Er zijn heel wat tools waarmee je (online) rekenwerk kunt verrichten, maar weinige zijn zo veelzijdig als GeoGebra. De naam is een samentrekking van de woorden geometrie en algebra, het is zowel online beschikbaar als via apps voor vrijwel elk platform.

GeoGebra heeft een lange geschiedenis die meer dan twintig jaar teruggaat. Het project werd ooit opgezet om het leren en onderwijzen van met name algebra en meetkunde te vereenvoudigen, maar is vanwege zijn vele gereedschappen ook zeer geschikt om zelf allerlei (reken)problemen mee op te lossen. Bovendien is GeoGebra door de jaren uitgebreid naar nog meer wiskundige vakgebieden, zoals statistiek en analyse.

Korte rondleiding

De thuisbasis van GeoGebra is www.geogebra.org. Als de site niet standaard in het Nederlands verschijnt, kun je onderaan de pagina op de wereldbol klikken. Je kunt dan de gewenste taal selecteren.

Op de site vind je verschillende modules die je los of gecombineerd kunt gebruiken. Zo is er de 3D Rekenmachine voor het maken van 3D-grafieken, de Grafische rekenmachine voor het maken van 2D-grafieken, de Wetenschappelijke rekenmachine voor het maken van (wiskundige) berekeningen en de CAS Rekenmachine voor 2D-grafieken en algebra. De Rekenmachine suite combineert deze modules en voegt daar kansberekening aan toe.

Daarnaast vind je op de hoofdpagina links naar GeoGebra Klassiek, de oorspronkelijke combinatie van meetkunde en algebra, het onderdeel Meetkunde, dat zich specifiek richt op het oplossen van meetkundige vraagstukken en het Notitieblok, waarmee je illustraties kunt maken.

Met het onderdeel Toetsen kunnen docenten examenvragen maken die offline kunnen worden gebruikt en tot slot heb je toegang tot heel veel lesmateriaal en bronnen voor het leren werken met GeoGebra.

Meetkunde

De Griekse wiskundige Euclides leefde zo’n 2300 jaar geleden en is vooral bekend van De Elementen, een serie geschriften waarin hij onder andere in Boek 1 de basisbeginselen van de zogeheten vlakke meetkunde uitwerkt. Hierin bewijst hij vanuit een vijftal vooronderstellingen (axioma’s) allerlei zaken over lijnen, cirkels, driehoeken enzovoort. De manier waarop hij dat deed, staat sindsdien model voor het uitbreiden van kennis door middel van logisch redeneren en daarom vormde De Elementen zo’n 2000 jaar lang (!) verplicht studiemateriaal voor iedereen die een hogere opleiding volgde en is het nog altijd goede kost om de geest te scherpen.

Eén van de te bewijzen stellingen over gelijkzijdige driehoeken in het begin van De Elementen (Propositie 5) werd bekend onder de naam Pons Asinorum, Latijn voor ezelsbrug. Waar dat bij ons een mentaal hulpmiddel betekent, staat het oorspronkelijk juist voor een probleem dat bepaalde of je slim genoeg was om door te gaan.

Constructie

De klassieke meetkunde van Euclides maakt gebruik van constructies met een passer en een liniaal. Die laatste dient alleen voor het tekenen van rechte lijnen en heeft geen maatstrepen. Het zal je verbazen hoeveel Euclides (en zijn navolgers in latere eeuwen) met die eenvoudige gereedschappen kon ontdekken. In het onderdeel Meetkunde van GeoGebra kun je zelf aan de slag met een digitale passer en liniaal.

Objecten

In het venster links zie je onder Basisknoppen een handvol objecten die je kunt maken. Met Punt, Lijnstuk, Lijn en Cirkel bewijst Euclides hoe je bijvoorbeeld een lijnstuk in twee gelijke delen kunt delen. Om zo’n middelpunt in latere constructies niet telkens opnieuw te hoeven maken, kun je dit soort meer geavanceerde objecten in Meetkunde ook in één keer maken. Klik daarvoor op Meer. Behalve Constructies kun je ook andere elementen toevoegen, zoals tekst. Scrol je naar beneden dan kun je nogmaals op Meer klikken voor extra mogelijkheden.

