat komt doordat het geluid doordreunt in het keukenblad, of zelfs in de muren waar de blender bij in de buurt staat. 

Zorg er dus voor dat de blender zo vrij mogelijk staat, niet tegen de muur en er ook niet vlakbij. Je kunt ook tijdelijk een handdoek of theedoek onder de blender leggen om het doordreunen te voorkomen, al moet je er wel voor zorgen dat het apparaat waterpas blijft staan. 

Veel blenders en keukenmachines hebben zuignappen, zodat ze wel op hun plek blijven staan, maar niet direct met het aanrechtblad in aanraking komen. Dat scheelt ook weer een slok op een smoothie! 

Conclusie

Je blender maakt nu eenmaal geluid, daar is weinig aan te doen. Je kunt het wel binnen de perken houden door te zorgen dat de blender goed waterpas staat en dat alle onderdelen goed schoon zijn. Zet hem niet tegen of in de buurt van de muur, en zet hem eventueel op een handdoek of theedoek om de ergste trillingen te voorkomen. En anders kun je natuurlijk altijd op zoek gaan naar een nieuwe, stille blender.

Google Maps is een veelgebruikte navigatie-app binnen zowel Android als iOS. Veel mensen zijn inmiddels gewend aan die app en hebben geen behoefte aan alternatieven. Maar als je om je heen kijkt, zijn er genoeg kaarten-apps die de moeite waard zijn.

Google Maps is inmiddels meer dan alleen een app voor het navigeren. Je kunt er eveneens informatie over je omgeving of buurt mee opzoeken, en zodoende leuke plekjes ontdekken. Ook biedt de app informatie over bijvoorbeeld files en de luchtkwaliteit. Daarnaast laten mensen er zelf recensies en foto's op achter, waardoor je nog een beter beeld krijgt van wat er in jouw omgeving gebeurt. En vergeet de Steet View-functie niet om een omgeving elders op de wereld te verkennen.

Maar dit is natuurlijk niet de enige dienst die je op deze manier op je smartphone kunt gebruiken. In dit artikel bieden we vier alternatieven voor Google Maps aan.

1- Here WeGo

De eerste app in dit korte lijstje is Here WeGo. Dit is een gratis te downloaden app, die in de basis hetzelfde doet als Google Maps – maar dan zonder Google. Je hebt toegang tot verschillende soorten navigatieopties, zoals wandelen, met de auto of het ov, en kunt directies opvragen die je van deur tot deur brengt. Daarnaast zijn er allerlei mogelijkheden waarmee je de reis, ongeacht het voertuig, personaliseert. Zo kun je kiezen voor de snelste of de kortste route (het verschil zit hem in snelheid) en of je in realtime omgeleid wil worden wanneer dat nodig is. Zo kan Here WeGo rekening houden met files en eventueel oponthoud. Verder zijn er twee weergavemodi: een zoals in Google Maps en een met een satellietbeeld van de omgeving.

Here WeGo is beschikbaar voor Android en iOS.

🚲Leestip: Ga eropuit! De beste sites en apps voor wandelen en fietsen

2- Apple Maps

We kunnen het ons bijna niet voorstellen dat je dit niet weet als je een iPhone hebt, maar Apple biedt met zijn eigen kaartenapplicatie Apple Maps ook een prima alternatief voor Google Maps aan. Hoewel de software eerder onbruikbaar was, heeft de app de afgelopen jaren flinke sprongen vooruit gemaakt. Had je de app eerder afgeschreven, dan kun je je er nu aan wagen. Net zoals bij andere navigatie-applicaties heb je de keuze uit verschillende reisopties, zoals met de auto, de fiets en bijvoorbeeld een taxi. Apple Maps biedt routenavigatie, locatie delen, plaatskaarten en een interactieve 3D-weergave aan van allerlei omgevingen. Zo krijg je een beter beeld van wat er te beleven valt, of hoe er een stad, dorp of weg vormgegeven is.

Apple Maps is alleen beschikbaar voor iOS.

3- Waze

Mocht je iemand zijn die uit het Google-ecosysteem wil stappen, of minder van Google afhankelijk wil zijn, dan is Waze wellicht niet de beste optie. Google is namelijk eigenaar van deze app. Maar voor andere gebruikers kan dit wel een goed alternatief zijn. Veel van de informatie die Waze presenteert, is namelijk afkomstig vanuit de community. Gebruikers houden andere mensen dus op de hoogte. Daardoor krijg je veel meer updates in realtime over wat er om je heen gebeurt of wanneer je eenmaal de weg op gaat. Ongelukken en dergelijke zijn daardoor geen verrassingen meer. Waze kan bovendien razendsnel andere routes aanbieden, en je kunt van tevoren aangeven dat je bepaalde wegen of gebieden wilt vermijden.

Waze is beschikbaar voor zowel Android als iOS.

4- OsmAnd

OsmAnd is tot slot een navigatieapplicatie die volop gebruikmaakt van opensource-informatie. In dit geval gaat het om de data van OpenStreetMap. Dat is niet het enige dat dit zo'n sterke app maakt. Want OsmAnd legt voornamelijk de nadruk op offline gebruik. Zo kunnen gebruikers niet alleen hun eigen omgeving, maar ook gewoon de kaart van een volledig land offline beschikbaar maken. Dat zal de app dan ook meteen vragen op het moment dat je hem voor het eerst opent. Daardoor kun je niet alleen data besparen, ook heb je gewoon een goede kaart tot je beschikking wanneer je in een gebied bent met slecht internet. Verder is het fijn om te zien dat OsmAnd de basis op orde heeft als het gaat om de interface en navigatieopties. Alle basale functies die je mag verwachten van een kaartenapp zit in OsmAnd, dus je hoeft niets te missen.

OsmAnd is beschikbaar voor zowel Android als iOS.