Er zijn heel wat tools waarmee je (online) rekenwerk kunt verrichten, maar weinige zijn zo veelzijdig als GeoGebra. De naam is een samentrekking van de woorden geometrie en algebra, het is zowel online beschikbaar als via apps voor vrijwel elk platform.

GeoGebra heeft een lange geschiedenis die meer dan twintig jaar teruggaat. Het project werd ooit opgezet om het leren en onderwijzen van met name algebra en meetkunde te vereenvoudigen, maar is vanwege zijn vele gereedschappen ook zeer geschikt om zelf allerlei (reken)problemen mee op te lossen. Bovendien is GeoGebra door de jaren uitgebreid naar nog meer wiskundige vakgebieden, zoals statistiek en analyse.

Korte rondleiding

De thuisbasis van GeoGebra is www.geogebra.org. Als de site niet standaard in het Nederlands verschijnt, kun je onderaan de pagina op de wereldbol klikken. Je kunt dan de gewenste taal selecteren.

Op de site vind je verschillende modules die je los of gecombineerd kunt gebruiken. Zo is er de 3D Rekenmachine voor het maken van 3D-grafieken, de Grafische rekenmachine voor het maken van 2D-grafieken, de Wetenschappelijke rekenmachine voor het maken van (wiskundige) berekeningen en de CAS Rekenmachine voor 2D-grafieken en algebra. De Rekenmachine suite combineert deze modules en voegt daar kansberekening aan toe.

Daarnaast vind je op de hoofdpagina links naar GeoGebra Klassiek, de oorspronkelijke combinatie van meetkunde en algebra, het onderdeel Meetkunde, dat zich specifiek richt op het oplossen van meetkundige vraagstukken en het Notitieblok, waarmee je illustraties kunt maken.

Met het onderdeel Toetsen kunnen docenten examenvragen maken die offline kunnen worden gebruikt en tot slot heb je toegang tot heel veel lesmateriaal en bronnen voor het leren werken met GeoGebra.

Meetkunde

De Griekse wiskundige Euclides leefde zo’n 2300 jaar geleden en is vooral bekend van De Elementen, een serie geschriften waarin hij onder andere in Boek 1 de basisbeginselen van de zogeheten vlakke meetkunde uitwerkt. Hierin bewijst hij vanuit een vijftal vooronderstellingen (axioma’s) allerlei zaken over lijnen, cirkels, driehoeken enzovoort. De manier waarop hij dat deed, staat sindsdien model voor het uitbreiden van kennis door middel van logisch redeneren en daarom vormde De Elementen zo’n 2000 jaar lang (!) verplicht studiemateriaal voor iedereen die een hogere opleiding volgde en is het nog altijd goede kost om de geest te scherpen.

Eén van de te bewijzen stellingen over gelijkzijdige driehoeken in het begin van De Elementen (Propositie 5) werd bekend onder de naam Pons Asinorum, Latijn voor ezelsbrug. Waar dat bij ons een mentaal hulpmiddel betekent, staat het oorspronkelijk juist voor een probleem dat bepaalde of je slim genoeg was om door te gaan.

Constructie

De klassieke meetkunde van Euclides maakt gebruik van constructies met een passer en een liniaal. Die laatste dient alleen voor het tekenen van rechte lijnen en heeft geen maatstrepen. Het zal je verbazen hoeveel Euclides (en zijn navolgers in latere eeuwen) met die eenvoudige gereedschappen kon ontdekken. In het onderdeel Meetkunde van GeoGebra kun je zelf aan de slag met een digitale passer en liniaal.

Objecten

In het venster links zie je onder Basisknoppen een handvol objecten die je kunt maken. Met Punt, Lijnstuk, Lijn en Cirkel bewijst Euclides hoe je bijvoorbeeld een lijnstuk in twee gelijke delen kunt delen. Om zo’n middelpunt in latere constructies niet telkens opnieuw te hoeven maken, kun je dit soort meer geavanceerde objecten in Meetkunde ook in één keer maken. Klik daarvoor op Meer. Behalve Constructies kun je ook andere elementen toevoegen, zoals tekst. Scrol je naar beneden dan kun je nogmaals op Meer klikken voor extra mogelijkheden.

Voorbeeld

Klik op Nieuw punt en klik vervolgens op drie verschillende plekken in het rechterschermdeel. Zoals je ziet, worden de drie punten die je daarmee hebt geplaatst naar goed meetkundig gebruik automatisch van een letter voorzien. Kies nu Lijnstuk onder Basisknoppen en klik op punt A. Klik vervolgens op punt B. A en B zijn nu verbonden. Maak op dezelfde manier de driehoek af.

