Er zijn heel wat tools waarmee je (online) rekenwerk kunt verrichten, maar weinige zijn zo veelzijdig als GeoGebra. De naam is een samentrekking van de woorden geometrie en algebra, het is zowel online beschikbaar als via apps voor vrijwel elk platform.

GeoGebra heeft een lange geschiedenis die meer dan twintig jaar teruggaat. Het project werd ooit opgezet om het leren en onderwijzen van met name algebra en meetkunde te vereenvoudigen, maar is vanwege zijn vele gereedschappen ook zeer geschikt om zelf allerlei (reken)problemen mee op te lossen. Bovendien is GeoGebra door de jaren uitgebreid naar nog meer wiskundige vakgebieden, zoals statistiek en analyse.

Korte rondleiding

De thuisbasis van GeoGebra is www.geogebra.org. Als de site niet standaard in het Nederlands verschijnt, kun je onderaan de pagina op de wereldbol klikken. Je kunt dan de gewenste taal selecteren.

Op de site vind je verschillende modules die je los of gecombineerd kunt gebruiken. Zo is er de 3D Rekenmachine voor het maken van 3D-grafieken, de Grafische rekenmachine voor het maken van 2D-grafieken, de Wetenschappelijke rekenmachine voor het maken van (wiskundige) berekeningen en de CAS Rekenmachine voor 2D-grafieken en algebra. De Rekenmachine suite combineert deze modules en voegt daar kansberekening aan toe.

Daarnaast vind je op de hoofdpagina links naar GeoGebra Klassiek, de oorspronkelijke combinatie van meetkunde en algebra, het onderdeel Meetkunde, dat zich specifiek richt op het oplossen van meetkundige vraagstukken en het Notitieblok, waarmee je illustraties kunt maken.

Met het onderdeel Toetsen kunnen docenten examenvragen maken die offline kunnen worden gebruikt en tot slot heb je toegang tot heel veel lesmateriaal en bronnen voor het leren werken met GeoGebra.

Meetkunde

De Griekse wiskundige Euclides leefde zo’n 2300 jaar geleden en is vooral bekend van De Elementen, een serie geschriften waarin hij onder andere in Boek 1 de basisbeginselen van de zogeheten vlakke meetkunde uitwerkt. Hierin bewijst hij vanuit een vijftal vooronderstellingen (axioma’s) allerlei zaken over lijnen, cirkels, driehoeken enzovoort. De manier waarop hij dat deed, staat sindsdien model voor het uitbreiden van kennis door middel van logisch redeneren en daarom vormde De Elementen zo’n 2000 jaar lang (!) verplicht studiemateriaal voor iedereen die een hogere opleiding volgde en is het nog altijd goede kost om de geest te scherpen.

Eén van de te bewijzen stellingen over gelijkzijdige driehoeken in het begin van De Elementen (Propositie 5) werd bekend onder de naam Pons Asinorum, Latijn voor ezelsbrug. Waar dat bij ons een mentaal hulpmiddel betekent, staat het oorspronkelijk juist voor een probleem dat bepaalde of je slim genoeg was om door te gaan.

Constructie

De klassieke meetkunde van Euclides maakt gebruik van constructies met een passer en een liniaal. Die laatste dient alleen voor het tekenen van rechte lijnen en heeft geen maatstrepen. Het zal je verbazen hoeveel Euclides (en zijn navolgers in latere eeuwen) met die eenvoudige gereedschappen kon ontdekken. In het onderdeel Meetkunde van GeoGebra kun je zelf aan de slag met een digitale passer en liniaal.

Objecten

In het venster links zie je onder Basisknoppen een handvol objecten die je kunt maken. Met Punt, Lijnstuk, Lijn en Cirkel bewijst Euclides hoe je bijvoorbeeld een lijnstuk in twee gelijke delen kunt delen. Om zo’n middelpunt in latere constructies niet telkens opnieuw te hoeven maken, kun je dit soort meer geavanceerde objecten in Meetkunde ook in één keer maken. Klik daarvoor op Meer. Behalve Constructies kun je ook andere elementen toevoegen, zoals tekst. Scrol je naar beneden dan kun je nogmaals op Meer klikken voor extra mogelijkheden.