Voorbeeld

Klik op Nieuw punt en klik vervolgens op drie verschillende plekken in het rechterschermdeel. Zoals je ziet, worden de drie punten die je daarmee hebt geplaatst naar goed meetkundig gebruik automatisch van een letter voorzien. Kies nu Lijnstuk onder Basisknoppen en klik op punt A. Klik vervolgens op punt B. A en B zijn nu verbonden. Maak op dezelfde manier de driehoek af.

Klik nu onder Constructies op Midden of middelpunt en klik vervolgens op een willekeurige plek op elk van de drie lijnen. Het programma plaatst nu in elk daarvan een middelpunt en voorziet ook die van een letter.

Kies nu Cirkel met middelpunt onder Basisknoppen. Klik op punt A en punt E om een cirkel te maken met straal AE. Doe hetzelfde voor C en F en voor B en D.

Opmaak

Klik je onder Basisknoppen op Verplaatsen, dan kun je elk van de oorspronkelijke (blauwe) punten verslepen. Daarbij blijven de eigenschappen van je constructie in stand. De cirkel door E met middelpunt A blijft dus door E gaan, ook als je A verplaatst.

Klik je onder Bewerken op Selecteer object, dan kun je lijnen, cirkels en dergelijke selecteren. Klik bijvoorbeeld op één van de cirkels. Er verschijnt nu een pop-upmenu met vier pictogrammen.

De eerste drie geven snel toegang tot Kleuren, Labels en Verwijderen, maar de vierde (de drie puntjes) is het krachtigst. Hiermee krijg je via Instellingen toegang tot álle mogelijkheden, variërend van het kiezen van een vaste kleur tot zeer geavanceerde mogelijkheden, zoals kleuren op basis van berekeningen en het maken van scripts.

Gewapend met deze kennis kun je zelf de meest ingewikkelde constructies maken en meetkundige problemen oplossen.

Tabblad Algebra

Uiterst links is standaard het tabblad Macro’s geselecteerd, waarin je de elementen voor je constructie kunt kiezen, aanpassen en verwijderen. Daarnaast is er het tabblad Algebra. Die naam is op het eerste gezicht wat verwarrend, want wat je er ziet is de geschiedenis van een constructie die je hebt gemaakt. Helemaal onderaan zie je ook een zwart pictogram in de vorm van een klein toetsenbord. Daarmee open je een toetsenbord met meerdere tabs waarmee je berekeningen en allerlei geavanceerde functies aan je constructie kunt toevoegen. Klik daarvoor op de drie puntjes boven het toetsenbord. Je ziet dan een helpfunctie met alle concepten die het programma kent. Klik je op een concept, dan verschijnen links daarvan één of meer commando’s. Klik je daarop, dan wordt of worden deze aan je lijst met constructiestappen toegevoegd.

Instellingen

Rechtsboven in het tekenscherm vinden we achter het tandwielpictogram de nodige nuttige instellingen. Bij traditionele meetkunde worden geen roosters gebruikt, maar bij veel andere varianten wel. Ook zijn assen en roosters handig wanneer je constructietekeningen met bekende afstanden wilt maken. Hier kun je niet alleen assen en roosters inschakelen, maar ook het rooster magnetisch maken, zodat punten die je plaatst altijd exact samenvallen met roosterpunten. Via Instellingen kun je bovendien de eigenschappen van assen en roosters aanpassen.

Ook zie je in het menu Wis spoor. Wanneer je een punt in je constructie selecteert, dan kun je namelijk aangeven dat GeoGebra een spoor moet tekenen wanneer het direct of indirect wordt verplaatst. Dit is de plek om dat spoor weer op te ruimen.

Menu

Linksboven (drie streepjes) vind je het menu van GeoGebra. Hier kun je het eindresultaat van een constructie als afbeelding opslaan of afdrukken. Je kunt je werk ook online opslaan. Daardoor kun je er op een later tijdstip ook vanaf een ander platform verder aan werken en als je het werkstuk openbaar maakt, kunnen andere gebruikers stap voor stap je constructie volgen. Dit is het educatieve aspect van GeoGebra waarop we in de paragraaf 'Educatie' nog terugkomen. Je kunt je werk ook privé opslaan. Om je werk lokaal te kunnen opslaan, moet je eerst een gratis account aanmaken.

