Er zijn heel wat tools waarmee je (online) rekenwerk kunt verrichten, maar weinige zijn zo veelzijdig als GeoGebra. De naam is een samentrekking van de woorden geometrie en algebra, het is zowel online beschikbaar als via apps voor vrijwel elk platform.

GeoGebra heeft een lange geschiedenis die meer dan twintig jaar teruggaat. Het project werd ooit opgezet om het leren en onderwijzen van met name algebra en meetkunde te vereenvoudigen, maar is vanwege zijn vele gereedschappen ook zeer geschikt om zelf allerlei (reken)problemen mee op te lossen. Bovendien is GeoGebra door de jaren uitgebreid naar nog meer wiskundige vakgebieden, zoals statistiek en analyse.

Korte rondleiding

De thuisbasis van GeoGebra is www.geogebra.org. Als de site niet standaard in het Nederlands verschijnt, kun je onderaan de pagina op de wereldbol klikken. Je kunt dan de gewenste taal selecteren.

Op de site vind je verschillende modules die je los of gecombineerd kunt gebruiken. Zo is er de 3D Rekenmachine voor het maken van 3D-grafieken, de Grafische rekenmachine voor het maken van 2D-grafieken, de Wetenschappelijke rekenmachine voor het maken van (wiskundige) berekeningen en de CAS Rekenmachine voor 2D-grafieken en algebra. De Rekenmachine suite combineert deze modules en voegt daar kansberekening aan toe.

Daarnaast vind je op de hoofdpagina links naar GeoGebra Klassiek, de oorspronkelijke combinatie van meetkunde en algebra, het onderdeel Meetkunde, dat zich specifiek richt op het oplossen van meetkundige vraagstukken en het Notitieblok, waarmee je illustraties kunt maken.

Met het onderdeel Toetsen kunnen docenten examenvragen maken die offline kunnen worden gebruikt en tot slot heb je toegang tot heel veel lesmateriaal en bronnen voor het leren werken met GeoGebra.

Meetkunde

De Griekse wiskundige Euclides leefde zo’n 2300 jaar geleden en is vooral bekend van De Elementen, een serie geschriften waarin hij onder andere in Boek 1 de basisbeginselen van de zogeheten vlakke meetkunde uitwerkt. Hierin bewijst hij vanuit een vijftal vooronderstellingen (axioma’s) allerlei zaken over lijnen, cirkels, driehoeken enzovoort. De manier waarop hij dat deed, staat sindsdien model voor het uitbreiden van kennis door middel van logisch redeneren en daarom vormde De Elementen zo’n 2000 jaar lang (!) verplicht studiemateriaal voor iedereen die een hogere opleiding volgde en is het nog altijd goede kost om de geest te scherpen.

Eén van de te bewijzen stellingen over gelijkzijdige driehoeken in het begin van De Elementen (Propositie 5) werd bekend onder de naam Pons Asinorum, Latijn voor ezelsbrug. Waar dat bij ons een mentaal hulpmiddel betekent, staat het oorspronkelijk juist voor een probleem dat bepaalde of je slim genoeg was om door te gaan.

Constructie

De klassieke meetkunde van Euclides maakt gebruik van constructies met een passer en een liniaal. Die laatste dient alleen voor het tekenen van rechte lijnen en heeft geen maatstrepen. Het zal je verbazen hoeveel Euclides (en zijn navolgers in latere eeuwen) met die eenvoudige gereedschappen kon ontdekken. In het onderdeel Meetkunde van GeoGebra kun je zelf aan de slag met een digitale passer en liniaal.

Objecten

In het venster links zie je onder Basisknoppen een handvol objecten die je kunt maken. Met Punt, Lijnstuk, Lijn en Cirkel bewijst Euclides hoe je bijvoorbeeld een lijnstuk in twee gelijke delen kunt delen. Om zo’n middelpunt in latere constructies niet telkens opnieuw te hoeven maken, kun je dit soort meer geavanceerde objecten in Meetkunde ook in één keer maken. Klik daarvoor op Meer. Behalve Constructies kun je ook andere elementen toevoegen, zoals tekst. Scrol je naar beneden dan kun je nogmaals op Meer klikken voor extra mogelijkheden.