Voorbeeld

Klik op Nieuw punt en klik vervolgens op drie verschillende plekken in het rechterschermdeel. Zoals je ziet, worden de drie punten die je daarmee hebt geplaatst naar goed meetkundig gebruik automatisch van een letter voorzien. Kies nu Lijnstuk onder Basisknoppen en klik op punt A. Klik vervolgens op punt B. A en B zijn nu verbonden. Maak op dezelfde manier de driehoek af.

Klik nu onder Constructies op Midden of middelpunt en klik vervolgens op een willekeurige plek op elk van de drie lijnen. Het programma plaatst nu in elk daarvan een middelpunt en voorziet ook die van een letter.

Kies nu Cirkel met middelpunt onder Basisknoppen. Klik op punt A en punt E om een cirkel te maken met straal AE. Doe hetzelfde voor C en F en voor B en D.

Opmaak

Klik je onder Basisknoppen op Verplaatsen, dan kun je elk van de oorspronkelijke (blauwe) punten verslepen. Daarbij blijven de eigenschappen van je constructie in stand. De cirkel door E met middelpunt A blijft dus door E gaan, ook als je A verplaatst.

Klik je onder Bewerken op Selecteer object, dan kun je lijnen, cirkels en dergelijke selecteren. Klik bijvoorbeeld op één van de cirkels. Er verschijnt nu een pop-upmenu met vier pictogrammen.

De eerste drie geven snel toegang tot Kleuren, Labels en Verwijderen, maar de vierde (de drie puntjes) is het krachtigst. Hiermee krijg je via Instellingen toegang tot álle mogelijkheden, variërend van het kiezen van een vaste kleur tot zeer geavanceerde mogelijkheden, zoals kleuren op basis van berekeningen en het maken van scripts.

Gewapend met deze kennis kun je zelf de meest ingewikkelde constructies maken en meetkundige problemen oplossen.

Tabblad Algebra

Uiterst links is standaard het tabblad Macro’s geselecteerd, waarin je de elementen voor je constructie kunt kiezen, aanpassen en verwijderen. Daarnaast is er het tabblad Algebra. Die naam is op het eerste gezicht wat verwarrend, want wat je er ziet is de geschiedenis van een constructie die je hebt gemaakt. Helemaal onderaan zie je ook een zwart pictogram in de vorm van een klein toetsenbord. Daarmee open je een toetsenbord met meerdere tabs waarmee je berekeningen en allerlei geavanceerde functies aan je constructie kunt toevoegen. Klik daarvoor op de drie puntjes boven het toetsenbord. Je ziet dan een helpfunctie met alle concepten die het programma kent. Klik je op een concept, dan verschijnen links daarvan één of meer commando’s. Klik je daarop, dan wordt of worden deze aan je lijst met constructiestappen toegevoegd.

Instellingen

Rechtsboven in het tekenscherm vinden we achter het tandwielpictogram de nodige nuttige instellingen. Bij traditionele meetkunde worden geen roosters gebruikt, maar bij veel andere varianten wel. Ook zijn assen en roosters handig wanneer je constructietekeningen met bekende afstanden wilt maken. Hier kun je niet alleen assen en roosters inschakelen, maar ook het rooster magnetisch maken, zodat punten die je plaatst altijd exact samenvallen met roosterpunten. Via Instellingen kun je bovendien de eigenschappen van assen en roosters aanpassen.

Ook zie je in het menu Wis spoor. Wanneer je een punt in je constructie selecteert, dan kun je namelijk aangeven dat GeoGebra een spoor moet tekenen wanneer het direct of indirect wordt verplaatst. Dit is de plek om dat spoor weer op te ruimen.

Menu

Linksboven (drie streepjes) vind je het menu van GeoGebra. Hier kun je het eindresultaat van een constructie als afbeelding opslaan of afdrukken. Je kunt je werk ook online opslaan. Daardoor kun je er op een later tijdstip ook vanaf een ander platform verder aan werken en als je het werkstuk openbaar maakt, kunnen andere gebruikers stap voor stap je constructie volgen. Dit is het educatieve aspect van GeoGebra waarop we in de paragraaf 'Educatie' nog terugkomen. Je kunt je werk ook privé opslaan. Om je werk lokaal te kunnen opslaan, moet je eerst een gratis account aanmaken.

Kies je in dit menu Open, dan krijg je niet alleen toegang tot je eigen werk, maar ook de tot het vele materiaal dat anderen gemaakt hebben.

CAS Rekenmachine

We keren terug naar de startpagina van GeoGebra en nemen nu een kijkje bij de CAS Rekenmachine (CAS staat voor Computer Algebra Systeem).

