Er zijn heel wat tools waarmee je (online) rekenwerk kunt verrichten, maar weinige zijn zo veelzijdig als GeoGebra. De naam is een samentrekking van de woorden geometrie en algebra, het is zowel online beschikbaar als via apps voor vrijwel elk platform.

GeoGebra heeft een lange geschiedenis die meer dan twintig jaar teruggaat. Het project werd ooit opgezet om het leren en onderwijzen van met name algebra en meetkunde te vereenvoudigen, maar is vanwege zijn vele gereedschappen ook zeer geschikt om zelf allerlei (reken)problemen mee op te lossen. Bovendien is GeoGebra door de jaren uitgebreid naar nog meer wiskundige vakgebieden, zoals statistiek en analyse.

Korte rondleiding

De thuisbasis van GeoGebra is www.geogebra.org. Als de site niet standaard in het Nederlands verschijnt, kun je onderaan de pagina op de wereldbol klikken. Je kunt dan de gewenste taal selecteren.

Op de site vind je verschillende modules die je los of gecombineerd kunt gebruiken. Zo is er de 3D Rekenmachine voor het maken van 3D-grafieken, de Grafische rekenmachine voor het maken van 2D-grafieken, de Wetenschappelijke rekenmachine voor het maken van (wiskundige) berekeningen en de CAS Rekenmachine voor 2D-grafieken en algebra. De Rekenmachine suite combineert deze modules en voegt daar kansberekening aan toe.

Daarnaast vind je op de hoofdpagina links naar GeoGebra Klassiek, de oorspronkelijke combinatie van meetkunde en algebra, het onderdeel Meetkunde, dat zich specifiek richt op het oplossen van meetkundige vraagstukken en het Notitieblok, waarmee je illustraties kunt maken.

Met het onderdeel Toetsen kunnen docenten examenvragen maken die offline kunnen worden gebruikt en tot slot heb je toegang tot heel veel lesmateriaal en bronnen voor het leren werken met GeoGebra.

Meetkunde

De Griekse wiskundige Euclides leefde zo’n 2300 jaar geleden en is vooral bekend van De Elementen, een serie geschriften waarin hij onder andere in Boek 1 de basisbeginselen van de zogeheten vlakke meetkunde uitwerkt. Hierin bewijst hij vanuit een vijftal vooronderstellingen (axioma’s) allerlei zaken over lijnen, cirkels, driehoeken enzovoort. De manier waarop hij dat deed, staat sindsdien model voor het uitbreiden van kennis door middel van logisch redeneren en daarom vormde De Elementen zo’n 2000 jaar lang (!) verplicht studiemateriaal voor iedereen die een hogere opleiding volgde en is het nog altijd goede kost om de geest te scherpen.

Eén van de te bewijzen stellingen over gelijkzijdige driehoeken in het begin van De Elementen (Propositie 5) werd bekend onder de naam Pons Asinorum, Latijn voor ezelsbrug. Waar dat bij ons een mentaal hulpmiddel betekent, staat het oorspronkelijk juist voor een probleem dat bepaalde of je slim genoeg was om door te gaan.

Constructie

De klassieke meetkunde van Euclides maakt gebruik van constructies met een passer en een liniaal. Die laatste dient alleen voor het tekenen van rechte lijnen en heeft geen maatstrepen. Het zal je verbazen hoeveel Euclides (en zijn navolgers in latere eeuwen) met die eenvoudige gereedschappen kon ontdekken. In het onderdeel Meetkunde van GeoGebra kun je zelf aan de slag met een digitale passer en liniaal.

Objecten

In het venster links zie je onder Basisknoppen een handvol objecten die je kunt maken. Met Punt, Lijnstuk, Lijn en Cirkel bewijst Euclides hoe je bijvoorbeeld een lijnstuk in twee gelijke delen kunt delen. Om zo’n middelpunt in latere constructies niet telkens opnieuw te hoeven maken, kun je dit soort meer geavanceerde objecten in Meetkunde ook in één keer maken. Klik daarvoor op Meer. Behalve Constructies kun je ook andere elementen toevoegen, zoals tekst. Scrol je naar beneden dan kun je nogmaals op Meer klikken voor extra mogelijkheden.