Klik nu onder Constructies op Midden of middelpunt en klik vervolgens op een willekeurige plek op elk van de drie lijnen. Het programma plaatst nu in elk daarvan een middelpunt en voorziet ook die van een letter.

Kies nu Cirkel met middelpunt onder Basisknoppen. Klik op punt A en punt E om een cirkel te maken met straal AE. Doe hetzelfde voor C en F en voor B en D.

Opmaak

Klik je onder Basisknoppen op Verplaatsen, dan kun je elk van de oorspronkelijke (blauwe) punten verslepen. Daarbij blijven de eigenschappen van je constructie in stand. De cirkel door E met middelpunt A blijft dus door E gaan, ook als je A verplaatst.

Klik je onder Bewerken op Selecteer object, dan kun je lijnen, cirkels en dergelijke selecteren. Klik bijvoorbeeld op één van de cirkels. Er verschijnt nu een pop-upmenu met vier pictogrammen.

De eerste drie geven snel toegang tot Kleuren, Labels en Verwijderen, maar de vierde (de drie puntjes) is het krachtigst. Hiermee krijg je via Instellingen toegang tot álle mogelijkheden, variërend van het kiezen van een vaste kleur tot zeer geavanceerde mogelijkheden, zoals kleuren op basis van berekeningen en het maken van scripts.

Gewapend met deze kennis kun je zelf de meest ingewikkelde constructies maken en meetkundige problemen oplossen.

Tabblad Algebra

Uiterst links is standaard het tabblad Macro’s geselecteerd, waarin je de elementen voor je constructie kunt kiezen, aanpassen en verwijderen. Daarnaast is er het tabblad Algebra. Die naam is op het eerste gezicht wat verwarrend, want wat je er ziet is de geschiedenis van een constructie die je hebt gemaakt. Helemaal onderaan zie je ook een zwart pictogram in de vorm van een klein toetsenbord. Daarmee open je een toetsenbord met meerdere tabs waarmee je berekeningen en allerlei geavanceerde functies aan je constructie kunt toevoegen. Klik daarvoor op de drie puntjes boven het toetsenbord. Je ziet dan een helpfunctie met alle concepten die het programma kent. Klik je op een concept, dan verschijnen links daarvan één of meer commando’s. Klik je daarop, dan wordt of worden deze aan je lijst met constructiestappen toegevoegd.

Instellingen

Rechtsboven in het tekenscherm vinden we achter het tandwielpictogram de nodige nuttige instellingen. Bij traditionele meetkunde worden geen roosters gebruikt, maar bij veel andere varianten wel. Ook zijn assen en roosters handig wanneer je constructietekeningen met bekende afstanden wilt maken. Hier kun je niet alleen assen en roosters inschakelen, maar ook het rooster magnetisch maken, zodat punten die je plaatst altijd exact samenvallen met roosterpunten. Via Instellingen kun je bovendien de eigenschappen van assen en roosters aanpassen.

Ook zie je in het menu Wis spoor. Wanneer je een punt in je constructie selecteert, dan kun je namelijk aangeven dat GeoGebra een spoor moet tekenen wanneer het direct of indirect wordt verplaatst. Dit is de plek om dat spoor weer op te ruimen.

Menu

Linksboven (drie streepjes) vind je het menu van GeoGebra. Hier kun je het eindresultaat van een constructie als afbeelding opslaan of afdrukken. Je kunt je werk ook online opslaan. Daardoor kun je er op een later tijdstip ook vanaf een ander platform verder aan werken en als je het werkstuk openbaar maakt, kunnen andere gebruikers stap voor stap je constructie volgen. Dit is het educatieve aspect van GeoGebra waarop we in de paragraaf 'Educatie' nog terugkomen. Je kunt je werk ook privé opslaan. Om je werk lokaal te kunnen opslaan, moet je eerst een gratis account aanmaken.

Kies je in dit menu Open, dan krijg je niet alleen toegang tot je eigen werk, maar ook de tot het vele materiaal dat anderen gemaakt hebben.

CAS Rekenmachine

We keren terug naar de startpagina van GeoGebra en nemen nu een kijkje bij de CAS Rekenmachine (CAS staat voor Computer Algebra Systeem).

Ditmaal komen we terecht in een scherm dat doet denken aan het scherm van het onderdeel Meetkunde, zoals we dat op het laatst hadden ingericht, dus met assen, een rooster en een toetsenbord voor het invoeren van formules. Wat anders is zijn de tabbladen; hier Algebra en Tabel. In dit onderdeel kunnen we onder andere 2D-grafieken maken.

