Er zijn heel wat tools waarmee je (online) rekenwerk kunt verrichten, maar weinige zijn zo veelzijdig als GeoGebra. De naam is een samentrekking van de woorden geometrie en algebra, het is zowel online beschikbaar als via apps voor vrijwel elk platform.

GeoGebra heeft een lange geschiedenis die meer dan twintig jaar teruggaat. Het project werd ooit opgezet om het leren en onderwijzen van met name algebra en meetkunde te vereenvoudigen, maar is vanwege zijn vele gereedschappen ook zeer geschikt om zelf allerlei (reken)problemen mee op te lossen. Bovendien is GeoGebra door de jaren uitgebreid naar nog meer wiskundige vakgebieden, zoals statistiek en analyse.

Korte rondleiding

De thuisbasis van GeoGebra is www.geogebra.org. Als de site niet standaard in het Nederlands verschijnt, kun je onderaan de pagina op de wereldbol klikken. Je kunt dan de gewenste taal selecteren.

Op de site vind je verschillende modules die je los of gecombineerd kunt gebruiken. Zo is er de 3D Rekenmachine voor het maken van 3D-grafieken, de Grafische rekenmachine voor het maken van 2D-grafieken, de Wetenschappelijke rekenmachine voor het maken van (wiskundige) berekeningen en de CAS Rekenmachine voor 2D-grafieken en algebra. De Rekenmachine suite combineert deze modules en voegt daar kansberekening aan toe.

Daarnaast vind je op de hoofdpagina links naar GeoGebra Klassiek, de oorspronkelijke combinatie van meetkunde en algebra, het onderdeel Meetkunde, dat zich specifiek richt op het oplossen van meetkundige vraagstukken en het Notitieblok, waarmee je illustraties kunt maken.

Met het onderdeel Toetsen kunnen docenten examenvragen maken die offline kunnen worden gebruikt en tot slot heb je toegang tot heel veel lesmateriaal en bronnen voor het leren werken met GeoGebra.

Vanaf de hoofdpagina kun je kiezen voor allerlei gereedschappen en lesmateriaal.

Meetkunde

De Griekse wiskundige Euclides leefde zo’n 2300 jaar geleden en is vooral bekend van De Elementen, een serie geschriften waarin hij onder andere in Boek 1 de basisbeginselen van de zogeheten vlakke meetkunde uitwerkt. Hierin bewijst hij vanuit een vijftal vooronderstellingen (axioma’s) allerlei zaken over lijnen, cirkels, driehoeken enzovoort. De manier waarop hij dat deed, staat sindsdien model voor het uitbreiden van kennis door middel van logisch redeneren en daarom vormde De Elementen zo’n 2000 jaar lang (!) verplicht studiemateriaal voor iedereen die een hogere opleiding volgde en is het nog altijd goede kost om de geest te scherpen.

Eén van de te bewijzen stellingen over gelijkzijdige driehoeken in het begin van De Elementen (Propositie 5) werd bekend onder de naam Pons Asinorum, Latijn voor ezelsbrug. Waar dat bij ons een mentaal hulpmiddel betekent, staat het oorspronkelijk juist voor een probleem dat bepaalde of je slim genoeg was om door te gaan.

Constructie

De klassieke meetkunde van Euclides maakt gebruik van constructies met een passer en een liniaal. Die laatste dient alleen voor het tekenen van rechte lijnen en heeft geen maatstrepen. Het zal je verbazen hoeveel Euclides (en zijn navolgers in latere eeuwen) met die eenvoudige gereedschappen kon ontdekken. In het onderdeel Meetkunde van GeoGebra kun je zelf aan de slag met een digitale passer en liniaal.

Objecten

In het venster links zie je onder Basisknoppen een handvol objecten die je kunt maken. Met Punt, Lijnstuk, Lijn en Cirkel bewijst Euclides hoe je bijvoorbeeld een lijnstuk in twee gelijke delen kunt delen. Om zo’n middelpunt in latere constructies niet telkens opnieuw te hoeven maken, kun je dit soort meer geavanceerde objecten in Meetkunde ook in één keer maken. Klik daarvoor op Meer. Behalve Constructies kun je ook andere elementen toevoegen, zoals tekst. Scrol je naar beneden dan kun je nogmaals op Meer klikken voor extra mogelijkheden.

In het onderdeel Meetkunde kun je meetkundige constructies maken.