Kies je in dit menu Open, dan krijg je niet alleen toegang tot je eigen werk, maar ook de tot het vele materiaal dat anderen gemaakt hebben.

CAS Rekenmachine

We keren terug naar de startpagina van GeoGebra en nemen nu een kijkje bij de CAS Rekenmachine (CAS staat voor Computer Algebra Systeem).

Ditmaal komen we terecht in een scherm dat doet denken aan het scherm van het onderdeel Meetkunde, zoals we dat op het laatst hadden ingericht, dus met assen, een rooster en een toetsenbord voor het invoeren van formules. Wat anders is zijn de tabbladen; hier Algebra en Tabel. In dit onderdeel kunnen we onder andere 2D-grafieken maken.

Voorbeeldgrafiek

Klik op het toetsenbordje op de x en op het pictogram daaronder om een kwadraat te maken. Klik vervolgens op +, op y en nogmaals op het Kwadraat-pictogram. Klik tot slot op = en 1 en toets Enter. Er verschijnt een kleine cirkel met straal 1.

Om de cirkel wat groter te maken, kun je inzoomen met het muiswiel of met het Zoom-pictogram rechtsonder.

Links zie je de formule die je hebt ingevoerd (de impliciete vergelijking voor een cirkel). Klik op de drie puntjes erachter en kies Dupliceer invoer. Klik op de tweede formule en verander beide kwadraten in een 4. Na een druk op Enter wordt de nieuwe grafiek getekend die het midden houdt tussen een vierkant en een cirkel. Klik op deze grafiek en klik op het Kleur-pictogram (verf-emmertje). Klik op rood en vervolgens op een lege plek en je hebt twee verschillend gekleurde grafieken.

Klik nu op het tabblad Tabel. Hierin staat de linkerkolom voor x-waarden en de rechter voor y-waarden. Hier kun je uitsluitend getallen invoeren en dit deel gebruik je om bijvoorbeeld een grafiek van de gemeten gegevens te maken.

Klik je op de drie puntjes in de y-kolom dan kun je via Regressie je meetpunten automatisch verbinden.

Het maken van grafieken vormt slechts een klein deel van de mogelijkheden van de CAS Rekenmachine. Je kunt hier bijvoorbeeld ook afgeleiden en integralen berekenen.

3D

Waar we met (onder andere) de CAS Rekenmachine grafieken in het platte vlak kunnen maken, gaan we met de 3D Rekenmachine de ruimte in. De bediening lijkt op die van de eerder besproken onderdelen.

In CAS kun je 2D-grafieken maken op basis van een functie van x of van parametrische vergelijkingen. Ook kun je werken met impliciete vergelijkingen (zoals wij in ons voorbeeld deden) en kun je naast rechthoekige coördinaten ook werken met poolcoördinaten. De 3D-tegenhanger ondersteunt ook al deze varianten, waarbij je in plaats van poolcoördinaten kunt kiezen voor cilindrische of bolcoördinaten.

3D Voorbeeld

Op basis van het 2D-voorbeeld weet je inmiddels hoe je een formule kunt invoeren. In de 3D Rekenmachine kiezen we voor 4x2+y2+z2=16. Na een druk op de Enter-knop verschijnt de grafiek.

In de 3D Rekenmachine kun je niet alleen grafieken maken op basis van formules. In het tabblad Knoppen vind je namelijk ook allerlei objecten. Om ze allemaal te zien, moet je op Meer klikken. Klik bijvoorbeeld op Piramide, klik vervolgens op vier punten op de x- en y- as (in het grondvlak, bijvoorbeeld (4,0,0), (0,6,0), (-4,0,0) en (0,-6,0)). Klik tot slot op de z-as op het punt (0,0,4) en daar is je piramide.

Ook nu kun je het uiterlijk van alles wat je maakt weer volop naar je hand zetten.

Apps

De web-versies van de verschillende onderdelen van GeoGebra werken uitstekend, maar werk je liever lokaal, dan kan dat ook. Op deze pagina vind je alle modules als download voor Windows. Verschillende zijn ook beschikbaar voor macOS en de oerversie GeoGebra Classic is er bovendien voor Linux.

Alle modules zijn daarnaast beschikbaar voor iOS en Android. Zoek je in de appstore voor een van beide op het trefwoord 'geogebra', dan vind je alle beschikbare producten. 

