Er zijn heel wat tools waarmee je (online) rekenwerk kunt verrichten, maar weinige zijn zo veelzijdig als GeoGebra. De naam is een samentrekking van de woorden geometrie en algebra, het is zowel online beschikbaar als via apps voor vrijwel elk platform.

GeoGebra heeft een lange geschiedenis die meer dan twintig jaar teruggaat. Het project werd ooit opgezet om het leren en onderwijzen van met name algebra en meetkunde te vereenvoudigen, maar is vanwege zijn vele gereedschappen ook zeer geschikt om zelf allerlei (reken)problemen mee op te lossen. Bovendien is GeoGebra door de jaren uitgebreid naar nog meer wiskundige vakgebieden, zoals statistiek en analyse.

Korte rondleiding

De thuisbasis van GeoGebra is www.geogebra.org. Als de site niet standaard in het Nederlands verschijnt, kun je onderaan de pagina op de wereldbol klikken. Je kunt dan de gewenste taal selecteren.

Op de site vind je verschillende modules die je los of gecombineerd kunt gebruiken. Zo is er de 3D Rekenmachine voor het maken van 3D-grafieken, de Grafische rekenmachine voor het maken van 2D-grafieken, de Wetenschappelijke rekenmachine voor het maken van (wiskundige) berekeningen en de CAS Rekenmachine voor 2D-grafieken en algebra. De Rekenmachine suite combineert deze modules en voegt daar kansberekening aan toe.

Daarnaast vind je op de hoofdpagina links naar GeoGebra Klassiek, de oorspronkelijke combinatie van meetkunde en algebra, het onderdeel Meetkunde, dat zich specifiek richt op het oplossen van meetkundige vraagstukken en het Notitieblok, waarmee je illustraties kunt maken.

Met het onderdeel Toetsen kunnen docenten examenvragen maken die offline kunnen worden gebruikt en tot slot heb je toegang tot heel veel lesmateriaal en bronnen voor het leren werken met GeoGebra.

Meetkunde

De Griekse wiskundige Euclides leefde zo’n 2300 jaar geleden en is vooral bekend van De Elementen, een serie geschriften waarin hij onder andere in Boek 1 de basisbeginselen van de zogeheten vlakke meetkunde uitwerkt. Hierin bewijst hij vanuit een vijftal vooronderstellingen (axioma’s) allerlei zaken over lijnen, cirkels, driehoeken enzovoort. De manier waarop hij dat deed, staat sindsdien model voor het uitbreiden van kennis door middel van logisch redeneren en daarom vormde De Elementen zo’n 2000 jaar lang (!) verplicht studiemateriaal voor iedereen die een hogere opleiding volgde en is het nog altijd goede kost om de geest te scherpen.

Eén van de te bewijzen stellingen over gelijkzijdige driehoeken in het begin van De Elementen (Propositie 5) werd bekend onder de naam Pons Asinorum, Latijn voor ezelsbrug. Waar dat bij ons een mentaal hulpmiddel betekent, staat het oorspronkelijk juist voor een probleem dat bepaalde of je slim genoeg was om door te gaan.

Constructie

De klassieke meetkunde van Euclides maakt gebruik van constructies met een passer en een liniaal. Die laatste dient alleen voor het tekenen van rechte lijnen en heeft geen maatstrepen. Het zal je verbazen hoeveel Euclides (en zijn navolgers in latere eeuwen) met die eenvoudige gereedschappen kon ontdekken. In het onderdeel Meetkunde van GeoGebra kun je zelf aan de slag met een digitale passer en liniaal.

Objecten

In het venster links zie je onder Basisknoppen een handvol objecten die je kunt maken. Met Punt, Lijnstuk, Lijn en Cirkel bewijst Euclides hoe je bijvoorbeeld een lijnstuk in twee gelijke delen kunt delen. Om zo’n middelpunt in latere constructies niet telkens opnieuw te hoeven maken, kun je dit soort meer geavanceerde objecten in Meetkunde ook in één keer maken. Klik daarvoor op Meer. Behalve Constructies kun je ook andere elementen toevoegen, zoals tekst. Scrol je naar beneden dan kun je nogmaals op Meer klikken voor extra mogelijkheden.

