Er zijn heel wat tools waarmee je (online) rekenwerk kunt verrichten, maar weinige zijn zo veelzijdig als GeoGebra. De naam is een samentrekking van de woorden geometrie en algebra, het is zowel online beschikbaar als via apps voor vrijwel elk platform.

GeoGebra heeft een lange geschiedenis die meer dan twintig jaar teruggaat. Het project werd ooit opgezet om het leren en onderwijzen van met name algebra en meetkunde te vereenvoudigen, maar is vanwege zijn vele gereedschappen ook zeer geschikt om zelf allerlei (reken)problemen mee op te lossen. Bovendien is GeoGebra door de jaren uitgebreid naar nog meer wiskundige vakgebieden, zoals statistiek en analyse.

Korte rondleiding

De thuisbasis van GeoGebra is www.geogebra.org. Als de site niet standaard in het Nederlands verschijnt, kun je onderaan de pagina op de wereldbol klikken. Je kunt dan de gewenste taal selecteren.

Op de site vind je verschillende modules die je los of gecombineerd kunt gebruiken. Zo is er de 3D Rekenmachine voor het maken van 3D-grafieken, de Grafische rekenmachine voor het maken van 2D-grafieken, de Wetenschappelijke rekenmachine voor het maken van (wiskundige) berekeningen en de CAS Rekenmachine voor 2D-grafieken en algebra. De Rekenmachine suite combineert deze modules en voegt daar kansberekening aan toe.

Daarnaast vind je op de hoofdpagina links naar GeoGebra Klassiek, de oorspronkelijke combinatie van meetkunde en algebra, het onderdeel Meetkunde, dat zich specifiek richt op het oplossen van meetkundige vraagstukken en het Notitieblok, waarmee je illustraties kunt maken.

Met het onderdeel Toetsen kunnen docenten examenvragen maken die offline kunnen worden gebruikt en tot slot heb je toegang tot heel veel lesmateriaal en bronnen voor het leren werken met GeoGebra.

Meetkunde

De Griekse wiskundige Euclides leefde zo’n 2300 jaar geleden en is vooral bekend van De Elementen, een serie geschriften waarin hij onder andere in Boek 1 de basisbeginselen van de zogeheten vlakke meetkunde uitwerkt. Hierin bewijst hij vanuit een vijftal vooronderstellingen (axioma’s) allerlei zaken over lijnen, cirkels, driehoeken enzovoort. De manier waarop hij dat deed, staat sindsdien model voor het uitbreiden van kennis door middel van logisch redeneren en daarom vormde De Elementen zo’n 2000 jaar lang (!) verplicht studiemateriaal voor iedereen die een hogere opleiding volgde en is het nog altijd goede kost om de geest te scherpen.

Eén van de te bewijzen stellingen over gelijkzijdige driehoeken in het begin van De Elementen (Propositie 5) werd bekend onder de naam Pons Asinorum, Latijn voor ezelsbrug. Waar dat bij ons een mentaal hulpmiddel betekent, staat het oorspronkelijk juist voor een probleem dat bepaalde of je slim genoeg was om door te gaan.

Constructie

De klassieke meetkunde van Euclides maakt gebruik van constructies met een passer en een liniaal. Die laatste dient alleen voor het tekenen van rechte lijnen en heeft geen maatstrepen. Het zal je verbazen hoeveel Euclides (en zijn navolgers in latere eeuwen) met die eenvoudige gereedschappen kon ontdekken. In het onderdeel Meetkunde van GeoGebra kun je zelf aan de slag met een digitale passer en liniaal.

Objecten

In het venster links zie je onder Basisknoppen een handvol objecten die je kunt maken. Met Punt, Lijnstuk, Lijn en Cirkel bewijst Euclides hoe je bijvoorbeeld een lijnstuk in twee gelijke delen kunt delen. Om zo’n middelpunt in latere constructies niet telkens opnieuw te hoeven maken, kun je dit soort meer geavanceerde objecten in Meetkunde ook in één keer maken. Klik daarvoor op Meer. Behalve Constructies kun je ook andere elementen toevoegen, zoals tekst. Scrol je naar beneden dan kun je nogmaals op Meer klikken voor extra mogelijkheden.