Educatie

Omdat je het werk dat je maakt met GeoGebra online kunt opslaan en kunt delen, biedt de website een gigantische hoeveelheid voorbeelden om mee te spelen. Op de startpagina van GeoGebra zie je de rubriek Aanbevolen materiaal en klik je daarachter op Alle dan kom je op een pagina waar je door het complete aanbod kunt bladeren.

Onder de voorbeelden onder Aanbevolen materiaal (verdeeld over verschillende niveaus), vind je een zoekboom waarmee je door verschillende disciplines binnen de wiskunde kunt bladeren. Klik bijvoorbeeld op Algebra. Zoals je ziet, kun je ook daarbinnen weer navigeren, bijvoorbeeld door te klikken op Breuken. Je ziet nu alle openbare bestanden binnen dat thema. We openen Breuken optellen (niveau 3). Dit werkblad is een typisch voorbeeld van een overhoring en daarom kun je het niet aanpassen. Er zijn ook vele werkbladen waar je wel onder de motorkap kunt kijken om meer de leren over de vele mogelijkheden van GeoGebra.

Zelf leren

We hebben maar een fractie van de vele mogelijkheden kunnen bespreken die GeoGebra en zijn verschillende modules te bieden hebben. Klik je vanaf de startpagina op Toon alle achter Initiatiehandleidingen, dan kom je op een pagina met een dertigtal boeken waarmee je zelfs de meest geavanceerde technieken leert om niet alleen berekeningen te maken, maar ook je eigen gebruikersinterfaces te bouwen.

Een waterkoker of fluitketel lijkt misschien onmisbaar in de keuken, maar steeds meer mensen stappen over op een slimme warmwaterkraan. Hiermee tap je in een handomdraai kokend, gekoeld of zelfs bruisend water, rechtstreeks uit de kraan. Handig, snel en vaak ook zuiniger dan je denkt.

Partnerbijdrage - in samenwerking met Bemmel & Kroon

De Quooker-warmwaterkraan is een Nederlandse uitvinding die teruggaat tot de jaren 70. Het eerste productiemodel werd al in 1992 geïntroduceerd en enkele jaren later volgden verschillende varianten van de kraan tot de modellen die we nu kennen.

Werking van het systeem

Het Quooker-systeem is gebaseerd op een eenvoudig maar ingenieus principe: een kraan op het aanrecht is verbonden met een compact reservoir dat in het keukenkastje wordt geplaatst. Dit reservoir fungeert als een soort extreem goed geïsoleerde thermosfles, waarin water continu op 108° C wordt gehouden. Dankzij deze hoogvacuümisolatie is het energieverbruik om het water op temperatuur te houden enorm laag, met een stand-byverbruik van slechts 10 watt per dag, wat neerkomt op circa 0,06 euro per dag, afhankelijk van je energiecontract.

Je kunt momenteel kiezen uit drie varianten van de Quooker: de Pro3-VAQ, de COMBI en de COMBI+. In de tabel hieronder zie je de verschillen:

De grootste besparing op energie en water behaal je met de COMBI- en COMBI+-systemen. Staat de cv-ketel ver van de keuken, dan gaat er vaak een hoop water verloren. Dat komt doordat je eerst een tijdje koud water moet laten weglopen voordat er warm water uit de kraan komt. Met een Quooker heb je dat probleem niet: het waterreservoir zit direct onder de kraan. Zo bespaar je tot wel 10 liter water per dag. Het systeem is daardoor niet alleen een handige kokendwaterkraan, maar ook een slimme manier om warm water te regelen. Dat maakt het een duurzame investering die verder gaat dan alleen gemak.

©Quooker / Bemmel & Kroon

Verschillende kranen

De reservoirs van de Quooker kun je combineren met elke gewenste kraan van het systeem. Er zijn vier types Quooker-kranen:

De Flex: Dit is een Quooker-kraan met een flexibele uittrekslang voor warm en koud water. De slang is handig voor het spoelen van de spoelbak of het vullen van pannen buiten de wasbak. Een ingebouwd veiligheidsmechanisme, de kokendwaterstop, zorgt ervoor dat er geen kokend water kan worden getapt als de slang is uitgetrokken.