Voorbeeld

Klik op Nieuw punt en klik vervolgens op drie verschillende plekken in het rechterschermdeel. Zoals je ziet, worden de drie punten die je daarmee hebt geplaatst naar goed meetkundig gebruik automatisch van een letter voorzien. Kies nu Lijnstuk onder Basisknoppen en klik op punt A. Klik vervolgens op punt B. A en B zijn nu verbonden. Maak op dezelfde manier de driehoek af.

Klik nu onder Constructies op Midden of middelpunt en klik vervolgens op een willekeurige plek op elk van de drie lijnen. Het programma plaatst nu in elk daarvan een middelpunt en voorziet ook die van een letter.

Kies nu Cirkel met middelpunt onder Basisknoppen. Klik op punt A en punt E om een cirkel te maken met straal AE. Doe hetzelfde voor C en F en voor B en D.

Opmaak

Klik je onder Basisknoppen op Verplaatsen, dan kun je elk van de oorspronkelijke (blauwe) punten verslepen. Daarbij blijven de eigenschappen van je constructie in stand. De cirkel door E met middelpunt A blijft dus door E gaan, ook als je A verplaatst.

Klik je onder Bewerken op Selecteer object, dan kun je lijnen, cirkels en dergelijke selecteren. Klik bijvoorbeeld op één van de cirkels. Er verschijnt nu een pop-upmenu met vier pictogrammen.

De eerste drie geven snel toegang tot Kleuren, Labels en Verwijderen, maar de vierde (de drie puntjes) is het krachtigst. Hiermee krijg je via Instellingen toegang tot álle mogelijkheden, variërend van het kiezen van een vaste kleur tot zeer geavanceerde mogelijkheden, zoals kleuren op basis van berekeningen en het maken van scripts.

Gewapend met deze kennis kun je zelf de meest ingewikkelde constructies maken en meetkundige problemen oplossen.

Tabblad Algebra

Uiterst links is standaard het tabblad Macro’s geselecteerd, waarin je de elementen voor je constructie kunt kiezen, aanpassen en verwijderen. Daarnaast is er het tabblad Algebra. Die naam is op het eerste gezicht wat verwarrend, want wat je er ziet is de geschiedenis van een constructie die je hebt gemaakt. Helemaal onderaan zie je ook een zwart pictogram in de vorm van een klein toetsenbord. Daarmee open je een toetsenbord met meerdere tabs waarmee je berekeningen en allerlei geavanceerde functies aan je constructie kunt toevoegen. Klik daarvoor op de drie puntjes boven het toetsenbord. Je ziet dan een helpfunctie met alle concepten die het programma kent. Klik je op een concept, dan verschijnen links daarvan één of meer commando’s. Klik je daarop, dan wordt of worden deze aan je lijst met constructiestappen toegevoegd.

Instellingen

Rechtsboven in het tekenscherm vinden we achter het tandwielpictogram de nodige nuttige instellingen. Bij traditionele meetkunde worden geen roosters gebruikt, maar bij veel andere varianten wel. Ook zijn assen en roosters handig wanneer je constructietekeningen met bekende afstanden wilt maken. Hier kun je niet alleen assen en roosters inschakelen, maar ook het rooster magnetisch maken, zodat punten die je plaatst altijd exact samenvallen met roosterpunten. Via Instellingen kun je bovendien de eigenschappen van assen en roosters aanpassen.

Ook zie je in het menu Wis spoor. Wanneer je een punt in je constructie selecteert, dan kun je namelijk aangeven dat GeoGebra een spoor moet tekenen wanneer het direct of indirect wordt verplaatst. Dit is de plek om dat spoor weer op te ruimen.