Voorbeeld

Klik op Nieuw punt en klik vervolgens op drie verschillende plekken in het rechterschermdeel. Zoals je ziet, worden de drie punten die je daarmee hebt geplaatst naar goed meetkundig gebruik automatisch van een letter voorzien. Kies nu Lijnstuk onder Basisknoppen en klik op punt A. Klik vervolgens op punt B. A en B zijn nu verbonden. Maak op dezelfde manier de driehoek af.

Klik nu onder Constructies op Midden of middelpunt en klik vervolgens op een willekeurige plek op elk van de drie lijnen. Het programma plaatst nu in elk daarvan een middelpunt en voorziet ook die van een letter.

Kies nu Cirkel met middelpunt onder Basisknoppen. Klik op punt A en punt E om een cirkel te maken met straal AE. Doe hetzelfde voor C en F en voor B en D.

Opmaak

Klik je onder Basisknoppen op Verplaatsen, dan kun je elk van de oorspronkelijke (blauwe) punten verslepen. Daarbij blijven de eigenschappen van je constructie in stand. De cirkel door E met middelpunt A blijft dus door E gaan, ook als je A verplaatst.

Klik je onder Bewerken op Selecteer object, dan kun je lijnen, cirkels en dergelijke selecteren. Klik bijvoorbeeld op één van de cirkels. Er verschijnt nu een pop-upmenu met vier pictogrammen.

De eerste drie geven snel toegang tot Kleuren, Labels en Verwijderen, maar de vierde (de drie puntjes) is het krachtigst. Hiermee krijg je via Instellingen toegang tot álle mogelijkheden, variërend van het kiezen van een vaste kleur tot zeer geavanceerde mogelijkheden, zoals kleuren op basis van berekeningen en het maken van scripts.

Gewapend met deze kennis kun je zelf de meest ingewikkelde constructies maken en meetkundige problemen oplossen.

Tabblad Algebra

Uiterst links is standaard het tabblad Macro’s geselecteerd, waarin je de elementen voor je constructie kunt kiezen, aanpassen en verwijderen. Daarnaast is er het tabblad Algebra. Die naam is op het eerste gezicht wat verwarrend, want wat je er ziet is de geschiedenis van een constructie die je hebt gemaakt. Helemaal onderaan zie je ook een zwart pictogram in de vorm van een klein toetsenbord. Daarmee open je een toetsenbord met meerdere tabs waarmee je berekeningen en allerlei geavanceerde functies aan je constructie kunt toevoegen. Klik daarvoor op de drie puntjes boven het toetsenbord. Je ziet dan een helpfunctie met alle concepten die het programma kent. Klik je op een concept, dan verschijnen links daarvan één of meer commando’s. Klik je daarop, dan wordt of worden deze aan je lijst met constructiestappen toegevoegd.

Instellingen

Rechtsboven in het tekenscherm vinden we achter het tandwielpictogram de nodige nuttige instellingen. Bij traditionele meetkunde worden geen roosters gebruikt, maar bij veel andere varianten wel. Ook zijn assen en roosters handig wanneer je constructietekeningen met bekende afstanden wilt maken. Hier kun je niet alleen assen en roosters inschakelen, maar ook het rooster magnetisch maken, zodat punten die je plaatst altijd exact samenvallen met roosterpunten. Via Instellingen kun je bovendien de eigenschappen van assen en roosters aanpassen.

Ook zie je in het menu Wis spoor. Wanneer je een punt in je constructie selecteert, dan kun je namelijk aangeven dat GeoGebra een spoor moet tekenen wanneer het direct of indirect wordt verplaatst. Dit is de plek om dat spoor weer op te ruimen.

Menu

Linksboven (drie streepjes) vind je het menu van GeoGebra. Hier kun je het eindresultaat van een constructie als afbeelding opslaan of afdrukken. Je kunt je werk ook online opslaan. Daardoor kun je er op een later tijdstip ook vanaf een ander platform verder aan werken en als je het werkstuk openbaar maakt, kunnen andere gebruikers stap voor stap je constructie volgen. Dit is het educatieve aspect van GeoGebra waarop we in de paragraaf 'Educatie' nog terugkomen. Je kunt je werk ook privé opslaan. Om je werk lokaal te kunnen opslaan, moet je eerst een gratis account aanmaken.