De Fusion: De alles-in-één kraan die kokend, warm en koud water levert. Dit strakke, minimalistische design past in vrijwel elke moderne keuken en is verkrijgbaar in diverse afwerkingen, zoals chroom, rvs, zwart, goud en messing-platina.

De Front: Een kraan met een uitgesproken uiterlijk en een vernieuwde bediening aan de voorkant van de uitloop voor warm en koud water. Dit model is verkrijgbaar in rvs en zwart.

De Nordic-modellen: Deze serie omvat de Nordic Twintaps, een set van een kokendwaterkraan en een mengkraan in hetzelfde ontwerp, en de Nordic Single Tap, een losse kokendwaterkraan die kan worden gecombineerd met een bestaande mengkraan. Deze opties zijn ideaal voor consumenten die de functionaliteiten van warm/koud water en kokend water gescheiden willen houden.  

©Quooker / Bemmel & Kroon

Oude kraan vervangen

Vaak wordt gedacht dat je een Quooker-kraan alleen in een nieuwe keuken kunt installeren. Dat is niet zo: een Quooker past in principe in elke keuken en het is zelfs mogelijk om deze náást je oude vertrouwde kraan te installeren. Dat zou je (als je een beetje handig bent) in principe helemaal zelf kunnen doen, maar je kunt de Quooker uiteraard ook door een expert laten installeren. Maar waar moet je rekening mee houden als je een Quooker wil installeren?

Stroomvoorziening: Er is een geaard stopcontact en bij voorkeur een aparte elektriciteitsgroep nodig, vooral wanneer de CUBE wordt toegevoegd. Als er geen aparte groep beschikbaar is, kan een energieverdeler worden gebruikt om de stroom te verdelen tussen de Quooker en andere apparaten, zodat de zekeringen niet springen.

Wateraansluiting: Je hebt een minimale waterdruk van 2 bar nodig om de Quooker-systemen goed te laten werken. Voor de Quooker COMBI+ geldt dat ook voor de warmwaterkraan: die moet ook op 2 bar staan. De maximale waterdruk is 6 bar.

Ruimte in het keukenkastje: De reservoirs zijn compact, maar vereisen wel voldoende ruimte. Het PRO3-reservoir is 40 cm hoog en heeft een diameter van 15 cm, terwijl de COMBI-reservoirs 47 cm hoog zijn en een diameter van 20 cm hebben. De CUBE meet 43 cm hoog, 30 cm breed en 44 cm diep, inclusief de CO₂-cilinder. Daarnaast heb je voor de Flex een minimale diepte van 500 mm en een breedte van 200 mm onder het aanrechtblad nodig voor het contragewicht van de uittrekslang.

Bij het zelf installeren van een Quooker is het overigens erg fijn dat de fabrikant allerlei handige instructievideo's en -documenten heeft voor de zelfklusser, waardoor je altijd stap-voor-stap weet wat je moet doen.

Voordelen

Waarom zou je voor een Quooker kiezen als je al een waterkoker hebt of een fluitketel gebruikt? Het grootste voordeel is dat je altijd en direct kokend water tot je beschikking hebt. Nooit meer wachten op je waterkoker of ketel totdat deze het kookpunt hebben bereikt. De Quooker verbruikt weliswaar continu stroom voor het op temperatuur houden van het hete water, maar een waterkoker verbruikt veel energie in korte tijd. En dat voor elke keer dat je warm water nodig hebt. Een fluitketel op het vuur is ook niet erg duurzaam als je kookt op gas. Voor het koken van uitgebreide maaltijden met pasta is het extra fijn als je snel over kokend water kunt beschikken.

©Dmitry Vereshchagin - stock.adobe.com

Overwegingen

Ben je van plan om een warmwaterkraan zoals een Quooker aan te schaffen? Houd dan wel rekening met een aantal zaken. Om te beginnen de aanschafprijs, maar ook de manier waarop een Quooker in je keuken wordt geïnstalleerd. Er moet immers extra ruimte onder de gootsteen worden vrijgemaakt, en dat is nu eenmaal niet zomaar in elke keuken mogelijk.

