Er zijn heel wat tools waarmee je (online) rekenwerk kunt verrichten, maar weinige zijn zo veelzijdig als GeoGebra. De naam is een samentrekking van de woorden geometrie en algebra, het is zowel online beschikbaar als via apps voor vrijwel elk platform.

GeoGebra heeft een lange geschiedenis die meer dan twintig jaar teruggaat. Het project werd ooit opgezet om het leren en onderwijzen van met name algebra en meetkunde te vereenvoudigen, maar is vanwege zijn vele gereedschappen ook zeer geschikt om zelf allerlei (reken)problemen mee op te lossen. Bovendien is GeoGebra door de jaren uitgebreid naar nog meer wiskundige vakgebieden, zoals statistiek en analyse.

Korte rondleiding

De thuisbasis van GeoGebra is www.geogebra.org. Als de site niet standaard in het Nederlands verschijnt, kun je onderaan de pagina op de wereldbol klikken. Je kunt dan de gewenste taal selecteren.

Op de site vind je verschillende modules die je los of gecombineerd kunt gebruiken. Zo is er de 3D Rekenmachine voor het maken van 3D-grafieken, de Grafische rekenmachine voor het maken van 2D-grafieken, de Wetenschappelijke rekenmachine voor het maken van (wiskundige) berekeningen en de CAS Rekenmachine voor 2D-grafieken en algebra. De Rekenmachine suite combineert deze modules en voegt daar kansberekening aan toe.

Daarnaast vind je op de hoofdpagina links naar GeoGebra Klassiek, de oorspronkelijke combinatie van meetkunde en algebra, het onderdeel Meetkunde, dat zich specifiek richt op het oplossen van meetkundige vraagstukken en het Notitieblok, waarmee je illustraties kunt maken.

Met het onderdeel Toetsen kunnen docenten examenvragen maken die offline kunnen worden gebruikt en tot slot heb je toegang tot heel veel lesmateriaal en bronnen voor het leren werken met GeoGebra.

Meetkunde

De Griekse wiskundige Euclides leefde zo’n 2300 jaar geleden en is vooral bekend van De Elementen, een serie geschriften waarin hij onder andere in Boek 1 de basisbeginselen van de zogeheten vlakke meetkunde uitwerkt. Hierin bewijst hij vanuit een vijftal vooronderstellingen (axioma’s) allerlei zaken over lijnen, cirkels, driehoeken enzovoort. De manier waarop hij dat deed, staat sindsdien model voor het uitbreiden van kennis door middel van logisch redeneren en daarom vormde De Elementen zo’n 2000 jaar lang (!) verplicht studiemateriaal voor iedereen die een hogere opleiding volgde en is het nog altijd goede kost om de geest te scherpen.

Eén van de te bewijzen stellingen over gelijkzijdige driehoeken in het begin van De Elementen (Propositie 5) werd bekend onder de naam Pons Asinorum, Latijn voor ezelsbrug. Waar dat bij ons een mentaal hulpmiddel betekent, staat het oorspronkelijk juist voor een probleem dat bepaalde of je slim genoeg was om door te gaan.

Constructie

De klassieke meetkunde van Euclides maakt gebruik van constructies met een passer en een liniaal. Die laatste dient alleen voor het tekenen van rechte lijnen en heeft geen maatstrepen. Het zal je verbazen hoeveel Euclides (en zijn navolgers in latere eeuwen) met die eenvoudige gereedschappen kon ontdekken. In het onderdeel Meetkunde van GeoGebra kun je zelf aan de slag met een digitale passer en liniaal.

Objecten

In het venster links zie je onder Basisknoppen een handvol objecten die je kunt maken. Met Punt, Lijnstuk, Lijn en Cirkel bewijst Euclides hoe je bijvoorbeeld een lijnstuk in twee gelijke delen kunt delen. Om zo’n middelpunt in latere constructies niet telkens opnieuw te hoeven maken, kun je dit soort meer geavanceerde objecten in Meetkunde ook in één keer maken. Klik daarvoor op Meer. Behalve Constructies kun je ook andere elementen toevoegen, zoals tekst. Scrol je naar beneden dan kun je nogmaals op Meer klikken voor extra mogelijkheden.