Voorbeeldgrafiek

Klik op het toetsenbordje op de x en op het pictogram daaronder om een kwadraat te maken. Klik vervolgens op +, op y en nogmaals op het Kwadraat-pictogram. Klik tot slot op = en 1 en toets Enter. Er verschijnt een kleine cirkel met straal 1.

Om de cirkel wat groter te maken, kun je inzoomen met het muiswiel of met het Zoom-pictogram rechtsonder.

Links zie je de formule die je hebt ingevoerd (de impliciete vergelijking voor een cirkel). Klik op de drie puntjes erachter en kies Dupliceer invoer. Klik op de tweede formule en verander beide kwadraten in een 4. Na een druk op Enter wordt de nieuwe grafiek getekend die het midden houdt tussen een vierkant en een cirkel. Klik op deze grafiek en klik op het Kleur-pictogram (verf-emmertje). Klik op rood en vervolgens op een lege plek en je hebt twee verschillend gekleurde grafieken.

Klik nu op het tabblad Tabel. Hierin staat de linkerkolom voor x-waarden en de rechter voor y-waarden. Hier kun je uitsluitend getallen invoeren en dit deel gebruik je om bijvoorbeeld een grafiek van de gemeten gegevens te maken.

Klik je op de drie puntjes in de y-kolom dan kun je via Regressie je meetpunten automatisch verbinden.

Het maken van grafieken vormt slechts een klein deel van de mogelijkheden van de CAS Rekenmachine. Je kunt hier bijvoorbeeld ook afgeleiden en integralen berekenen.

3D

Waar we met (onder andere) de CAS Rekenmachine grafieken in het platte vlak kunnen maken, gaan we met de 3D Rekenmachine de ruimte in. De bediening lijkt op die van de eerder besproken onderdelen.

In CAS kun je 2D-grafieken maken op basis van een functie van x of van parametrische vergelijkingen. Ook kun je werken met impliciete vergelijkingen (zoals wij in ons voorbeeld deden) en kun je naast rechthoekige coördinaten ook werken met poolcoördinaten. De 3D-tegenhanger ondersteunt ook al deze varianten, waarbij je in plaats van poolcoördinaten kunt kiezen voor cilindrische of bolcoördinaten.

3D Voorbeeld

Op basis van het 2D-voorbeeld weet je inmiddels hoe je een formule kunt invoeren. In de 3D Rekenmachine kiezen we voor 4x2+y2+z2=16. Na een druk op de Enter-knop verschijnt de grafiek.

In de 3D Rekenmachine kun je niet alleen grafieken maken op basis van formules. In het tabblad Knoppen vind je namelijk ook allerlei objecten. Om ze allemaal te zien, moet je op Meer klikken. Klik bijvoorbeeld op Piramide, klik vervolgens op vier punten op de x- en y- as (in het grondvlak, bijvoorbeeld (4,0,0), (0,6,0), (-4,0,0) en (0,-6,0)). Klik tot slot op de z-as op het punt (0,0,4) en daar is je piramide.

Ook nu kun je het uiterlijk van alles wat je maakt weer volop naar je hand zetten.

Apps

De web-versies van de verschillende onderdelen van GeoGebra werken uitstekend, maar werk je liever lokaal, dan kan dat ook. Op deze pagina vind je alle modules als download voor Windows. Verschillende zijn ook beschikbaar voor macOS en de oerversie GeoGebra Classic is er bovendien voor Linux.

Alle modules zijn daarnaast beschikbaar voor iOS en Android. Zoek je in de appstore voor een van beide op het trefwoord 'geogebra', dan vind je alle beschikbare producten. 

Educatie

Omdat je het werk dat je maakt met GeoGebra online kunt opslaan en kunt delen, biedt de website een gigantische hoeveelheid voorbeelden om mee te spelen. Op de startpagina van GeoGebra zie je de rubriek Aanbevolen materiaal en klik je daarachter op Alle dan kom je op een pagina waar je door het complete aanbod kunt bladeren.

Onder de voorbeelden onder Aanbevolen materiaal (verdeeld over verschillende niveaus), vind je een zoekboom waarmee je door verschillende disciplines binnen de wiskunde kunt bladeren. Klik bijvoorbeeld op Algebra. Zoals je ziet, kun je ook daarbinnen weer navigeren, bijvoorbeeld door te klikken op Breuken. Je ziet nu alle openbare bestanden binnen dat thema. We openen Breuken optellen (niveau 3). Dit werkblad is een typisch voorbeeld van een overhoring en daarom kun je het niet aanpassen. Er zijn ook vele werkbladen waar je wel onder de motorkap kunt kijken om meer de leren over de vele mogelijkheden van GeoGebra.