Voorbeeld

Klik op Nieuw punt en klik vervolgens op drie verschillende plekken in het rechterschermdeel. Zoals je ziet, worden de drie punten die je daarmee hebt geplaatst naar goed meetkundig gebruik automatisch van een letter voorzien. Kies nu Lijnstuk onder Basisknoppen en klik op punt A. Klik vervolgens op punt B. A en B zijn nu verbonden. Maak op dezelfde manier de driehoek af.

Klik nu onder Constructies op Midden of middelpunt en klik vervolgens op een willekeurige plek op elk van de drie lijnen. Het programma plaatst nu in elk daarvan een middelpunt en voorziet ook die van een letter.

Kies nu Cirkel met middelpunt onder Basisknoppen. Klik op punt A en punt E om een cirkel te maken met straal AE. Doe hetzelfde voor C en F en voor B en D.

Opmaak

Klik je onder Basisknoppen op Verplaatsen, dan kun je elk van de oorspronkelijke (blauwe) punten verslepen. Daarbij blijven de eigenschappen van je constructie in stand. De cirkel door E met middelpunt A blijft dus door E gaan, ook als je A verplaatst.

Klik je onder Bewerken op Selecteer object, dan kun je lijnen, cirkels en dergelijke selecteren. Klik bijvoorbeeld op één van de cirkels. Er verschijnt nu een pop-upmenu met vier pictogrammen.

De eerste drie geven snel toegang tot Kleuren, Labels en Verwijderen, maar de vierde (de drie puntjes) is het krachtigst. Hiermee krijg je via Instellingen toegang tot álle mogelijkheden, variërend van het kiezen van een vaste kleur tot zeer geavanceerde mogelijkheden, zoals kleuren op basis van berekeningen en het maken van scripts.

Gewapend met deze kennis kun je zelf de meest ingewikkelde constructies maken en meetkundige problemen oplossen.

Tabblad Algebra

Uiterst links is standaard het tabblad Macro’s geselecteerd, waarin je de elementen voor je constructie kunt kiezen, aanpassen en verwijderen. Daarnaast is er het tabblad Algebra. Die naam is op het eerste gezicht wat verwarrend, want wat je er ziet is de geschiedenis van een constructie die je hebt gemaakt. Helemaal onderaan zie je ook een zwart pictogram in de vorm van een klein toetsenbord. Daarmee open je een toetsenbord met meerdere tabs waarmee je berekeningen en allerlei geavanceerde functies aan je constructie kunt toevoegen. Klik daarvoor op de drie puntjes boven het toetsenbord. Je ziet dan een helpfunctie met alle concepten die het programma kent. Klik je op een concept, dan verschijnen links daarvan één of meer commando’s. Klik je daarop, dan wordt of worden deze aan je lijst met constructiestappen toegevoegd.

Instellingen

Rechtsboven in het tekenscherm vinden we achter het tandwielpictogram de nodige nuttige instellingen. Bij traditionele meetkunde worden geen roosters gebruikt, maar bij veel andere varianten wel. Ook zijn assen en roosters handig wanneer je constructietekeningen met bekende afstanden wilt maken. Hier kun je niet alleen assen en roosters inschakelen, maar ook het rooster magnetisch maken, zodat punten die je plaatst altijd exact samenvallen met roosterpunten. Via Instellingen kun je bovendien de eigenschappen van assen en roosters aanpassen.

Ook zie je in het menu Wis spoor. Wanneer je een punt in je constructie selecteert, dan kun je namelijk aangeven dat GeoGebra een spoor moet tekenen wanneer het direct of indirect wordt verplaatst. Dit is de plek om dat spoor weer op te ruimen.

Menu

Linksboven (drie streepjes) vind je het menu van GeoGebra. Hier kun je het eindresultaat van een constructie als afbeelding opslaan of afdrukken. Je kunt je werk ook online opslaan. Daardoor kun je er op een later tijdstip ook vanaf een ander platform verder aan werken en als je het werkstuk openbaar maakt, kunnen andere gebruikers stap voor stap je constructie volgen. Dit is het educatieve aspect van GeoGebra waarop we in de paragraaf 'Educatie' nog terugkomen. Je kunt je werk ook privé opslaan. Om je werk lokaal te kunnen opslaan, moet je eerst een gratis account aanmaken.