Welk systeem het best past, hangt af van je wensen en je keuken. Wil je alleen kokend water? Dan is de compacte PRO3 op zich afdoende. Heb je een lange wachttijd op warm water, dan zijn de COMBI of COMBI+ de slimste keuzes. Met de CUBE heb je meteen ook gekoeld en bruisend water tot je beschikking; ideaal als je minder plastic flessen wilt gebruiken. De Quooker biedt dus veel gemak, veiligheid en duurzaamheid. Een goede investering voor je keuken!

Nu de herfst inzet is dit hét moment om je huis winterklaar te maken. Ramen nog even goed lappen vóór de natte kou, de dakgoot ontdoen van bladeren zodat het water vrij wegloopt… Met het WOLF-Garten multi-star systeem heb je daar geen ladder voor nodig: je klikt gewoon het opzetstuk dat je nodig hebt op de uitschuifbare Variosteel en je kunt overal bij. Wij mogen twee sets weggeven.

Wat zit er in de set

De Variosteel ZM-V4 (220–400 cm) klikt stevig vast op verschillende opzetkoppen. In totaal zijn er ruim 70 opzetstukken; daarvan zitten er vier in de set die je kunt winnen. Voor glaswerk is er de raamwasser (EW-M), een brede mop met verstelbare kop die ook handig is bij schuine ruiten of zonnepanelen. Voor een streeploos resultaat gebruik je de raamreiniger (KW-M/ZM015), waarbij mop en wisser in één zijn gecombineerd. Stofnesten en spinnenwebben verwijder je met de flexibele ragebol (BM 25 M); de kop buigt mee zodat je boven kozijnen en in hoeken komt zonder dat je op een ladder hoeft te staan. Voor het schoonmaken van de dakgoot gebruik je de twee-in-een dakgootreiniger (GC-M): eerst bladeren en vuil losvegen, daarna eenvoudig uitscheppen. Alle opzetstukken klik je op dezelfde steel, waarmee je zowel hoog als laag werkt.

➡️ Zo haal je het meest uit de opzetstukken
Begin bij ramen altijd met twee emmers: één met schoon sop en één met helder water. Maak het raam nat met de mop en spoel die tussendoor uit in schoon water. Werk daarna in rustige horizontale banen met de wisser en droog de onderste kozijnrand direct af met een doek. Zo voorkom je druipers en blijft het glas streeploos schoon. Doe dit liever niet in volle zon, want dan droogt het water te snel op en krijg je sneller waas.

Voor de dakgoot kies je een droge dag. Zet de steel zo lang dat je recht kunt blijven staan en niet hoeft te reiken. Veeg eerst bladeren en takjes los met de borstelzijde van de GC-M en schep het vuil daarna uit de goot. Controleer meteen de afvoerpijp door er wat water in te gieten, zodat je zeker weet dat alles goed doorloopt. Draag handschoenen; niet alleen om te voorkomen dat je vieze handen krijgt, maar ook omdat er scherpe takjes of steentjes in de modder kunnen zitten. Kijk tot slot of er nergens nog vuil of takjes zijn achtergebleven, zodat de goot ook bij de eerste najaarsstorm goed blijft doorstromen.

©AK | ID.nl

Met de ragebol werk je van boven naar beneden. Klap de kop iets schuin en laat de borstel het werk doen; hard duwen vervormt de vezels en haalt minder weg. Ga een dag later nog een keer langs de buitenlampen en camera's: spinnen komen snel terug, een tweede ronde houdt het langer netjes.

➡️ Onderhoud en veiligheid

Spoel moppen en borstels na gebruik met lauwwarm water uit en laat ze volledig drogen. Bewaar de steel en koppelingen vorstvrij en zandvrij, dan klikken ze soepel en gaan ze lang mee. Kies altijd de kortst mogelijke steellengte die de klus toelaat; hoe korter, hoe lichter en stabieler het werkt.

➡️ Maak kans op een WOLF-Garten multi-star systeem schoonmaakset
Wil jij zo'n mooie set ter waarde van 216 euro winnen? We geven er twee weg. Wat moet je doen?

Beantwoord de volgende vraag: Wat is jouw grootste hilarische schoonmaakdrama ooit (trapje instabiel, emmer omgevallen, enzovoort)?

Stuur je antwoord naar wolf@id.nl. Meedoen kan tot en met zondag 21 september. De twee origineelste inzendingen winnen. Prijswinnaars krijgen automatisch bericht.