Menu

Linksboven (drie streepjes) vind je het menu van GeoGebra. Hier kun je het eindresultaat van een constructie als afbeelding opslaan of afdrukken. Je kunt je werk ook online opslaan. Daardoor kun je er op een later tijdstip ook vanaf een ander platform verder aan werken en als je het werkstuk openbaar maakt, kunnen andere gebruikers stap voor stap je constructie volgen. Dit is het educatieve aspect van GeoGebra waarop we in de paragraaf 'Educatie' nog terugkomen. Je kunt je werk ook privé opslaan. Om je werk lokaal te kunnen opslaan, moet je eerst een gratis account aanmaken.

Kies je in dit menu Open, dan krijg je niet alleen toegang tot je eigen werk, maar ook de tot het vele materiaal dat anderen gemaakt hebben.

CAS Rekenmachine

We keren terug naar de startpagina van GeoGebra en nemen nu een kijkje bij de CAS Rekenmachine (CAS staat voor Computer Algebra Systeem).

Ditmaal komen we terecht in een scherm dat doet denken aan het scherm van het onderdeel Meetkunde, zoals we dat op het laatst hadden ingericht, dus met assen, een rooster en een toetsenbord voor het invoeren van formules. Wat anders is zijn de tabbladen; hier Algebra en Tabel. In dit onderdeel kunnen we onder andere 2D-grafieken maken.

Voorbeeldgrafiek

Klik op het toetsenbordje op de x en op het pictogram daaronder om een kwadraat te maken. Klik vervolgens op +, op y en nogmaals op het Kwadraat-pictogram. Klik tot slot op = en 1 en toets Enter. Er verschijnt een kleine cirkel met straal 1.

Om de cirkel wat groter te maken, kun je inzoomen met het muiswiel of met het Zoom-pictogram rechtsonder.

Links zie je de formule die je hebt ingevoerd (de impliciete vergelijking voor een cirkel). Klik op de drie puntjes erachter en kies Dupliceer invoer. Klik op de tweede formule en verander beide kwadraten in een 4. Na een druk op Enter wordt de nieuwe grafiek getekend die het midden houdt tussen een vierkant en een cirkel. Klik op deze grafiek en klik op het Kleur-pictogram (verf-emmertje). Klik op rood en vervolgens op een lege plek en je hebt twee verschillend gekleurde grafieken.

Klik nu op het tabblad Tabel. Hierin staat de linkerkolom voor x-waarden en de rechter voor y-waarden. Hier kun je uitsluitend getallen invoeren en dit deel gebruik je om bijvoorbeeld een grafiek van de gemeten gegevens te maken.

Klik je op de drie puntjes in de y-kolom dan kun je via Regressie je meetpunten automatisch verbinden.

Het maken van grafieken vormt slechts een klein deel van de mogelijkheden van de CAS Rekenmachine. Je kunt hier bijvoorbeeld ook afgeleiden en integralen berekenen.

3D

Waar we met (onder andere) de CAS Rekenmachine grafieken in het platte vlak kunnen maken, gaan we met de 3D Rekenmachine de ruimte in. De bediening lijkt op die van de eerder besproken onderdelen.

In CAS kun je 2D-grafieken maken op basis van een functie van x of van parametrische vergelijkingen. Ook kun je werken met impliciete vergelijkingen (zoals wij in ons voorbeeld deden) en kun je naast rechthoekige coördinaten ook werken met poolcoördinaten. De 3D-tegenhanger ondersteunt ook al deze varianten, waarbij je in plaats van poolcoördinaten kunt kiezen voor cilindrische of bolcoördinaten.

3D Voorbeeld

Op basis van het 2D-voorbeeld weet je inmiddels hoe je een formule kunt invoeren. In de 3D Rekenmachine kiezen we voor 4x2+y2+z2=16. Na een druk op de Enter-knop verschijnt de grafiek.

In de 3D Rekenmachine kun je niet alleen grafieken maken op basis van formules. In het tabblad Knoppen vind je namelijk ook allerlei objecten. Om ze allemaal te zien, moet je op Meer klikken. Klik bijvoorbeeld op Piramide, klik vervolgens op vier punten op de x- en y- as (in het grondvlak, bijvoorbeeld (4,0,0), (0,6,0), (-4,0,0) en (0,-6,0)). Klik tot slot op de z-as op het punt (0,0,4) en daar is je piramide.