Ditmaal komen we terecht in een scherm dat doet denken aan het scherm van het onderdeel Meetkunde, zoals we dat op het laatst hadden ingericht, dus met assen, een rooster en een toetsenbord voor het invoeren van formules. Wat anders is zijn de tabbladen; hier Algebra en Tabel. In dit onderdeel kunnen we onder andere 2D-grafieken maken.

Voorbeeldgrafiek

Klik op het toetsenbordje op de x en op het pictogram daaronder om een kwadraat te maken. Klik vervolgens op +, op y en nogmaals op het Kwadraat-pictogram. Klik tot slot op = en 1 en toets Enter. Er verschijnt een kleine cirkel met straal 1.

Om de cirkel wat groter te maken, kun je inzoomen met het muiswiel of met het Zoom-pictogram rechtsonder.

Links zie je de formule die je hebt ingevoerd (de impliciete vergelijking voor een cirkel). Klik op de drie puntjes erachter en kies Dupliceer invoer. Klik op de tweede formule en verander beide kwadraten in een 4. Na een druk op Enter wordt de nieuwe grafiek getekend die het midden houdt tussen een vierkant en een cirkel. Klik op deze grafiek en klik op het Kleur-pictogram (verf-emmertje). Klik op rood en vervolgens op een lege plek en je hebt twee verschillend gekleurde grafieken.

Klik nu op het tabblad Tabel. Hierin staat de linkerkolom voor x-waarden en de rechter voor y-waarden. Hier kun je uitsluitend getallen invoeren en dit deel gebruik je om bijvoorbeeld een grafiek van de gemeten gegevens te maken.

Klik je op de drie puntjes in de y-kolom dan kun je via Regressie je meetpunten automatisch verbinden.

Het maken van grafieken vormt slechts een klein deel van de mogelijkheden van de CAS Rekenmachine. Je kunt hier bijvoorbeeld ook afgeleiden en integralen berekenen.

3D

Waar we met (onder andere) de CAS Rekenmachine grafieken in het platte vlak kunnen maken, gaan we met de 3D Rekenmachine de ruimte in. De bediening lijkt op die van de eerder besproken onderdelen.

In CAS kun je 2D-grafieken maken op basis van een functie van x of van parametrische vergelijkingen. Ook kun je werken met impliciete vergelijkingen (zoals wij in ons voorbeeld deden) en kun je naast rechthoekige coördinaten ook werken met poolcoördinaten. De 3D-tegenhanger ondersteunt ook al deze varianten, waarbij je in plaats van poolcoördinaten kunt kiezen voor cilindrische of bolcoördinaten.

3D Voorbeeld

Op basis van het 2D-voorbeeld weet je inmiddels hoe je een formule kunt invoeren. In de 3D Rekenmachine kiezen we voor 4x2+y2+z2=16. Na een druk op de Enter-knop verschijnt de grafiek.

In de 3D Rekenmachine kun je niet alleen grafieken maken op basis van formules. In het tabblad Knoppen vind je namelijk ook allerlei objecten. Om ze allemaal te zien, moet je op Meer klikken. Klik bijvoorbeeld op Piramide, klik vervolgens op vier punten op de x- en y- as (in het grondvlak, bijvoorbeeld (4,0,0), (0,6,0), (-4,0,0) en (0,-6,0)). Klik tot slot op de z-as op het punt (0,0,4) en daar is je piramide.

Ook nu kun je het uiterlijk van alles wat je maakt weer volop naar je hand zetten.

Apps

De web-versies van de verschillende onderdelen van GeoGebra werken uitstekend, maar werk je liever lokaal, dan kan dat ook. Op deze pagina vind je alle modules als download voor Windows. Verschillende zijn ook beschikbaar voor macOS en de oerversie GeoGebra Classic is er bovendien voor Linux.

Alle modules zijn daarnaast beschikbaar voor iOS en Android. Zoek je in de appstore voor een van beide op het trefwoord 'geogebra', dan vind je alle beschikbare producten. 

Educatie

Omdat je het werk dat je maakt met GeoGebra online kunt opslaan en kunt delen, biedt de website een gigantische hoeveelheid voorbeelden om mee te spelen. Op de startpagina van GeoGebra zie je de rubriek Aanbevolen materiaal en klik je daarachter op Alle dan kom je op een pagina waar je door het complete aanbod kunt bladeren.