Voorbeeld

Klik op Nieuw punt en klik vervolgens op drie verschillende plekken in het rechterschermdeel. Zoals je ziet, worden de drie punten die je daarmee hebt geplaatst naar goed meetkundig gebruik automatisch van een letter voorzien. Kies nu Lijnstuk onder Basisknoppen en klik op punt A. Klik vervolgens op punt B. A en B zijn nu verbonden. Maak op dezelfde manier de driehoek af.

Klik nu onder Constructies op Midden of middelpunt en klik vervolgens op een willekeurige plek op elk van de drie lijnen. Het programma plaatst nu in elk daarvan een middelpunt en voorziet ook die van een letter.

Kies nu Cirkel met middelpunt onder Basisknoppen. Klik op punt A en punt E om een cirkel te maken met straal AE. Doe hetzelfde voor C en F en voor B en D.

Opmaak

Klik je onder Basisknoppen op Verplaatsen, dan kun je elk van de oorspronkelijke (blauwe) punten verslepen. Daarbij blijven de eigenschappen van je constructie in stand. De cirkel door E met middelpunt A blijft dus door E gaan, ook als je A verplaatst.

Klik je onder Bewerken op Selecteer object, dan kun je lijnen, cirkels en dergelijke selecteren. Klik bijvoorbeeld op één van de cirkels. Er verschijnt nu een pop-upmenu met vier pictogrammen.

De eerste drie geven snel toegang tot Kleuren, Labels en Verwijderen, maar de vierde (de drie puntjes) is het krachtigst. Hiermee krijg je via Instellingen toegang tot álle mogelijkheden, variërend van het kiezen van een vaste kleur tot zeer geavanceerde mogelijkheden, zoals kleuren op basis van berekeningen en het maken van scripts.

Gewapend met deze kennis kun je zelf de meest ingewikkelde constructies maken en meetkundige problemen oplossen.

Tabblad Algebra

Uiterst links is standaard het tabblad Macro’s geselecteerd, waarin je de elementen voor je constructie kunt kiezen, aanpassen en verwijderen. Daarnaast is er het tabblad Algebra. Die naam is op het eerste gezicht wat verwarrend, want wat je er ziet is de geschiedenis van een constructie die je hebt gemaakt. Helemaal onderaan zie je ook een zwart pictogram in de vorm van een klein toetsenbord. Daarmee open je een toetsenbord met meerdere tabs waarmee je berekeningen en allerlei geavanceerde functies aan je constructie kunt toevoegen. Klik daarvoor op de drie puntjes boven het toetsenbord. Je ziet dan een helpfunctie met alle concepten die het programma kent. Klik je op een concept, dan verschijnen links daarvan één of meer commando’s. Klik je daarop, dan wordt of worden deze aan je lijst met constructiestappen toegevoegd.

Instellingen

Rechtsboven in het tekenscherm vinden we achter het tandwielpictogram de nodige nuttige instellingen. Bij traditionele meetkunde worden geen roosters gebruikt, maar bij veel andere varianten wel. Ook zijn assen en roosters handig wanneer je constructietekeningen met bekende afstanden wilt maken. Hier kun je niet alleen assen en roosters inschakelen, maar ook het rooster magnetisch maken, zodat punten die je plaatst altijd exact samenvallen met roosterpunten. Via Instellingen kun je bovendien de eigenschappen van assen en roosters aanpassen.

Ook zie je in het menu Wis spoor. Wanneer je een punt in je constructie selecteert, dan kun je namelijk aangeven dat GeoGebra een spoor moet tekenen wanneer het direct of indirect wordt verplaatst. Dit is de plek om dat spoor weer op te ruimen.