Kies je in dit menu Open, dan krijg je niet alleen toegang tot je eigen werk, maar ook de tot het vele materiaal dat anderen gemaakt hebben.

CAS Rekenmachine

We keren terug naar de startpagina van GeoGebra en nemen nu een kijkje bij de CAS Rekenmachine (CAS staat voor Computer Algebra Systeem).

Ditmaal komen we terecht in een scherm dat doet denken aan het scherm van het onderdeel Meetkunde, zoals we dat op het laatst hadden ingericht, dus met assen, een rooster en een toetsenbord voor het invoeren van formules. Wat anders is zijn de tabbladen; hier Algebra en Tabel. In dit onderdeel kunnen we onder andere 2D-grafieken maken.

Voorbeeldgrafiek

Klik op het toetsenbordje op de x en op het pictogram daaronder om een kwadraat te maken. Klik vervolgens op +, op y en nogmaals op het Kwadraat-pictogram. Klik tot slot op = en 1 en toets Enter. Er verschijnt een kleine cirkel met straal 1.

Om de cirkel wat groter te maken, kun je inzoomen met het muiswiel of met het Zoom-pictogram rechtsonder.

Links zie je de formule die je hebt ingevoerd (de impliciete vergelijking voor een cirkel). Klik op de drie puntjes erachter en kies Dupliceer invoer. Klik op de tweede formule en verander beide kwadraten in een 4. Na een druk op Enter wordt de nieuwe grafiek getekend die het midden houdt tussen een vierkant en een cirkel. Klik op deze grafiek en klik op het Kleur-pictogram (verf-emmertje). Klik op rood en vervolgens op een lege plek en je hebt twee verschillend gekleurde grafieken.

Klik nu op het tabblad Tabel. Hierin staat de linkerkolom voor x-waarden en de rechter voor y-waarden. Hier kun je uitsluitend getallen invoeren en dit deel gebruik je om bijvoorbeeld een grafiek van de gemeten gegevens te maken.

Klik je op de drie puntjes in de y-kolom dan kun je via Regressie je meetpunten automatisch verbinden.

Het maken van grafieken vormt slechts een klein deel van de mogelijkheden van de CAS Rekenmachine. Je kunt hier bijvoorbeeld ook afgeleiden en integralen berekenen.

3D

Waar we met (onder andere) de CAS Rekenmachine grafieken in het platte vlak kunnen maken, gaan we met de 3D Rekenmachine de ruimte in. De bediening lijkt op die van de eerder besproken onderdelen.

In CAS kun je 2D-grafieken maken op basis van een functie van x of van parametrische vergelijkingen. Ook kun je werken met impliciete vergelijkingen (zoals wij in ons voorbeeld deden) en kun je naast rechthoekige coördinaten ook werken met poolcoördinaten. De 3D-tegenhanger ondersteunt ook al deze varianten, waarbij je in plaats van poolcoördinaten kunt kiezen voor cilindrische of bolcoördinaten.

3D Voorbeeld

Op basis van het 2D-voorbeeld weet je inmiddels hoe je een formule kunt invoeren. In de 3D Rekenmachine kiezen we voor 4x2+y2+z2=16. Na een druk op de Enter-knop verschijnt de grafiek.

In de 3D Rekenmachine kun je niet alleen grafieken maken op basis van formules. In het tabblad Knoppen vind je namelijk ook allerlei objecten. Om ze allemaal te zien, moet je op Meer klikken. Klik bijvoorbeeld op Piramide, klik vervolgens op vier punten op de x- en y- as (in het grondvlak, bijvoorbeeld (4,0,0), (0,6,0), (-4,0,0) en (0,-6,0)). Klik tot slot op de z-as op het punt (0,0,4) en daar is je piramide.

Ook nu kun je het uiterlijk van alles wat je maakt weer volop naar je hand zetten.

Apps

De web-versies van de verschillende onderdelen van GeoGebra werken uitstekend, maar werk je liever lokaal, dan kan dat ook. Op deze pagina vind je alle modules als download voor Windows. Verschillende zijn ook beschikbaar voor macOS en de oerversie GeoGebra Classic is er bovendien voor Linux.

Alle modules zijn daarnaast beschikbaar voor iOS en Android. Zoek je in de appstore voor een van beide op het trefwoord 'geogebra', dan vind je alle beschikbare producten. 