Onder de voorbeelden onder Aanbevolen materiaal (verdeeld over verschillende niveaus), vind je een zoekboom waarmee je door verschillende disciplines binnen de wiskunde kunt bladeren. Klik bijvoorbeeld op Algebra. Zoals je ziet, kun je ook daarbinnen weer navigeren, bijvoorbeeld door te klikken op Breuken. Je ziet nu alle openbare bestanden binnen dat thema. We openen Breuken optellen (niveau 3). Dit werkblad is een typisch voorbeeld van een overhoring en daarom kun je het niet aanpassen. Er zijn ook vele werkbladen waar je wel onder de motorkap kunt kijken om meer de leren over de vele mogelijkheden van GeoGebra.

Zelf leren

We hebben maar een fractie van de vele mogelijkheden kunnen bespreken die GeoGebra en zijn verschillende modules te bieden hebben. Klik je vanaf de startpagina op Toon alle achter Initiatiehandleidingen, dan kom je op een pagina met een dertigtal boeken waarmee je zelfs de meest geavanceerde technieken leert om niet alleen berekeningen te maken, maar ook je eigen gebruikersinterfaces te bouwen.

Bij ID.nl zijn we gek op producten waar je niet de hoofdprijs voor betaalt of die door gebruikers een hoge waardering krijgen. Op Kieskeurig.nl kunnen kopers van producten een review achterlaten en hiermee aangeven hoe goed (of slecht) ze een product vinden. Wij vonden vijf accuboormachines die door gebruikers zijn gewaardeerd met een 7 of hoger.

Consumentenreviews zijn een van de beste manieren om erachter te komen of een product goed of slecht is. Op Kieskeurig.nl kunnen kopers van producten aangeven wat ze ervan vinden, zodat ze potentiële nieuwe kopers kunnen helpen een aankoopbeslissing te maken. Wij vonden vijf accuboormachines die door kopers op Kieskeurig.nl zijn voorzien van een waardering van minimaal 7 van de 10 punten.

Metabo PowerMaxx BS 

De Metabo PowerMaxx BS is een compacte schroefboormachine met een Li‑ion‑accu. Dit model weegt circa 2,08 kg in de verpakking en is voorzien van een koolborstelloze motor. De machine heeft twee snelheden en werkt op 10,8 volt, waardoor hij geschikt is voor lichte boor- en schroefklussen. Door het ergonomische ontwerp ligt het toestel prettig in de hand en kun je nauwkeurig werken. De set wordt geleverd met oplader, bits en een koffer. Gebruikers waarderen het apparaat met een hoge score (9,8). Door de relatief lage spanning is hij met name bedoeld voor kleinere klussen in huis.

DeWalt DCD777S2T

Deze DeWalt schroefboormachine werkt met een 18 V Li‑ion‑accu en heeft een compacte behuizing. Hij beschikt over twee snelheden en een 13 mm boorkop. Het gewicht in de verpakking is 3,85 kg en de boormachine wordt geleverd met twee accu’s en een oplader. Dankzij de stevige koffer kun je de machine makkelijk meenemen. Het model heeft een reviewscore van 9,0 en is daarmee geschikt voor deze selectie. De brushless motor zorgt voor een langere levensduur en meer kracht per acculading. De machine is van recente bouwjaar en wordt nog steeds verkocht.

Bosch PSB 18 LI‑2 Ergonomic

De Bosch PSB 18 LI‑2 Ergonomic is een klopboormachine voor gebruik met 18 volt. Het apparaat is uitgerust met een brushless motor en wordt geleverd met een Li‑ion‑accu en lader. Dankzij de ergonomische grip ligt het toestel comfortabel in de hand. Het maximale koppel is geschikt voor klussen in hout, metaal en lichte steen. In de verpakking zit een koffer zodat je alles netjes kunt opbergen.

Makita DDF485RFJ

De Makita DDF485RFJ is een 18 V accu‑schroefboormachine met een brushless motor. Het apparaat heeft twee versnellingen en een metalen boorkop van 13 mm. De machine wordt geleverd in een Mbox met twee 3,0 Ah accu’s en lader, zodat je langere tijd achtereen kunt werken. Dankzij de ergonomische handgreep en het gewicht van circa 5 kg inclusief verpakking ligt het toestel stabiel in de hand. De machine behaalt een goede gebruikerswaardering en is geschikt voor zwaardere schroef- en boorklussen.