Menu

Linksboven (drie streepjes) vind je het menu van GeoGebra. Hier kun je het eindresultaat van een constructie als afbeelding opslaan of afdrukken. Je kunt je werk ook online opslaan. Daardoor kun je er op een later tijdstip ook vanaf een ander platform verder aan werken en als je het werkstuk openbaar maakt, kunnen andere gebruikers stap voor stap je constructie volgen. Dit is het educatieve aspect van GeoGebra waarop we in de paragraaf 'Educatie' nog terugkomen. Je kunt je werk ook privé opslaan. Om je werk lokaal te kunnen opslaan, moet je eerst een gratis account aanmaken.

Kies je in dit menu Open, dan krijg je niet alleen toegang tot je eigen werk, maar ook de tot het vele materiaal dat anderen gemaakt hebben.

CAS Rekenmachine

We keren terug naar de startpagina van GeoGebra en nemen nu een kijkje bij de CAS Rekenmachine (CAS staat voor Computer Algebra Systeem).

Ditmaal komen we terecht in een scherm dat doet denken aan het scherm van het onderdeel Meetkunde, zoals we dat op het laatst hadden ingericht, dus met assen, een rooster en een toetsenbord voor het invoeren van formules. Wat anders is zijn de tabbladen; hier Algebra en Tabel. In dit onderdeel kunnen we onder andere 2D-grafieken maken.

Voorbeeldgrafiek

Klik op het toetsenbordje op de x en op het pictogram daaronder om een kwadraat te maken. Klik vervolgens op +, op y en nogmaals op het Kwadraat-pictogram. Klik tot slot op = en 1 en toets Enter. Er verschijnt een kleine cirkel met straal 1.

Om de cirkel wat groter te maken, kun je inzoomen met het muiswiel of met het Zoom-pictogram rechtsonder.

Links zie je de formule die je hebt ingevoerd (de impliciete vergelijking voor een cirkel). Klik op de drie puntjes erachter en kies Dupliceer invoer. Klik op de tweede formule en verander beide kwadraten in een 4. Na een druk op Enter wordt de nieuwe grafiek getekend die het midden houdt tussen een vierkant en een cirkel. Klik op deze grafiek en klik op het Kleur-pictogram (verf-emmertje). Klik op rood en vervolgens op een lege plek en je hebt twee verschillend gekleurde grafieken.

Klik nu op het tabblad Tabel. Hierin staat de linkerkolom voor x-waarden en de rechter voor y-waarden. Hier kun je uitsluitend getallen invoeren en dit deel gebruik je om bijvoorbeeld een grafiek van de gemeten gegevens te maken.

Klik je op de drie puntjes in de y-kolom dan kun je via Regressie je meetpunten automatisch verbinden.

Het maken van grafieken vormt slechts een klein deel van de mogelijkheden van de CAS Rekenmachine. Je kunt hier bijvoorbeeld ook afgeleiden en integralen berekenen.

3D

Waar we met (onder andere) de CAS Rekenmachine grafieken in het platte vlak kunnen maken, gaan we met de 3D Rekenmachine de ruimte in. De bediening lijkt op die van de eerder besproken onderdelen.

In CAS kun je 2D-grafieken maken op basis van een functie van x of van parametrische vergelijkingen. Ook kun je werken met impliciete vergelijkingen (zoals wij in ons voorbeeld deden) en kun je naast rechthoekige coördinaten ook werken met poolcoördinaten. De 3D-tegenhanger ondersteunt ook al deze varianten, waarbij je in plaats van poolcoördinaten kunt kiezen voor cilindrische of bolcoördinaten.

3D Voorbeeld

Op basis van het 2D-voorbeeld weet je inmiddels hoe je een formule kunt invoeren. In de 3D Rekenmachine kiezen we voor 4x2+y2+z2=16. Na een druk op de Enter-knop verschijnt de grafiek.