Voorbeeld

Klik op Nieuw punt en klik vervolgens op drie verschillende plekken in het rechterschermdeel. Zoals je ziet, worden de drie punten die je daarmee hebt geplaatst naar goed meetkundig gebruik automatisch van een letter voorzien. Kies nu Lijnstuk onder Basisknoppen en klik op punt A. Klik vervolgens op punt B. A en B zijn nu verbonden. Maak op dezelfde manier de driehoek af.

Klik nu onder Constructies op Midden of middelpunt en klik vervolgens op een willekeurige plek op elk van de drie lijnen. Het programma plaatst nu in elk daarvan een middelpunt en voorziet ook die van een letter.

Kies nu Cirkel met middelpunt onder Basisknoppen. Klik op punt A en punt E om een cirkel te maken met straal AE. Doe hetzelfde voor C en F en voor B en D.

Opmaak

Klik je onder Basisknoppen op Verplaatsen, dan kun je elk van de oorspronkelijke (blauwe) punten verslepen. Daarbij blijven de eigenschappen van je constructie in stand. De cirkel door E met middelpunt A blijft dus door E gaan, ook als je A verplaatst.

Klik je onder Bewerken op Selecteer object, dan kun je lijnen, cirkels en dergelijke selecteren. Klik bijvoorbeeld op één van de cirkels. Er verschijnt nu een pop-upmenu met vier pictogrammen.

De eerste drie geven snel toegang tot Kleuren, Labels en Verwijderen, maar de vierde (de drie puntjes) is het krachtigst. Hiermee krijg je via Instellingen toegang tot álle mogelijkheden, variërend van het kiezen van een vaste kleur tot zeer geavanceerde mogelijkheden, zoals kleuren op basis van berekeningen en het maken van scripts.

Gewapend met deze kennis kun je zelf de meest ingewikkelde constructies maken en meetkundige problemen oplossen.

Tabblad Algebra

Uiterst links is standaard het tabblad Macro’s geselecteerd, waarin je de elementen voor je constructie kunt kiezen, aanpassen en verwijderen. Daarnaast is er het tabblad Algebra. Die naam is op het eerste gezicht wat verwarrend, want wat je er ziet is de geschiedenis van een constructie die je hebt gemaakt. Helemaal onderaan zie je ook een zwart pictogram in de vorm van een klein toetsenbord. Daarmee open je een toetsenbord met meerdere tabs waarmee je berekeningen en allerlei geavanceerde functies aan je constructie kunt toevoegen. Klik daarvoor op de drie puntjes boven het toetsenbord. Je ziet dan een helpfunctie met alle concepten die het programma kent. Klik je op een concept, dan verschijnen links daarvan één of meer commando’s. Klik je daarop, dan wordt of worden deze aan je lijst met constructiestappen toegevoegd.

Instellingen

Rechtsboven in het tekenscherm vinden we achter het tandwielpictogram de nodige nuttige instellingen. Bij traditionele meetkunde worden geen roosters gebruikt, maar bij veel andere varianten wel. Ook zijn assen en roosters handig wanneer je constructietekeningen met bekende afstanden wilt maken. Hier kun je niet alleen assen en roosters inschakelen, maar ook het rooster magnetisch maken, zodat punten die je plaatst altijd exact samenvallen met roosterpunten. Via Instellingen kun je bovendien de eigenschappen van assen en roosters aanpassen.

Ook zie je in het menu Wis spoor. Wanneer je een punt in je constructie selecteert, dan kun je namelijk aangeven dat GeoGebra een spoor moet tekenen wanneer het direct of indirect wordt verplaatst. Dit is de plek om dat spoor weer op te ruimen.

Menu

Linksboven (drie streepjes) vind je het menu van GeoGebra. Hier kun je het eindresultaat van een constructie als afbeelding opslaan of afdrukken. Je kunt je werk ook online opslaan. Daardoor kun je er op een later tijdstip ook vanaf een ander platform verder aan werken en als je het werkstuk openbaar maakt, kunnen andere gebruikers stap voor stap je constructie volgen. Dit is het educatieve aspect van GeoGebra waarop we in de paragraaf 'Educatie' nog terugkomen. Je kunt je werk ook privé opslaan. Om je werk lokaal te kunnen opslaan, moet je eerst een gratis account aanmaken.