Makita DF457DWE

De Makita DF457DWE is een accuboormachine die vooral bedoeld is voor huis-, tuin- en keukenklussen. Hij werkt op een 18 V Li‑ion‑accu en wordt geleverd met twee accu’s en een oplader. De machine heeft twee snelheden en een 13 mm boorkop, waardoor je zowel kunt schroeven als boren. Het toestel wordt geleverd in een koffer zodat je het gemakkelijk kunt opbergen. Ondanks dat het model al enkele jaren op de markt is, is deze Makita nog steeds verkrijgbaar bij diverse winkels.

Wil jij een slimme woning waarin alles gewoon werkt? Met de komst van Matter behoort de wirwar aan verschillende apps en protocollen definitief tot het verleden. Deze universele standaard zorgt ervoor dat al je apparaten naadloos met elkaar communiceren. We leggen uit hoe deze techniek jouw slimme huis naar een hoger niveau tilt zonder ingewikkelde installaties.

Je herkent het vast: je koopt een slimme lamp die vervolgens niet samenwerkt met je favoriete app. De nieuwe smarthome-standaard genaamd Matter maakt daar voorgoed een eind aan. In dit artikel leggen we uit wat deze techniek precies inhoudt en waarom het de manier waarop je jouw huis automatiseert fundamenteel verandert. Het draait namelijk allemaal om eenvoud en universele samenwerking tussen apparaten.

Universele taal voor al je apparaten

Matter is in de basis een communicatieprotocol dat ervoor zorgt dat apparaten van verschillende fabrikanten dezelfde taal spreken. Voorheen zat je vaak vast aan een specifiek ecosysteem zoals Apple HomeKit, Google Home of Amazon Alexa. Met de komst van Matter maakt het merk van de hardware niet langer uit voor de app die je gebruikt om alles te bedienen. Het is een softwarematige laag die boven op je bestaande wifi-netwerk of het nieuwe Thread-netwerk draait om verbindingen betrouwbaar en snel te maken. Hierdoor hoef je bij de aanschaf van een nieuwe sensor of schakelaar alleen nog maar te letten op het kenmerkende logo.

©Matter

Waarom Matter, eh, matters...

De grootste winst voor jou als gebruiker zit 'm in de eenvoud van het installatieproces en de betrouwbaarheid van het systeem. Elk product dat over de officiële ondersteuning beschikt, kun je simpelweg scannen met een QR-code, waarna het direct wordt toegevoegd aan je netwerk. Omdat grote techreuzen de handen ineen hebben geslagen, hoef je niet meer bang te zijn dat een nieuwe aankoop onbruikbaar blijkt in je huidige setup. Bovendien werkt Matter lokaal in plaats van via de cloud. Dat heeft als grote voordeel dat je privacy beter gewaarborgd is en dat je lampen ook gewoon aangaan als je internetverbinding er onverhoopt een keer uitligt.

De rol van Thread en lokale snelheid

Hoewel Matter de taal is die gesproken wordt, hebben de apparaten ook een manier nodig om die signalen fysiek te versturen. Veel moderne apparatuur maakt hiervoor gebruik van Thread, een energiezuinig protocol dat een zogenaamd mesh-netwerk vormt. Hierdoor versterken apparaten elkaar en wordt het bereik in je hele woning vergroot zonder dat je extra steunpunten hoeft te plaatsen. De combinatie van deze technieken zorgt voor een razendsnelle reactietijd. Je merkt dit direct in de praktijk omdat de vertraging tussen het indrukken van een knop in je app en de daadwerkelijke actie van het apparaat vrijwel nihil is.

©ER | ID.nl

En de toekomst...?

Hoewel de techniek nog volop in ontwikkeling is, breidt de ondersteuning zich razendsnel uit naar nieuwe productgroepen zoals robotstofzuigers, slimme sloten en zelfs huishoudelijke apparaten. Fabrikanten brengen regelmatig software-updates uit voor oudere apparatuur om deze alsnog compatibel te maken met de nieuwe standaard. Dat zorgt voor een duurzamere benadering van elektronica, omdat je niet direct al je hardware hoeft te vervangen om te profiteren van de nieuwste mogelijkheden. Het bouwen van een slim huis wordt hiermee eindelijk een overzichtelijke ervaring waarbij de techniek volledig in dienst staat van jouw gemak.