Kies je in dit menu Open, dan krijg je niet alleen toegang tot je eigen werk, maar ook de tot het vele materiaal dat anderen gemaakt hebben.

CAS Rekenmachine

We keren terug naar de startpagina van GeoGebra en nemen nu een kijkje bij de CAS Rekenmachine (CAS staat voor Computer Algebra Systeem).

Ditmaal komen we terecht in een scherm dat doet denken aan het scherm van het onderdeel Meetkunde, zoals we dat op het laatst hadden ingericht, dus met assen, een rooster en een toetsenbord voor het invoeren van formules. Wat anders is zijn de tabbladen; hier Algebra en Tabel. In dit onderdeel kunnen we onder andere 2D-grafieken maken.

Voorbeeldgrafiek

Klik op het toetsenbordje op de x en op het pictogram daaronder om een kwadraat te maken. Klik vervolgens op +, op y en nogmaals op het Kwadraat-pictogram. Klik tot slot op = en 1 en toets Enter. Er verschijnt een kleine cirkel met straal 1.

Om de cirkel wat groter te maken, kun je inzoomen met het muiswiel of met het Zoom-pictogram rechtsonder.

Links zie je de formule die je hebt ingevoerd (de impliciete vergelijking voor een cirkel). Klik op de drie puntjes erachter en kies Dupliceer invoer. Klik op de tweede formule en verander beide kwadraten in een 4. Na een druk op Enter wordt de nieuwe grafiek getekend die het midden houdt tussen een vierkant en een cirkel. Klik op deze grafiek en klik op het Kleur-pictogram (verf-emmertje). Klik op rood en vervolgens op een lege plek en je hebt twee verschillend gekleurde grafieken.

Klik nu op het tabblad Tabel. Hierin staat de linkerkolom voor x-waarden en de rechter voor y-waarden. Hier kun je uitsluitend getallen invoeren en dit deel gebruik je om bijvoorbeeld een grafiek van de gemeten gegevens te maken.

Klik je op de drie puntjes in de y-kolom dan kun je via Regressie je meetpunten automatisch verbinden.

Het maken van grafieken vormt slechts een klein deel van de mogelijkheden van de CAS Rekenmachine. Je kunt hier bijvoorbeeld ook afgeleiden en integralen berekenen.

3D

Waar we met (onder andere) de CAS Rekenmachine grafieken in het platte vlak kunnen maken, gaan we met de 3D Rekenmachine de ruimte in. De bediening lijkt op die van de eerder besproken onderdelen.

In CAS kun je 2D-grafieken maken op basis van een functie van x of van parametrische vergelijkingen. Ook kun je werken met impliciete vergelijkingen (zoals wij in ons voorbeeld deden) en kun je naast rechthoekige coördinaten ook werken met poolcoördinaten. De 3D-tegenhanger ondersteunt ook al deze varianten, waarbij je in plaats van poolcoördinaten kunt kiezen voor cilindrische of bolcoördinaten.

3D Voorbeeld

Op basis van het 2D-voorbeeld weet je inmiddels hoe je een formule kunt invoeren. In de 3D Rekenmachine kiezen we voor 4x2+y2+z2=16. Na een druk op de Enter-knop verschijnt de grafiek.

In de 3D Rekenmachine kun je niet alleen grafieken maken op basis van formules. In het tabblad Knoppen vind je namelijk ook allerlei objecten. Om ze allemaal te zien, moet je op Meer klikken. Klik bijvoorbeeld op Piramide, klik vervolgens op vier punten op de x- en y- as (in het grondvlak, bijvoorbeeld (4,0,0), (0,6,0), (-4,0,0) en (0,-6,0)). Klik tot slot op de z-as op het punt (0,0,4) en daar is je piramide.

Ook nu kun je het uiterlijk van alles wat je maakt weer volop naar je hand zetten.

Apps

De web-versies van de verschillende onderdelen van GeoGebra werken uitstekend, maar werk je liever lokaal, dan kan dat ook. Op deze pagina vind je alle modules als download voor Windows. Verschillende zijn ook beschikbaar voor macOS en de oerversie GeoGebra Classic is er bovendien voor Linux.