Educatie

Omdat je het werk dat je maakt met GeoGebra online kunt opslaan en kunt delen, biedt de website een gigantische hoeveelheid voorbeelden om mee te spelen. Op de startpagina van GeoGebra zie je de rubriek Aanbevolen materiaal en klik je daarachter op Alle dan kom je op een pagina waar je door het complete aanbod kunt bladeren.

Onder de voorbeelden onder Aanbevolen materiaal (verdeeld over verschillende niveaus), vind je een zoekboom waarmee je door verschillende disciplines binnen de wiskunde kunt bladeren. Klik bijvoorbeeld op Algebra. Zoals je ziet, kun je ook daarbinnen weer navigeren, bijvoorbeeld door te klikken op Breuken. Je ziet nu alle openbare bestanden binnen dat thema. We openen Breuken optellen (niveau 3). Dit werkblad is een typisch voorbeeld van een overhoring en daarom kun je het niet aanpassen. Er zijn ook vele werkbladen waar je wel onder de motorkap kunt kijken om meer de leren over de vele mogelijkheden van GeoGebra.

Zelf leren

We hebben maar een fractie van de vele mogelijkheden kunnen bespreken die GeoGebra en zijn verschillende modules te bieden hebben. Klik je vanaf de startpagina op Toon alle achter Initiatiehandleidingen, dan kom je op een pagina met een dertigtal boeken waarmee je zelfs de meest geavanceerde technieken leert om niet alleen berekeningen te maken, maar ook je eigen gebruikersinterfaces te bouwen.

Je klapt je Chromebook open, drukt op de knop en… niets. Het scherm blijft zwart en er brandt geen enkel lampje. Geen paniek! Voordat je naar de winkel rent voor een nieuwe laptop, zijn er een paar simpele trucs die je zelf kunt proberen om hem weer tot leven te wekken. Vaak is het probleem minder ernstig dan het lijkt.

Begin met loskoppelen

Hardware kan soms in de war raken door een aangesloten accessoire dat een storing of kortsluiting veroorzaakt. De eerste stap is daarom simpelweg het loshalen van alles dat aan je Chromebook hangt. Verwijder de oplader, maar haal ook eventuele usb-sticks, muizen, externe harde schijven en dongels eruit. Vergeet hierbij niet om ook eventuele geheugenkaartjes en je koptelefoon te verwijderen. Probeer de Chromebook nu opnieuw aan te zetten. Start hij op? Dan veroorzaakte een van je randapparaten waarschijnlijk het conflict. Sluit ze daarna één voor één weer aan om de boosdoener te vinden.

De geheime toetscombinatie

Dit is de stap die in veel handleidingen ontbreekt, maar het vaakst werkt bij Chromebooks die 'dood' lijken. Je voert hiermee een zogenoemde 'Hard Reset' uit van de hardware-controller. Dit werkt anders dan bij een Windows-laptop. Zorg dat de Chromebook uit staat en houd de Verversen-toets ingedrukt; dit is de toets met het rondje en de pijl, die je meestal boven de cijfertoetsen 3 of 4 vindt. Terwijl je deze vasthoudt, druk je kort op de Aan/Uit-knop. Laat de Verversen-toets pas los zodra de Chromebook teken van leven geeft. Heb je een tablet-model zonder vast toetsenbord? Druk dan de knop voor 'Volume Omhoog' en de Aan/Uit-knop tegelijkertijd in voor minstens tien seconden.

Controleer de stroom en heb geduld

Als de reset niets uithaalt, kan de accu volledig leeg of zelfs 'diep ontladen' zijn. Sluit de originele lader aan en controleer of het led-lampje aan de zijkant gaat branden. Oranje betekent meestal dat hij oplaadt, wit of groen dat hij vol is. Brandt er geen lampje? Probeer dan een ander stopcontact of, als je die hebt, een andere usb-c-lader van bijvoorbeeld een telefoon. Belangrijk is dat je geduld hebt: als een accu extreem leeg is, kan het tot wel dertig minuten duren voordat het apparaat genoeg stroom heeft om zelfs maar een lampje te laten branden. Laat hem dus even rustig aan de lader liggen. Kijk tot slot ook kritisch in de oplaadpoort. Als hier veel stof in zit, maakt de lader geen contact. Blaas dit voorzichtig weg met perslucht of peuter het er heel voorzichtig uit met een plastic tandenstoker. Belangrijk: gebruik hiervoor nooit een paperclip of een ander metalen voorwerpen!