Voorbeeld

Klik op Nieuw punt en klik vervolgens op drie verschillende plekken in het rechterschermdeel. Zoals je ziet, worden de drie punten die je daarmee hebt geplaatst naar goed meetkundig gebruik automatisch van een letter voorzien. Kies nu Lijnstuk onder Basisknoppen en klik op punt A. Klik vervolgens op punt B. A en B zijn nu verbonden. Maak op dezelfde manier de driehoek af.

Klik nu onder Constructies op Midden of middelpunt en klik vervolgens op een willekeurige plek op elk van de drie lijnen. Het programma plaatst nu in elk daarvan een middelpunt en voorziet ook die van een letter.

Kies nu Cirkel met middelpunt onder Basisknoppen. Klik op punt A en punt E om een cirkel te maken met straal AE. Doe hetzelfde voor C en F en voor B en D.

In Meetkunde maak je snel en gemakkelijk meetkundige tekeningen.

Opmaak

Klik je onder Basisknoppen op Verplaatsen, dan kun je elk van de oorspronkelijke (blauwe) punten verslepen. Daarbij blijven de eigenschappen van je constructie in stand. De cirkel door E met middelpunt A blijft dus door E gaan, ook als je A verplaatst.

Klik je onder Bewerken op Selecteer object, dan kun je lijnen, cirkels en dergelijke selecteren. Klik bijvoorbeeld op één van de cirkels. Er verschijnt nu een pop-upmenu met vier pictogrammen.

De eerste drie geven snel toegang tot Kleuren, Labels en Verwijderen, maar de vierde (de drie puntjes) is het krachtigst. Hiermee krijg je via Instellingen toegang tot álle mogelijkheden, variërend van het kiezen van een vaste kleur tot zeer geavanceerde mogelijkheden, zoals kleuren op basis van berekeningen en het maken van scripts.

Gewapend met deze kennis kun je zelf de meest ingewikkelde constructies maken en meetkundige problemen oplossen.

Het uiterlijk van meetkundige constructies kun je helemaal naar je hand zetten.

Tabblad Algebra

Uiterst links is standaard het tabblad Macro’s geselecteerd, waarin je de elementen voor je constructie kunt kiezen, aanpassen en verwijderen. Daarnaast is er het tabblad Algebra. Die naam is op het eerste gezicht wat verwarrend, want wat je er ziet is de geschiedenis van een constructie die je hebt gemaakt. Helemaal onderaan zie je ook een zwart pictogram in de vorm van een klein toetsenbord. Daarmee open je een toetsenbord met meerdere tabs waarmee je berekeningen en allerlei geavanceerde functies aan je constructie kunt toevoegen. Klik daarvoor op de drie puntjes boven het toetsenbord. Je ziet dan een helpfunctie met alle concepten die het programma kent. Klik je op een concept, dan verschijnen links daarvan één of meer commando’s. Klik je daarop, dan wordt of worden deze aan je lijst met constructiestappen toegevoegd.

Het tabblad Algebra toont je constructiegeschiedenis.

Instellingen

Rechtsboven in het tekenscherm vinden we achter het tandwielpictogram de nodige nuttige instellingen. Bij traditionele meetkunde worden geen roosters gebruikt, maar bij veel andere varianten wel. Ook zijn assen en roosters handig wanneer je constructietekeningen met bekende afstanden wilt maken. Hier kun je niet alleen assen en roosters inschakelen, maar ook het rooster magnetisch maken, zodat punten die je plaatst altijd exact samenvallen met roosterpunten. Via Instellingen kun je bovendien de eigenschappen van assen en roosters aanpassen.

Ook zie je in het menu Wis spoor. Wanneer je een punt in je constructie selecteert, dan kun je namelijk aangeven dat GeoGebra een spoor moet tekenen wanneer het direct of indirect wordt verplaatst. Dit is de plek om dat spoor weer op te ruimen.

Je kunt ook werken op een rooster en sporen creëren van bewegende punten.

Menu

Linksboven (drie streepjes) vind je het menu van GeoGebra. Hier kun je het eindresultaat van een constructie als afbeelding opslaan of afdrukken. Je kunt je werk ook online opslaan. Daardoor kun je er op een later tijdstip ook vanaf een ander platform verder aan werken en als je het werkstuk openbaar maakt, kunnen andere gebruikers stap voor stap je constructie volgen. Dit is het educatieve aspect van GeoGebra waarop we in de paragraaf 'Educatie' nog terugkomen. Je kunt je werk ook privé opslaan. Om je werk lokaal te kunnen opslaan, moet je eerst een gratis account aanmaken.