Ook nu kun je het uiterlijk van alles wat je maakt weer volop naar je hand zetten.

Apps

De web-versies van de verschillende onderdelen van GeoGebra werken uitstekend, maar werk je liever lokaal, dan kan dat ook. Op deze pagina vind je alle modules als download voor Windows. Verschillende zijn ook beschikbaar voor macOS en de oerversie GeoGebra Classic is er bovendien voor Linux.

Alle modules zijn daarnaast beschikbaar voor iOS en Android. Zoek je in de appstore voor een van beide op het trefwoord 'geogebra', dan vind je alle beschikbare producten. 

Educatie

Omdat je het werk dat je maakt met GeoGebra online kunt opslaan en kunt delen, biedt de website een gigantische hoeveelheid voorbeelden om mee te spelen. Op de startpagina van GeoGebra zie je de rubriek Aanbevolen materiaal en klik je daarachter op Alle dan kom je op een pagina waar je door het complete aanbod kunt bladeren.

Onder de voorbeelden onder Aanbevolen materiaal (verdeeld over verschillende niveaus), vind je een zoekboom waarmee je door verschillende disciplines binnen de wiskunde kunt bladeren. Klik bijvoorbeeld op Algebra. Zoals je ziet, kun je ook daarbinnen weer navigeren, bijvoorbeeld door te klikken op Breuken. Je ziet nu alle openbare bestanden binnen dat thema. We openen Breuken optellen (niveau 3). Dit werkblad is een typisch voorbeeld van een overhoring en daarom kun je het niet aanpassen. Er zijn ook vele werkbladen waar je wel onder de motorkap kunt kijken om meer de leren over de vele mogelijkheden van GeoGebra.

Zelf leren

We hebben maar een fractie van de vele mogelijkheden kunnen bespreken die GeoGebra en zijn verschillende modules te bieden hebben. Klik je vanaf de startpagina op Toon alle achter Initiatiehandleidingen, dan kom je op een pagina met een dertigtal boeken waarmee je zelfs de meest geavanceerde technieken leert om niet alleen berekeningen te maken, maar ook je eigen gebruikersinterfaces te bouwen.

De belofte is duidelijk: sneller op temperatuur, krokanter van buiten, malser van binnen. Met de Easy Fry Infrared zet Tefal als eerste bekende fabrikant infraroodtechnologie in bij een airfryer. De warmte van boven zorgt voor snelle opwarming; het klassieke element onderin zou garant moeten staan voor gelijkmatiger garing. ID test deze noviteit uit.

Wat is er écht nieuw?

Airfryers zijn er in allerlei uitvoeringen. Eén bakmand, twee, naast elkaar, boven elkaar, met stoom, zonder stoom. De meeste modellen zijn varianten op een eerder model met net een extra toevoeging of snufje. Tefal kwam recent met iets wat wel nieuw te noemen is, en dat is de combinatie van hitte via een element en hitte via infraroodlampen. De IR-straling komt van boven, de hitte van het metalen element van onderen. Samen zouden ze moeten zorgen voor enerzijds snelle opwarming en anderzijds gelijkmatige garing. Infraroodlampen kun je kennen vanuit warmtelampen of sauna's. Ze verwarmen vooral het oppervlak waarop ze schijnen. Zou dit een slimme combinatie zijn?

©Tefal

Formaat, bouw en mand: 7 liter

Eerst wat praktische informatie. De Tefal Easy Fry Infrared is een apparaat van 27,9 × 31,3 × 42,1 cm (B/H/D). Hij weegt iets meer dan 5 kilo en heeft een snoer van 1,20 meter. De bakmand trek je in zijn geheel uit het apparaat, onderin zit een verwijderbaar roostertje voor luchtcirculatie. De inhoud van de mand is 7 liter en je zou er 1,5 kilo aan eten in kunnen bereiden. Dat is theorie, in de praktijk werken lagere hoeveelheden beter - maar dit geldt voor elke airfryer. Bovenop zitten de aan-uitknop, twee tiptoetsen voor tijd en temperatuur, toetsen voor de voorkeuzeprogramma's en een extra knop voor een extra crispy finish (daarover verderop meer).