©ID.nl

Is het scherm misschien het probleem?

Soms staat de Chromebook wel aan, maar zie je het simpelweg niet. Het klinkt flauw, maar het kan gebeuren dat de helderheid per ongeluk naar nul is gedraaid. Druk daarom een paar keer op de toets voor hogere helderheid (het grote zonnetje). Hoor je de ventilator wel blazen of zie je lampjes branden, maar blijft het beeld zwart? Sluit de Chromebook dan eens aan op een televisie of monitor via een HDMI-kabel of usb-kabel. Heb je daar wel beeld, dan is helaas je beeldscherm defect.

Tip: Gebruik je een hoesje met magneten of heb je een magnetisch horlogebandje? Houd die weg bij de Chromebook. Soms raakt de sensor in de war en 'denkt' de laptop dat hij dichtgeklapt is, waardoor het scherm zwart blijft.

ChromeOS herstellen

Start de Chromebook wel op, maar krijg je direct de melding 'Chrome OS ontbreekt of is beschadigd'? Dan is de software corrupt geraakt. Je hebt in dat geval een andere computer en een usb-stick van minimaal 8GB nodig. Via Google kun je de Chromebook Recovery Utility downloaden om een herstel-stick te maken. Hiermee installeer je het systeem opnieuw. Houd er wel rekening mee dat je hiermee alle bestanden die lokaal op de harde schijf staan wist.

©ID.nl

Wanneer is een Powerwash nuttig?

Vaak wordt een 'Powerwash' genoemd als oplossing voor problemen, maar dit is eigenlijk alleen relevant als de Chromebook nog wel opstart. Een Powerwash is een fabrieksreset die handig is als het apparaat traag is, vastloopt of softwarefouten vertoont. Krijg je hem met bovenstaande tips weer aan de praat, maar loopt hij daarna direct vast? Dan is zo'n Powerwash wél een goed idee om met een schone lei te beginnen. Doet hij het weer? Check dan direct de gezondheid. Open de app 'Diagnose' (standaard geïnstalleerd op elke Chromebook) om de batterijstatus en het geheugen te testen. Zo zie je meteen of de accu aan vervanging toe is.

Alles geprobeerd?

Heb je de lader gecheckt, de toetscombinaties geprobeerd en het apparaat langdurig aan de stroom gehangen, maar blijft hij niets doen? Dan is waarschijnlijk de accu of het moederbord defect. Valt het apparaat nog binnen de garantie, neem dan contact op met de winkel. Ga niet zelf schroeven, want dan vervalt je recht op garantie. Is het apparaat al wat ouder, dan zijn de reparatiekosten vaak hoger dan de waarde van de laptop en is het waarschijnlijk slimmer om uit te kijken naar een vervanger.

Nieuwe Chromebook kopen? Dit zijn de 5 beste opties van 2025

Acer Chromebook Plus 515: Acer is al jaren heer en meester in de categorie 'gewoon goed' en deze 515-serie bewijst dat opnieuw. Het is met zijn ruime 15,6 inch Full-HD scherm en vlotte processor de ideale laptop voor op de keukentafel. Hij is misschien niet het dunste model op de markt, maar hij is wel ontzettend degelijk en biedt simpelweg de beste specificaties voor een scherpe prijs.

Lenovo IdeaPad Flex 5i Chromebook: Zoek je meer flexibiliteit, dan is deze 'convertible' een uitstekende keuze. Dankzij het slimme scharnier klap je het scherm volledig om tot een tablet of zet je hem in de 'tent-stand' om films te kijken. Lenovo staat bovendien bekend om zijn heerlijke toetsenborden, waardoor je op dit apparaat ook comfortabel langere teksten tikt.

Lenovo IdeaPad Slim 3 Chromebook: Voor wie niet de hoofdprijs wil betalen, is de Slim 3 in december 2025 nog altijd de koning van het budgetsegment. Verwacht geen snelheidsmonster voor zware videobewerking, maar voor Netflix, e-mail en schoolwerk is hij perfect. Het is een lichte 14-inch laptop die, ondanks het lage prijskaartje, toch stevig aanvoelt en een prima accuduur heeft.