Kies je in dit menu Open, dan krijg je niet alleen toegang tot je eigen werk, maar ook de tot het vele materiaal dat anderen gemaakt hebben.

CAS Rekenmachine

We keren terug naar de startpagina van GeoGebra en nemen nu een kijkje bij de CAS Rekenmachine (CAS staat voor Computer Algebra Systeem).

Ditmaal komen we terecht in een scherm dat doet denken aan het scherm van het onderdeel Meetkunde, zoals we dat op het laatst hadden ingericht, dus met assen, een rooster en een toetsenbord voor het invoeren van formules. Wat anders is zijn de tabbladen; hier Algebra en Tabel. In dit onderdeel kunnen we onder andere 2D-grafieken maken.

Voorbeeldgrafiek

Klik op het toetsenbordje op de x en op het pictogram daaronder om een kwadraat te maken. Klik vervolgens op +, op y en nogmaals op het Kwadraat-pictogram. Klik tot slot op = en 1 en toets Enter. Er verschijnt een kleine cirkel met straal 1.

Om de cirkel wat groter te maken, kun je inzoomen met het muiswiel of met het Zoom-pictogram rechtsonder.

Links zie je de formule die je hebt ingevoerd (de impliciete vergelijking voor een cirkel). Klik op de drie puntjes erachter en kies Dupliceer invoer. Klik op de tweede formule en verander beide kwadraten in een 4. Na een druk op Enter wordt de nieuwe grafiek getekend die het midden houdt tussen een vierkant en een cirkel. Klik op deze grafiek en klik op het Kleur-pictogram (verf-emmertje). Klik op rood en vervolgens op een lege plek en je hebt twee verschillend gekleurde grafieken.

Met de CAS Rekenmachine kun je onder andere 2D-grafieken maken.

Klik nu op het tabblad Tabel. Hierin staat de linkerkolom voor x-waarden en de rechter voor y-waarden. Hier kun je uitsluitend getallen invoeren en dit deel gebruik je om bijvoorbeeld een grafiek van de gemeten gegevens te maken.

Klik je op de drie puntjes in de y-kolom dan kun je via Regressie je meetpunten automatisch verbinden.

Het maken van grafieken vormt slechts een klein deel van de mogelijkheden van de CAS Rekenmachine. Je kunt hier bijvoorbeeld ook afgeleiden en integralen berekenen.

Ook kan de CAS Rekenmachine een grafiek door meetpunten bepalen.

3D

Waar we met (onder andere) de CAS Rekenmachine grafieken in het platte vlak kunnen maken, gaan we met de 3D Rekenmachine de ruimte in. De bediening lijkt op die van de eerder besproken onderdelen.

In CAS kun je 2D-grafieken maken op basis van een functie van x of van parametrische vergelijkingen. Ook kun je werken met impliciete vergelijkingen (zoals wij in ons voorbeeld deden) en kun je naast rechthoekige coördinaten ook werken met poolcoördinaten. De 3D-tegenhanger ondersteunt ook al deze varianten, waarbij je in plaats van poolcoördinaten kunt kiezen voor cilindrische of bolcoördinaten.

3D Voorbeeld

Op basis van het 2D-voorbeeld weet je inmiddels hoe je een formule kunt invoeren. In de 3D Rekenmachine kiezen we voor 4x2+y2+z2=16. Na een druk op de Enter-knop verschijnt de grafiek.

In de 3D Rekenmachine kun je niet alleen grafieken maken op basis van formules. In het tabblad Knoppen vind je namelijk ook allerlei objecten. Om ze allemaal te zien, moet je op Meer klikken. Klik bijvoorbeeld op Piramide, klik vervolgens op vier punten op de x- en y- as (in het grondvlak, bijvoorbeeld (4,0,0), (0,6,0), (-4,0,0) en (0,-6,0)). Klik tot slot op de z-as op het punt (0,0,4) en daar is je piramide.

Ook nu kun je het uiterlijk van alles wat je maakt weer volop naar je hand zetten.

GeoGebra maakt 3D grafieken in vele soorten.

Apps

De web-versies van de verschillende onderdelen van GeoGebra werken uitstekend, maar werk je liever lokaal, dan kan dat ook. Op deze pagina vind je alle modules als download voor Windows. Verschillende zijn ook beschikbaar voor macOS en de oerversie GeoGebra Classic is er bovendien voor Linux.