Wat meteen opvalt, is de grote bakmand. Die biedt ruim plaats aan bijvoorbeeld vier kaiserbroodjes of een royale hoeveelheid groenten om te grillen. De bak is rechthoekig, en het rooster onderin zorgt voor een kleine verhoging. Je etenswaren liggen niet direct op de bodem van de mand maar iets erboven; dit is nodig voor de circulatie van lucht.

©Saskia van Weert

Kijkvenster met led: handig meekijken of gimmick?

Opvallend is het transparante kijkvenster boven de lade. Hierdoor zie je de inhoud van de mand liggen en kun je de garing in de gaten houden. Dat werkt goed, en is ook handig om bij te houden of je je eten al moet omdraaien.

©Tefal

Bediening en programma's: snel kiezen, extra crispy-knop

De bediening wijst zichzelf, zeker na doornemen van de gebruiksaanwijzing. Je kiest zelf een combinatie van tijd en temperatuur, of een van de voorkeuzeprogramma's. Standaard start het apparaat in de stand Airfryer. De andere opties zijn roosteren, grillen, toasten, opwarmen, bakken, dehydrateren, en tot slot knapperige finish (crispy finish). Dit laatste is een leuk snufje. Je voegt deze optie met een druk op de knop toe aan een gekozen programma en de bereidingstijd wordt uitgebreid met 2 minuten extra op 230 graden. Speciaal bedoeld voor eten dat je extra krokant wilt hebben.

De voorkeuzeprogramma's zijn instellingen met een vastgestelde tijd en temperatuur. Zo start Airfryen met 190 graden en 10 minuten. Zowel tijd als temperatuur pas je eventueel aan voordat de bereiding start, en tijdens de bereiding gaat dat ook prima. Het programma om te drogen (dehydrate) heeft een vaste temperatuur van 70 graden, dit kun je niet zelf aanpassen. Je start het programma met de startknop. Als je tussentijds de bak opent om je eten op te schudden of om te keren, pauzeert het programma. Het gaat automatisch verder als je de bak weer sluit.

©Tefal

Merkbaar sneller zonder voorverwarmen

De airfryer is opvallend stil en ook het piepje als het eten klaar is, is bescheiden. Prettig, want airfryers maken vaak best een hoop herrie. Na einde van het programma staat de machine in stand by-stand. Na een minuut of vijf piept hij nog eens. Het doel daarvan is ons onduidelijk. Om ongewenste geluiden te voorkomen, is het aan te raden na gebruik de stekker uit het stopcontact te halen.

Prestaties: van kip en friet tot broodjes en groente

Dan de prestaties. Die zijn zonder meer goed. In enkele weken tijd is er van alles in deze airfryer bereid. Van kippendijen tot frites en snacks, van groenten tot aan afbakbroodjes. Voorverwarmen is niet nodig, want de airfryer is zeer snel warm. De resultaten zijn meer dan uitstekend en het eten is ook daadwerkelijk sneller klaar dan in eerder geteste machines. Reken op een tijdsbesparing van zo'n 20 procent. Dit hangt natuurlijk af van wat je precies maakt en hoeveel, maar gerechten waren in de testperiode eigenlijk altijd sneller klaar dan vooraf verwacht.

Na bereiding haal je je eten met een siliconen tang uit de bak. In de gebruiksaanwijzing staat dat je de bak niet ondersteboven mag houden om eten in een schaal te kieperen, vanwege eventuele hete olie of heet vocht dat zich onder het rooster verzamelt. Een nuttig advies, zeker voor de bereiding van vlees, maar bij iets als broodjes afbakken natuurlijk wat overbodig.