Alle modules zijn daarnaast beschikbaar voor iOS en Android. Zoek je in de appstore voor een van beide op het trefwoord 'geogebra', dan vind je alle beschikbare producten. 

Educatie

Omdat je het werk dat je maakt met GeoGebra online kunt opslaan en kunt delen, biedt de website een gigantische hoeveelheid voorbeelden om mee te spelen. Op de startpagina van GeoGebra zie je de rubriek Aanbevolen materiaal en klik je daarachter op Alle dan kom je op een pagina waar je door het complete aanbod kunt bladeren.

Onder de voorbeelden onder Aanbevolen materiaal (verdeeld over verschillende niveaus), vind je een zoekboom waarmee je door verschillende disciplines binnen de wiskunde kunt bladeren. Klik bijvoorbeeld op Algebra. Zoals je ziet, kun je ook daarbinnen weer navigeren, bijvoorbeeld door te klikken op Breuken. Je ziet nu alle openbare bestanden binnen dat thema. We openen Breuken optellen (niveau 3). Dit werkblad is een typisch voorbeeld van een overhoring en daarom kun je het niet aanpassen. Er zijn ook vele werkbladen waar je wel onder de motorkap kunt kijken om meer de leren over de vele mogelijkheden van GeoGebra.

Zelf leren

We hebben maar een fractie van de vele mogelijkheden kunnen bespreken die GeoGebra en zijn verschillende modules te bieden hebben. Klik je vanaf de startpagina op Toon alle achter Initiatiehandleidingen, dan kom je op een pagina met een dertigtal boeken waarmee je zelfs de meest geavanceerde technieken leert om niet alleen berekeningen te maken, maar ook je eigen gebruikersinterfaces te bouwen.

AOC brengt met de Gaming 25G4KUR een monitor op de markt die volledig is afgestemd op competitieve gamers. Het 24,5-inch scherm haalt een verversingssnelheid tot 420 Hz en biedt snelle reactietijden, Adaptive-Sync en ergonomische instelmogelijkheden.

Supersnel beeld voor competitieve spelers

De AOC Gaming 25G4KUR (adviesprijs 259 euro) is bedoeld voor wie elke milliseconde telt. Dankzij een overklokte verversingssnelheid van 420 Hz (400 Hz standaard) en een responstijd tot 0,3 milliseconde reageert het scherm vrijwel direct op elke actie. Dat maakt hem geschikt voor snelle shooters, esports-toernooien en spelers die vloeiende bewegingen en minimale vertraging willen.

Het 24,5-inch formaat is populair onder professionele esports-spelers, omdat het speelveld overzichtelijk blijft zonder dat de ogen veel hoeven te bewegen. De Full HD-resolutie zorgt ervoor dat hoge framerates haalbaar zijn, zelfs met een middenklasse grafische kaart.

©AGON by AOC

Heldere kleuren en vloeiende beelden

De 25G4KUR gebruikt een Fast IPS-paneel met brede kijkhoeken en een kleurdekking van 121 procent sRGB. Het scherm is compatibel met NVIDIA G-SYNC. Adaptive-Sync, zorgt ervoor dat beelden vloeiend blijven zonder haperingen of tearing. DisplayHDR 400 biedt bovendien een iets hoger contrast en betere helderheid dan standaard SDR-monitoren.

Ontworpen voor urenlang gamen

AOC rust de monitor uit met functies die lange gamesessies comfortabeler moeten maken. De flicker-free achtergrondverlichting en blauwlichtreductie verminderen vermoeide ogen, terwijl de ergonomische standaard in hoogte verstelbaar is en kantel-, draai- en rotatiefuncties heeft. Via AOC's G-Menu-software kunnen spelers profielen aanmaken, instellingen aanpassen en de Low Input Lag-modus activeren.

Black Friday, Sinterklaas en kerst: juist nu zoeken we online massaal naar cadeaus en goede deals. Criminelen liften daarop mee. Door de snelle ontwikkeling van AI lijken nepwebwinkels, bezorgingsmails en misleidende aanbiedingen overtuigender dan ooit. Dit kun je doen om veilig te blijven.