Asus Chromebook Plus CX34: Deze laptop ziet er met zijn strakke behuizing niet alleen modern uit, hij kan ook tegen een stootje. Asus test zijn laptops vaak volgens strenge militaire standaarden, wat de CX34 heel betrouwbaar maakt. Daarnaast heeft hij opvallend veel aansluitingen, zodat je zelden met losse verloopstekkertjes of dongels in de weer hoeft.

Acer Chromebook Plus Spin 514: Hoewel het toetsenbord vast zit, kun je het scherm dankzij het 360-graden scharnier volledig omklappen tot een (dikke) tablet. Bovendien is dit een Chromebook Plus: hij is dus gegarandeerd twee keer zo snel als een standaard Chromebook, heeft slimme AI-functies en een betere webcam. Met zijn scherpe 14-inch scherm (met extra werkruimte door de 16:10 verhouding) is dit een razendsnelle alleskunner voor zowel werk als entertainment.

Samsung gaat in 2026 meer televisies met Micro RGB-schermen uitbrengen. Het nieuwe assortiment omvat modellen van 55, 65, 75, 85, 100 en 115 inch. De nieuwe serie introduceert de volgende evolutie van Samsungs Micro RGB-schermtechnologie en zet volgens het bedrijf een nieuwe standaard voor premium kijkervaringen thuis.

"Met de nieuwste technologie van Samsung levert ons Micro RGB-portfolio levendige kleuren en helderheid die bij films, sport en tv-programma's zorgen voor een levensechter en meeslepender beeld", aldus Hun Lee, Executive Vice President van de Visual Display (VD) Business bij Samsung Electronics. "We breiden het assortiment voor 2026 uit met een nieuwe premiumcategorie met voor elke moderne woonruimte een geschikt formaat, terwijl onze hoogste beeldnormen gehandhaafd blijven."

Consumenten willen volgens Samsung steeds vaker televisies met een betere beeldkwaliteit, wat een belangrijke reden is waarom veel kijkers upgraden naar duurdere modellen. Elk Micro RGB-model maakt gebruik van een geavanceerde schermarchitectuur die gericht is op technische precisie en hoogwaardige beeldprestaties, of het nu in een grote woonruimte staat of als premium scherm in een kleinere ruimte dient.

De nieuwe Micro RGB-technologie bouwt voort op het 115-inch model dat eerder in 2025 werd geïntroduceerd. De technologie maakt gebruik van rode, groene en blauwe LED's van minder dan 100 µm die elk onafhankelijk van elkaar licht uitstralen. Deze schermarchitectuur maakt nauwkeurige lichtregeling en verbeterde kleurnauwkeurigheid mogelijk.

Motion enhancer en upscaling

De tv's zijn uitgerust met verbeterde beeldverwerkingstechnologieën zoals 4K AI Upscaling Pro en AI Motion Enhancer Pro, die helderheid verfijnen en bewegingen vloeiender maken. De Micro RGB AI Engine Pro is voorzien van een AI-chipset die per frame nauwkeurigere helderheid en realisme mogelijk maakt. De technologie Micro RGB Precision Color 100 heeft een VDE-certificering en haalt volgens Samsung 100% van het BT.2020-kleurenpalet.

Verder beschikken de modellen over de verbeterde Vision AI Companion, een multi-agent platform dat op een groot taalmodel (LLM) gestuurde intelligentie en natuurlijke gesprekken via Bixby combineert. Dit maakt functies mogelijk zoals gespreksgericht zoeken en interactieve Q&A. Samsungs Glare Free-technologie minimaliseert reflecties voor betere kleuren en contrast in verschillende lichtomstandigheden.

De audiofuncties omvatten Dolby Atmos voor multidimensionaal geluid, Adaptive Sound Pro voor geoptimaliseerde helderheid en Q-Symphony, dat TV-luidsprekers verbindt met compatibele Samsung-apparaten. Alle Samsung-tv's van 2026 zijn ook voorzien van Eclipsa Audio, een nieuw ruimtelijk geluidssysteem voor 3D-audio.

Samsung zal zijn nieuwe Micro RGB-assortiment presenteren op CES 2026, die van 6 tot en met 9 januari plaatsvindt in Las Vegas.