Zelf leren

We hebben maar een fractie van de vele mogelijkheden kunnen bespreken die GeoGebra en zijn verschillende modules te bieden hebben. Klik je vanaf de startpagina op Toon alle achter Initiatiehandleidingen, dan kom je op een pagina met een dertigtal boeken waarmee je zelfs de meest geavanceerde technieken leert om niet alleen berekeningen te maken, maar ook je eigen gebruikersinterfaces te bouwen.

Bij ID.nl zijn we dol op kwaliteitsproducten waar je niet de hoofdprijs voor betaalt. Een paar keer per week speuren we binnen een bepaald thema naar zulke deals. Zoek je een goede tablet met een lekker groot scherm? We hebben vijf mooie exemplaren voor je gevonden.

Lenovo Tab M11 (ZADA0134SE)

Lenovo bewijst met zijn Tab M11 dat een goede tablet helemaal niet zo veel geld hoeft te kosten. Zo komen diverse onafhankelijke testers op Kieskeurig.nl tot een gemiddelde score van een 9. Vaak benoemde pluspunten zijn onder meer de hoge beeldkwaliteit, de lange accuduur en het goede geluid. Verder vinden gebruikers het prettig dat er al een stylus is inbegrepen. Handig voor wie graag tekeningen of handgeschreven notities maakt. Het lcd-scherm telt 1920 × 1200 pixels. De resolutie is weliswaar wat lager vergeleken met die van duurdere modellen, maar je kunt nog altijd films in Full-HD-kwaliteit streamen. De beelden ogen op het 11inch-scherm dan ook scherp. Ondanks de lage aanschafprijs heeft deze stevige tablet een metalen behuizing.

Voor het opslaan van apps en eigen data bevat de Tab M11 128 GB intern geheugen. Breid dat desgewenst uit met een eigen microSD-kaart van maximaal 1 TB. Het rekencentrum bestaat uit de veelgebruikte MediaTek Helio G88-processor en 4 GB werkgeheugen. Voor basistaken als e-mailen, internetten, webwinkelen en video's streamen is dat ruimschoots voldoende.

Samsung Galaxy Tab S9+ WiFi

Zoek je een krachtige tablet met een groot scherm? De Samsung Galaxy Tab S9+ WiFi heeft amoledscherm van 12,4 inch. Dat is een prettig formaat om bijvoorbeeld de digitale krant te lezen of Netflix-series te bingewatchen. Verder draait de aanwezige Qualcomm Snapdragon 8 Gen 2-processor zijn hand niet om voor zware taken, zoals het spelen van 3D-games of monteren van video's. Deze chipset bevat acht rekenkernen waarvan de snelste cores zijn afgeregeld op een maximale klokfrequentie van 3,36 GHz. In combinatie met 12 GB werkgeheugen kun je vlot op deze tablet werken. Gebruik hiervoor eventueel de bijgesloten drukgevoelige stylus.

Voor beeldbewerkingen komt de respectabele resolutie van 2800 × 1752 pixels goed van pas. Foto's en video's ogen hierop haarscherp. Daarnaast ondersteunt het amoledscherm een vernieuwingsfrequentie van 120 hertz. Je speelt dus snelle games zonder haperingen. De basisuitvoering heeft 256 GB interne opslag. Kies tussen de kleurstellingen grafiet en beige. Je kunt de Galaxy Tab S9+ WiFi ook met 512 GB interne opslag kopen (grafiet/beige). Overigens heeft de waterdichte behuizing een microSD-kaartslot, waardoor je de opslagcapaciteit eenvoudig met maximaal 1 TB kunt uitbreiden.

Xiaomi Pad 6

De Xiaomi Pad 6 is een krachtige tablet die zich richt op zowel entertainment als productiviteit. Het absolute hoogtepunt is het 11-inch WQHD+ scherm met een verversingssnelheid van 144Hz. Dit zorgt voor een aanzienlijk vloeiender beeld. Onder de motorkap vind je een snelle Snapdragon 870-processor, waardoor zware apps en games moeiteloos draaien.