Alle modules zijn daarnaast beschikbaar voor iOS en Android. Zoek je in de appstore voor een van beide op het trefwoord 'geogebra', dan vind je alle beschikbare producten. 

Educatie

Omdat je het werk dat je maakt met GeoGebra online kunt opslaan en kunt delen, biedt de website een gigantische hoeveelheid voorbeelden om mee te spelen. Op de startpagina van GeoGebra zie je de rubriek Aanbevolen materiaal en klik je daarachter op Alle dan kom je op een pagina waar je door het complete aanbod kunt bladeren.

Onder de voorbeelden onder Aanbevolen materiaal (verdeeld over verschillende niveaus), vind je een zoekboom waarmee je door verschillende disciplines binnen de wiskunde kunt bladeren. Klik bijvoorbeeld op Algebra. Zoals je ziet, kun je ook daarbinnen weer navigeren, bijvoorbeeld door te klikken op Breuken. Je ziet nu alle openbare bestanden binnen dat thema. We openen Breuken optellen (niveau 3). Dit werkblad is een typisch voorbeeld van een overhoring en daarom kun je het niet aanpassen. Er zijn ook vele werkbladen waar je wel onder de motorkap kunt kijken om meer de leren over de vele mogelijkheden van GeoGebra.

Met ruim een miljoen openbare werkbladen ben je wel even zoet.

Zelf leren

We hebben maar een fractie van de vele mogelijkheden kunnen bespreken die GeoGebra en zijn verschillende modules te bieden hebben. Klik je vanaf de startpagina op Toon alle achter Initiatiehandleidingen, dan kom je op een pagina met een dertigtal boeken waarmee je zelfs de meest geavanceerde technieken leert om niet alleen berekeningen te maken, maar ook je eigen gebruikersinterfaces te bouwen.

Tientallen digitale boeken helpen je verder op weg om GeoGebra te ontdekken.

Motorola heeft de edge 60 fusion aangekondigd, een premium smartphone die een elegant ontwerp combineert met geavanceerde AI-functies. Het toestel is het eerste Motorola-model dat standaard is uitgerust met geïntegreerde moto AI-functionaliteit.

De smartphone beschikt over een uniek quad-curve edge display met door Pantone gevalideerde kleuren. Het scherm is beschermd met Corning Gorilla Glass 7i, dat twee keer betere val- en krasbestendigheid biedt dan voorgaande versies. 

Geïntegreerde moto ai

Na een eerder bètaprogramma is de motorola edge 60 fusion het eerste toestel waarbij moto ai direct is geïntegreerd. De smartphone bevat AI-functies zoals Pay Attention (voor het opnemen, noteren en samenvatten van audio), Remember This (om live momenten of informatie vast te leggen) en Magic Canvas (voor het genereren van afbeeldingen op basis van tekstinstructies). 

Innovatief display en robuust ontwerp

Het toestel heeft volgens Motorola 's werelds eerste quad-curve edge display met door Pantone gevalideerde kleuren. Het ontwerp omvat hoogwaardige materialen, waaronder een op leer geïnspireerde coating en canvas-achtige afwerkingen in zorgvuldig samengestelde kleuren.

De motorola edge 60 fusion is niet alleen stijlvol maar ook robuust gebouwd. De telefoon voldoet aan militaire standaarden (MIL-STD 810H) voor duurzaamheid en heeft zowel IP68 als IP69 certificeringen voor waterbescherming. Het toestel kan onderdompeling in zoet water tot 1,5 meter diepte gedurende maximaal 30 minuten weerstaan. Dankzij Water Touch-technologie blijft het touchscreen werken, zelfs als het nat is. 

Camera met Sony-sensor

De hoofdcamera heeft een 50MP Ultra Pixel sensor, gecombineerd met een geavanceerde Sony LYTIA 700C sensor en optische beeldstabilisatie (OIS). Hierdoor maakt de camera ook bij weinig licht goede foto's. De ultrabrede lens met ingebouwde macrovisie biedt een gezichtsveld van 122 graden en kan tot 3 cm inzoomen voor extreme close-ups . 

De 32MP selfiecamera gebruikt Quad Pixel-technologie voor betere prestaties bij minder licht. Een 3-in-1 lichtsensor kalibreert automatisch de lichtgevoeligheid voor optimale belichting en kleur.

Entertainment en batterij

Het 6,67 inch pOLED-scherm heeft een Super HD (1220p) resolutie en een verversingssnelheid van 120Hz. Het display is zowel Pantone als Pantone SkinTone gevalideerd voor een natuurgetrouwe kleurweergave. Voor audio is het toestel uitgerust met Dolby Atmos, twee stereoluidsprekers en een Hi-Res gecertificeerd geluidssysteem.