In de 3D Rekenmachine kun je niet alleen grafieken maken op basis van formules. In het tabblad Knoppen vind je namelijk ook allerlei objecten. Om ze allemaal te zien, moet je op Meer klikken. Klik bijvoorbeeld op Piramide, klik vervolgens op vier punten op de x- en y- as (in het grondvlak, bijvoorbeeld (4,0,0), (0,6,0), (-4,0,0) en (0,-6,0)). Klik tot slot op de z-as op het punt (0,0,4) en daar is je piramide.

Ook nu kun je het uiterlijk van alles wat je maakt weer volop naar je hand zetten.

Apps

De web-versies van de verschillende onderdelen van GeoGebra werken uitstekend, maar werk je liever lokaal, dan kan dat ook. Op deze pagina vind je alle modules als download voor Windows. Verschillende zijn ook beschikbaar voor macOS en de oerversie GeoGebra Classic is er bovendien voor Linux.

Alle modules zijn daarnaast beschikbaar voor iOS en Android. Zoek je in de appstore voor een van beide op het trefwoord 'geogebra', dan vind je alle beschikbare producten. 

Educatie

Omdat je het werk dat je maakt met GeoGebra online kunt opslaan en kunt delen, biedt de website een gigantische hoeveelheid voorbeelden om mee te spelen. Op de startpagina van GeoGebra zie je de rubriek Aanbevolen materiaal en klik je daarachter op Alle dan kom je op een pagina waar je door het complete aanbod kunt bladeren.

Onder de voorbeelden onder Aanbevolen materiaal (verdeeld over verschillende niveaus), vind je een zoekboom waarmee je door verschillende disciplines binnen de wiskunde kunt bladeren. Klik bijvoorbeeld op Algebra. Zoals je ziet, kun je ook daarbinnen weer navigeren, bijvoorbeeld door te klikken op Breuken. Je ziet nu alle openbare bestanden binnen dat thema. We openen Breuken optellen (niveau 3). Dit werkblad is een typisch voorbeeld van een overhoring en daarom kun je het niet aanpassen. Er zijn ook vele werkbladen waar je wel onder de motorkap kunt kijken om meer de leren over de vele mogelijkheden van GeoGebra.

Zelf leren

We hebben maar een fractie van de vele mogelijkheden kunnen bespreken die GeoGebra en zijn verschillende modules te bieden hebben. Klik je vanaf de startpagina op Toon alle achter Initiatiehandleidingen, dan kom je op een pagina met een dertigtal boeken waarmee je zelfs de meest geavanceerde technieken leert om niet alleen berekeningen te maken, maar ook je eigen gebruikersinterfaces te bouwen.

Op ID.nl en op het TikTok-kanaal Power Unlimited Tech zie je geregeld tests van de nieuwste gadgets en apparaten. Daarnaast worden op Review.nl (dat ook bij ons moederbedrijf hoort) allerlei producten getest door gewone consumenten. Alles wat na afloop terugkomt, krijgt een tweede kans bij ons. Correctie: bij júllie. Want de Pu Tech Tweedehands-Vintedstore is nú geopend!

🧪Wat Review.nl precies doet

Review.nl is ons platform waar consumenten nieuwe producten testen. Want die kijken toch anders naar producten dan professionele reviewers. Hoe iets bevalt in de praktijk, in het dagelijks leven, ook bij langer gebruik: dat is wat veel mensen willen weten voordat ze zelf naar de (web)winkel lopen.

Vaak willen deze consumentenreviewers het product dat ze getest hebben overnemen, omdat ze eigenlijk niet meer zonder kunnen. Maar soms komen er ook spullen terug, bijvoorbeeld omdat testers al iets vergelijkbaars hebben. Die producten zijn vaak maar een paar weken gebruikt. Zo goed als nieuw dus – en daarom verdienen ze een tweede leven.