Partnerbijdrage - in samenwerking met Bitdefender

Hoe criminelen inspelen op het feestdagenseizoen

In deze weken draait veel om gemak en tempo. Dat geeft cybercriminelen speelruimte. Ze bouwen webshops die nauwelijks te onderscheiden zijn van echte winkelketens en sturen meldingen over betalingen of zendingen die eruitzien alsof ze direct van een pakketdienst komen. Dankzij AI zijn die berichten foutloos, strak vormgegeven en arriveren ze precies op het moment waarop jij druk bent met bestellen.

Dit kun je zelf doen

Veilig shoppen heb je voor een groot deel zelf in de hand. Met een paar simpele checks kom je al een heel eind.

❗Kijk naar het webadres en let op namen die nét anders gespeld zijn of vreemde toevoegingen bevatten. Goed om te weten: een slotje en https betekenen alleen dat de verbinding versleuteld is, niet dat de winkel betrouwbaar is.
❗Staan er keurmerken op de site, bijvoorbeeld van Thuiswinkel Waarborg of Webshop Keurmerk? Klik daar dan op. Als ze echt zijn, word je doorgeleid naar de site van het keurmerk en zie je het certificaat dat aan de webwinkel is afgegeven.
❗Heb je je bestelling geplaatst en is het tijd om te betalen? Doe dat dan bij voorkeur via iDEAL of een creditcard met kopersbescherming, zodat je bij problemen sterker staat. Ontvang je een link in een mail of sms die verwijst naar een betaalpagina of inlogscherm? Ga dan zelf naar de website via je browser of de officiële app. Zo voorkom je dat je ongemerkt op een nagemaakte site terechtkomt.

©ID.nl

Het kan altijd veiliger

Met de hierboven beschreven checks kun je al veel problemen voorkomen, maar dan nog kan het fout gaan. Bitdefender helpt door juist op de momenten waarop je zelf iets over het hoofd kunt zien mee te kijken.

Twijfels? Meteen scannen met Scamio

Wanneer je twijfelt over een link, QR-code of bericht kan Scamio uitkomst bieden, een gratis tool van Bitdefender. Je plakt een link of tekst in de chat of uploadt een screenshot van een mail of bericht. Scamio analyseert de inhoud en geeft een beoordeling in drie kleuren: rood (onveilig), oranje (verdacht) of groen (geen risico gevonden).

Je hebt alleen een Bitdefender-account nodig. Daarna kun je Scamio gebruiken via de web-app, WhatsApp, Facebook Messenger of Discord. Op de achtergrond vergelijkt de tool links met bekende scam-databases, analyseert hij de opbouw van websites en ontleedt hij QR-codes voordat jij ze hoeft te scannen. Dankzij zelflerende algoritmes blijft Scamio actueel, ook wanneer criminelen nieuwe trucs inzetten.

Zo beschermt Bitdefender je tijdens het shoppen

Naast Scamio biedt Bitdefender Premium Security een breed pakket aan bescherming. Het beveiligt Windows-, macOS-, Android- en iOS-apparaten tegen virussen, malware, ransomware en cryptomining. De e-mailbeveiliging herkent misleidende berichten en houdt verdachte bijlagen tegen. Functies voor het opsporen van oplichting signaleren gedrag dat past bij fraude, zoals nagemaakte betaalpagina's of nepaanbiedingen.

Scam Copilot kijkt realtime mee terwijl je shopt en waarschuwt wanneer een website, aanbieding of link niet klopt. Voor privacy biedt Premium Security een Password Manager, onbeperkt VPN-verkeer en een advertentieblokker met anti-tracker. Voor je identiteit monitort Bitdefender datalekken en laat het direct weten wanneer jouw gegevens opduiken.

©Bitdefender

Fijne – veilige! – feestdagen

Met een paar kleine handelingen kun je er zelf al voor zorgen dat je zo veilig mogelijk online shopt. Bitdefender voegt daar een slimme laag aan toe die zich aanpast aan de nieuwste trucs van criminelen. Zo blijf je zorgeloos shoppen, van de eerste Black Friday-deal totdat het laatste cadeau onder de boom ligt!