De motorola edge 60 fusion wordt aangedreven door de MediaTek Dimensity 7300 processor, heeft tot 8GB RAM en tot 256GB opslag. De 5200mAh batterij ondersteunt 68W TurboPower opladen, waarmee gebruikers na slechts 8 minuten opladen een volle dag vooruit kunnen.

De smartphone draait op Android 15 en bevat Moto Secure en ThinkShield voor extra beveiliging, evenals Hello UX voor aanpassingsopties. De motorola edge 60 fusion is vanaf half april verkrijgbaar voor een adviesprijs van 329,99 euro.

Bekijk hier andere Motorola-modellen op Kieskeurig.nl:

Steeds meer mensen kiezen voor een VPN om veilig te internetten. Een kill switch helpt om die veiligheid te garanderen. Je leest er alles over in dit artikel.

Lees ook: Wat is VPN en waarom heb je het nodig?

Je gebruikt een Virtual Private Network (VPN) voor anonimiteit, veilige bestandsoverdracht en/of het omzeilen van geografische blokkades. Hoewel een kill switch optioneel is bij een (VPN), hoort het er eigenlijk wel echt bij: het is een soort extra slot op de deur om die zaken te garanderen.

©Funtap

Zo werkt een VPN kill switch

Een kill switch controleert continu of je VPN nog in gebruik is. Wordt er vastgesteld dat dat niet het geval is? Dan blokkeert een kill switch de verbinding van je internet. Je bent dan dus ook niet meer verbonden. Een goede kill switch zorgt er ook voor dat je automatisch weer verbonden wordt met het internet als de problemen verholpen zijn.

Blokkeren: je complete apparaat of bepaalde toepassingen

Een kill switch gebruiken is helemaal niet moeilijk. Je stelt het allemaal gewoon in via je VPN-applicatie. Daarin bepaal je ook of je pc of laptop volledig van het internet losgekoppeld wordt als de VPN-verbinding wegvalt of dat alleen bepaalde applicaties worden afgesloten. De eerste optie is duidelijk: het apparaat is dan helemaal niet meer verbonden met het internet.

Specifieke applicaties de toegang ontzeggen

In sommige situaties is het niet handig dat je helemaal geen internet meer hebt als de VPN-verbinding wegvalt. Bijvoorbeeld wanneer je in een belangrijk gesprek zit via Zoom of Microsoft Teams. Voor die gevallen kun je een kill switch applicatie-specifiek de verbinding laten verbreken. Je kunt dan bijvoorbeeld wel doorgaan met videobellen of browsen, terwijl je torrent client geen internettoegang meer heeft.

©Ģirts Raģelis

Welke apps laat je wel afsluiten en welke niet?

Sommige online bezigheden brengen meer risico's met zich mee dan andere wanneer het gaat om je privacy of de beveiliging van je persoonlijke informatie. Misschien gebruik je je VPN alleen om een serie op Netflix te kijken die in Nederland niet beschikbaar is. In dat geval wil je niet dat je hele internetverbinding wegvalt als de VPN uitvalt. Maar bij privacygevoelige taken, zoals internetbankieren, het versturen van e-mails, het werken in de cloud of het downloaden van torrents, wil je juist voorkomen dat je zonder VPN online gaat. Je kunt de kill switch dan zo instellen dat alleen je browser, e-mailapp, cloudopslag en torrentclient worden geblokkeerd, terwijl andere apps gewoon verbinding houden.

Voor wie is een VPN kill switch nuttig?

Eigenlijk heeft iedereen die waarde hecht aan privacy baat bij een VPN-provider met kill switch. In Nederland is er sprake van weinig censuur en zijn er amper internetblokkades. Maar alsnog zijn VPN's hier erg populair. Als je torrents downloadt, is het handig om ervoor te zorgen dat je IP-adres beschermd is, want dat downloaden is in veel gevallen illegaal. Gevoelige informatie of belangrijke (werkgerelateerde) documenten kun je beter ook niet zomaar versturen. Met een VPN met kill switch zijn je gegevens en bestanden beter beschermd. Zit je vaak op een open wifi-netwerk? Dan is het zonder meer verstandig om te kiezen voor een VPN met kill switch. Want openbare netwerken hebben een slechte reputatie op het gebied van veiligheid en zijn regelmatig het doelwit van hackers.