Schoonmaken: vaatwasser kan, maar let op inbranden

Zowel de bak als het uitneembare rooster kan na gebruik en afkoelen in de vaatwasser. Wat betreft schoonmaken komt eigenlijk het enige (relatieve) nadeel aan het licht. Beide onderdelen bakken snel aan. Al na enkele keren ontstonden er zwarte aanbaksels op het rooster en in de bakmand. Deze zijn gelukkig met bbq-reiniger wel weg te krijgen uit de mand, maar het is wel een aandachtspunt. Ook de behuizing, het gedeelte waar de mand op staat in de airfryer, vertoont al wat zwarte inbrandplekken die niet weg te poetsen zijn.

©Saskia van Weert

Duurzaamheid & onderhoud

Let verder op met spetterend eten. Als vetspetters vanaf de binnenzijde tegen het transparante venster komen, zijn deze niet meer te verwijderen. Het venster is namelijk niet los te halen. Op de lange termijn kunnen we ons voorstellen dat er daardoor vlekken ontstaan, waardoor je minder zicht hebt op je voedsel.

©Tefal

Conclusie

De Easy Fry Infrared doet precies wat Tefal belooft: hij is razendsnel op temperatuur en levert mooi krokante resultaten met een sappige binnenkant. In de praktijk win je echt tijd, zonder te hoeven voorverwarmen, en de stille werking en het kijkvenster maken 'even tussendoor checken' prettig. De ruime 7-liter mand is fijn voor gezinnen of grotere porties, en de extra crispy-knop is een bruikbare bonus voor wie nét wat meer bite wil.

Daar staat tegenover dat dit een apparaat is dat aandacht vraagt bij schoonmaken. De mand en het rooster kunnen relatief snel inbranden, en vetspetters tegen het niet-losneembare kijkvenster zijn lastig of niet te verwijderen, iets om rekening mee te houden als je veel vette gerechten maakt.

Kortom: zoek je vooral snelheid, krokant resultaat en een ruime bak met handig zicht op de voortgang, dan is de Tefal Easy Fry Infrared een sterke keuze.

De servers van Call of Duty: Warzone Mobile gaan op 17 april voorgoed offline, waardoor de game vanaf dat moment niet meer speelbaar is.

Dat heeft Activision aangekondigd. Afgelopen jaar werd de game al uit app-winkels gehaald en werd de komst van nieuwe seizoensgebonden content al stopgezet, en het voorgoed offline halen van de servers is de laatste stap in het verdwijnen van de game. Mensen kunnen tot 17 april de game gewoon blijven spelen en hun verdiende in-game geld opmaken.

"We zijn enorm dankbaar voor de spelers die Call of Duty: Warzone Mobile hebben ondersteund, alsmede de ontwikkelaars die de ervaring tot leven hebben gewekt", aldus Activision. "De passie van spelers en hun feedback blijft de toekomst van de Call of Duty-franchise vormgeven, en we kijken er naar uit om betekenisvolle seizoensgebonden content en updates naar Call of Duty: Mobile te brengen."

Call of Duty: Mobile blijft er wel

Call of Duty: Warzone Mobile kwam in 2024 beschikbaar als mobiele versie van Call of Duty: Warzone, de battle royale-game voor consoles en pc. Op die platforms blijft Warzone wel speelbaar.

Activision zei het al: voor een mobiele Call of Duty-ervaring kunnen spelers terecht bij Call of Duty: Mobile. Die game kwam in 2019 uit op smartphones en geniet nog altijd van populariteit. Call of Duty: Mobile heeft ook een battle royale-modus - waar Warzone Mobile juist om draaide - alsmede modi als reguliere multiplayer en Zombies.

Activision Blizzard - en dus ook Call of Duty - werd enkele jaren geleden overgenomen door Microsoft. Buiten het feit dat de jaarlijkse nieuwe Call of Duty-game vanaf release ook meteen op Xbox Game Pass verschijnt, heeft dat echter niet veel aan de Call of Duty-franchise veranderd. Wel leek het meest recente deel, het vorig najaar uitgekomen Call of Duty: Black Ops 7, minder populair dan voorgaande delen. Mogelijk heeft dit te maken met dat het jaar daarvoor nog Black Ops 6 uitkwam, en spelers niet zo snel op een direct vervolg zaten te wachten.