🎯Tweede ronde op Vinted

De beste exemplaren bieden we nu aan via onze nieuwe Vinted-pagina. Daar vind je tweedekans elektronica die er nog prima uitziet, maar niet meer als nieuw verkocht wordt. Denk aan smartwatches, koptelefoons, muizen en toetsenborden. Het aanbod wordt regelmatig aangevuld, dus het loont om af en toe even te kijken.

December is een drukke, bomvolle maand met al die feestdagen. Grote kans dus dat je niet direct denkt aan tuinieren. Toch is het wél belangrijk. Door nu een paar uurtjes te besteden aan blad harken, snoeien en kwetsbare planten beschermen tegen de vorst, kun je volgend voorjaar weer volop van je tuin genieten!

Lees ook: Van januari tot en met december tuinieren: tips voor het hele jaar buiten bezig

Geef de tuin kleur (ook vooral in de winter)

In veel tuinen oogt het nu wat flets en leeg, maar met een paar simpele ingrepen breng je meteen meer leven in het geheel. Een skimmia doet het bijvoorbeeld goed in dit seizoen. Deze groenblijver houdt van een plek met halfschaduw en geeft direct wat kleur aan de tuin. Je kunt ook kiezen voor een winterbloeiende sneeuwbal. Die plant je, net als andere bladverliezende struiken en bomen, gewoon in deze periode. Een wintergroene haag zorgt er ook voor dat je tuin levendiger blijft. Druk de aarde rondom nieuwe aanplant stevig aan. Dat voorkomt dat wortels loskomen door harde wind. En wacht met planten als de grond bevroren is.

Wil je in het voorjaar graag sneeuwklokjes, narcissen, krokussen of blauwe druifjes ziet opkomen, dan heb je nog even de tijd om die te planten: doe dit uiterlijk half december en vóór de vorst. Wil je juist nu nog vrolijke plantjes? Ga dan voor winterharde viooltjes. Die zijn verkrijgbaar in allerlei kleuren. Omdat ze tot het eind van het voorjaar doorbloeien, heb je daar de komende maanden veel plezier aan.

©Evgeniya - stock.adobe.com

Blad van het gazon halen en tussen de planten leggen

De bomen worden nu echt kaal, en dat betekent dat je tuin waarschijnlijk vol ligt met blad. Tijd om weg te halen. Begin met je terras en eventuele paadjes; laat je het blad daar liggen, dan kan het glad worden. Haal ook het blad weg rond rots- en vetplanten: deze planten doen het namelijk beter in een droge omgeving en het blad zorgt ervoor dat de grond vochtig blijft. Gebruik tot slot een bladblazer of een hark om je gazon bladvrij te krijgen. Laat je het blad op het gras liggen, dan krijgt het geen zonlicht meer, waardoor je in het voorjaar daar lelijke of kale plekken krijgt.

Gooi de bladeren niet meteen op de composthoop of in de afvalbak, maar gebruik het om de grond tussen de planten ermee af te dekken: zo bescherm je je planten tegen vorst. Ook zorgen de verterende bladeren ervoor dat er meer voedingsstoffen in de grond komen. Win-win dus voor je planten!

Lees ook: Composteren kun je leren: de beginnersgids voor compost

Bladblazer kopen? Let dan hier op

Een bladblazer kies je op basis van het type aandrijving, de kracht en het gemak tijdens gebruik. Een elektrische blazer met snoer is geschikt voor kleine tuinen. Een accublazer geeft meer bewegingsvrijheid en werkt prettig voor middelgrote tuinen. Voor grote tuinen of zwaar werk, zoals nat blad, werkt een benzinemodel krachtiger. Let daarnaast op blaaskracht en luchtvolume, want dat bepaalt hoe effectief je bladeren wegblaast. Gewicht speelt ook mee: hoe lichter het model, hoe langer je er comfortabel mee kunt werken. Sommige blazers kunnen naast blazen ook zuigen en versnipperen. Verder is het goed om te kijken naar geluidsniveau en onderhoud, omdat benzinemodellen vaker geluid maken en meer verzorging vragen dan elektrische varianten.