De tablet heeft een luxe, volledig metalen behuizing en vier luidsprekers met Dolby Atmos-ondersteuning voor een ruimtelijk geluid. De accu van 8840 mAh gaat lang mee en laadt snel op (33W). Let wel dat de optionele stylus niet standaard wordt meegeleverd.

Logicom Tab XXL

De naam zegt het al: de Logicom Tab XXL is een grote tablet voor wie graag wat meer ruimte op het scherm heeft. Met het grote 14,1-inch display kijk je comfortabel films en series, lees je makkelijk langere teksten en heb je genoeg overzicht als je meerdere apps tegelijk gebruikt. Hij leent zich goed voor dagelijkse dingen zoals surfen op internet, mailen, videobellen en het gebruiken van bekende Android-apps. Ook voor thuiswerken of studeren is het grote scherm prettig, bijvoorbeeld bij het bekijken van documenten of online vergaderingen.

De camera’s zijn handig voor videogesprekken en snelle foto’s, terwijl wifi en bluetooth het eenvoudig maken om accessoires zoals een koptelefoon of toetsenbord te koppelen. Door de flinke batterij kun je de tablet langere tijd gebruiken zonder steeds naar een oplader te hoeven grijpen. De meegeleverde hoes maakt het geheel net wat praktischer in gebruik, zowel op de bank als aan tafel.

Lenovo Tab P12 (ZACH0112SE)

De Lenovo Tab P12 heeft een schermdiagonaal van 12,7 inch. De resolutie is met 2944 × 1840 pixels eveneens prima op orde, zodat je foto's en video's in een hoge kwaliteit kunt bekijken. Verder heeft de fabrikant ook aan een goed geluid gedacht. De metalen behuizing bevat vier minispeakers van het bekende audiomerk JBL. Een bluetooth-koptelefoon koppelen kan uiteraard ook.

De Tab P12 geschikt voor alledaagse apps, zoals Facebook, YouTube, Chrome en simpele spelletjes. es rekenkernen presteren op 2 GHz, terwijl de twee resterende cores zijn geklokt op 2,6 GHz. Deze tablet heeft daarnaast 8 GB werkgeheugen en 128 GB interne opslag. Overigens breid je de opslagcapaciteit makkelijk uit met een eigen microSD-kaart van maximaal 1 TB. Lenovo levert bij dit product een stylus mee. Benieuwd naar ervaringen van andere gebruikers? Lees dan deze reviews op Kieskeurig.nl.

Philips breidt zijn assortiment heteluchtfriteuses uit met de Airfryer Dual Stacked 4000-serie. Je ziet meteen waar de naam vandaan komt: de twee bakmanden zijn gestapeld (stacked). Hierdoor neemt het apparaat tot 45 procent minder ruimte in op het aanrecht dan traditionele dubbele airfryers, terwijl de totale inhoud met 10 liter gelijk blijft aan grotere modellen.

Philips is niet de eerste die met een verticaal ontwerp komt. Merken als Ninja (met de Double Stack) en Princess hebben al soortgelijke modellen. Het is een duidelijke trend in de keukenmarkt: consumenten willen wel de voordelen van twee mandjes, maar hebben geen zin in een apparaat dat het halve aanrecht in beslag neemt.

De Philips Airfryer Dual Stacked 4000-serie richt zich vooral op huishoudens met kleine(re) keukens. De twee manden hebben elk een capaciteit van 5 liter, zodat je bijvoorbeeld vlees in de ene mand en groenten in de andere kunt bereiden. De synchronisatiefunctie zorgt ervoor dat beide zones op precies hetzelfde moment klaar zijn, ook als de bereidingstijden verschillen.

©Philips

Voor de bereiding leunt Philips op de bekende RapidAir-technologie, waarbij hete lucht met hoge snelheid door de manden circuleert. Volgens de fabrikant zorgt dat voor een gelijkmatige garing met weinig of geen olie. Handig zijn de kijkvensters: je houdt het bakproces in de gaten zonder dat je de laden hoeft te openen. Zo ontsnapt er niet onnodig warme lucht.

Je bedient de airfryer via een digitaal touchscreen met dertien voorgeprogrammeerde instellingen voor bekende gerechten. Wil je meer controle, dan kun je de temperatuur en tijd ook handmatig per mand instellen.

Ook handig: na afloop kunnen de losse onderdelen in de vaatwasser, wat het schoonmaken na het koken makkelijker maakt.

©Philips

Beschikbaarheid

De Philips Airfryer Dual Stacked 4000-serie is per direct verkrijgbaar bij diverse elektronicaspeciaalzaken en online winkels. Het apparaat heeft een adviesprijs van 229,99 euro.