Drie bekende merken bladblazers

Einhell

Einhell staat bekend om toegankelijke prijzen en praktische machines voor alledaags tuinonderhoud. Het merk richt zich op gebruikers die een degelijk gereedschap zoeken zonder hoge kosten. De apparaten zijn vaak licht, makkelijk in gebruik en geschikt voor gemiddelde tuinen. Een breed verkrijgbaar model is de Einhell GC-EL 3000 E, een elektrische bladblazer met genoeg vermogen voor standaard tuinklussen.

Black+Decker

Black+Decker heeft een lange geschiedenis in elektrisch gereedschap en tuinmachines. Het merk staat bekend om gebruiksvriendelijke, veelzijdige oplossingen voor huis en tuin. De focus ligt op comfort, eenvoudige bediening en brede beschikbaarheid. Een veelgekozen model is de Black+Decker BEBLV300SB-QS, een elektrisch model dat handig is voor kleinere tuinen en snelle opruimklussen.

Makita

Makita is een Japans merk dat bekendstaat om duurzame bouwkwaliteit, een groot accuplatform en machines die soepel en prettig werken. Vooral de accublazers zijn populair, omdat ze kracht combineren met wendbaarheid. Een veelgekozen model is de Makita DUB185Z, een lichte accublazer die ideaal is voor terrassen, oprijlanen en kleinere tuinen.

Planten tegen vorst beschermen

Wordt er vorst verwacht? Dat is hét moment om je planten te beschermen tegen de kou. Gebruik noppenfolie of vliesdoek en pak daarmee planten in bakken en potten goed in. Kuipplanten die je binnen hebt gezet om te overwinteren, geef je water als de aarde droog is. Haal ook twee keer per maand dor blad bij de kuipplanten weg. Is het weer zacht? Zet dan een raampje of deur open in de ruimte waar je de kuipplanten hebt gezet; zo krijgen ze wat frisse lucht.

Is het een lange periode droog buiten? Geef dan de planten in potten en bloembakken in de tuin ook water. En heb je een buitenkraan? Sluit die dan nu af, zodat je geen vorstschade krijgt.

©Olga Seyfutdinova

(Fruit)bomen snoeien

Tussen december en februari kun je de leilinde weer netjes in vorm te snoeien. In deze rustige wintermaanden reageert de boom het best op een snoeibeurt. Bij druif, berk en esdoorn ligt het anders. Die hebben een andere sapstroom en moet je daarom uiterlijk voor half december snoeien. Doe dat op een dag zonder vorst, zodat de snoeiwonden rustig kunnen sluiten.

Ook kleinfruit kun je nu aanpakken. Haal bij de braam de takken weg die dit jaar vruchten droegen, zodat jonge scheuten alle ruimte krijgen. De zomerframboos snoei je door de jonge scheuten te verwijderen. Bij de herfstframboos knip je de takken die vrucht gedragen hebben juist helemaal tot aan de grond af. Daarmee geef je de struiken een sterke start in het nieuwe seizoen.

Kerst voorbij? Kerstboom de tuin in!

Een kerstboom met kluit kun je eenvoudig een tweede leven geven in de tuin. Vooral kleinere exemplaren slaan goed aan. Fijnspar, Servische spar en fraserspar zijn soorten die herplanten doorgaans goed verdragen. Laat de boom eerst wennen aan koelere temperaturen door hem tijdelijk op een lichte, onverwarmde plek te zetten.

Daarna kan hij in een pot naar buiten, waar hij verder kan herstellen. Pas als de vorst uit de grond is, plant je hem in de volle grond. Kies een zonnige of halfschaduwrijke plek waar de boom de ruimte heeft om te groeien. Volgend jaar kun je hem dan weer binnenhalen als kerstboom. Of je laat hem buiten staan en versiert hem – zo breng je meteen wat kerststemming in de tuin.

©ID.nl