Kies je in dit menu Open, dan krijg je niet alleen toegang tot je eigen werk, maar ook de tot het vele materiaal dat anderen gemaakt hebben.

CAS Rekenmachine

We keren terug naar de startpagina van GeoGebra en nemen nu een kijkje bij de CAS Rekenmachine (CAS staat voor Computer Algebra Systeem).

Ditmaal komen we terecht in een scherm dat doet denken aan het scherm van het onderdeel Meetkunde, zoals we dat op het laatst hadden ingericht, dus met assen, een rooster en een toetsenbord voor het invoeren van formules. Wat anders is zijn de tabbladen; hier Algebra en Tabel. In dit onderdeel kunnen we onder andere 2D-grafieken maken.

Voorbeeldgrafiek

Klik op het toetsenbordje op de x en op het pictogram daaronder om een kwadraat te maken. Klik vervolgens op +, op y en nogmaals op het Kwadraat-pictogram. Klik tot slot op = en 1 en toets Enter. Er verschijnt een kleine cirkel met straal 1.

Om de cirkel wat groter te maken, kun je inzoomen met het muiswiel of met het Zoom-pictogram rechtsonder.

Links zie je de formule die je hebt ingevoerd (de impliciete vergelijking voor een cirkel). Klik op de drie puntjes erachter en kies Dupliceer invoer. Klik op de tweede formule en verander beide kwadraten in een 4. Na een druk op Enter wordt de nieuwe grafiek getekend die het midden houdt tussen een vierkant en een cirkel. Klik op deze grafiek en klik op het Kleur-pictogram (verf-emmertje). Klik op rood en vervolgens op een lege plek en je hebt twee verschillend gekleurde grafieken.

Klik nu op het tabblad Tabel. Hierin staat de linkerkolom voor x-waarden en de rechter voor y-waarden. Hier kun je uitsluitend getallen invoeren en dit deel gebruik je om bijvoorbeeld een grafiek van de gemeten gegevens te maken.

Klik je op de drie puntjes in de y-kolom dan kun je via Regressie je meetpunten automatisch verbinden.

Het maken van grafieken vormt slechts een klein deel van de mogelijkheden van de CAS Rekenmachine. Je kunt hier bijvoorbeeld ook afgeleiden en integralen berekenen.

3D

Waar we met (onder andere) de CAS Rekenmachine grafieken in het platte vlak kunnen maken, gaan we met de 3D Rekenmachine de ruimte in. De bediening lijkt op die van de eerder besproken onderdelen.

In CAS kun je 2D-grafieken maken op basis van een functie van x of van parametrische vergelijkingen. Ook kun je werken met impliciete vergelijkingen (zoals wij in ons voorbeeld deden) en kun je naast rechthoekige coördinaten ook werken met poolcoördinaten. De 3D-tegenhanger ondersteunt ook al deze varianten, waarbij je in plaats van poolcoördinaten kunt kiezen voor cilindrische of bolcoördinaten.

3D Voorbeeld

Op basis van het 2D-voorbeeld weet je inmiddels hoe je een formule kunt invoeren. In de 3D Rekenmachine kiezen we voor 4x2+y2+z2=16. Na een druk op de Enter-knop verschijnt de grafiek.

In de 3D Rekenmachine kun je niet alleen grafieken maken op basis van formules. In het tabblad Knoppen vind je namelijk ook allerlei objecten. Om ze allemaal te zien, moet je op Meer klikken. Klik bijvoorbeeld op Piramide, klik vervolgens op vier punten op de x- en y- as (in het grondvlak, bijvoorbeeld (4,0,0), (0,6,0), (-4,0,0) en (0,-6,0)). Klik tot slot op de z-as op het punt (0,0,4) en daar is je piramide.

Ook nu kun je het uiterlijk van alles wat je maakt weer volop naar je hand zetten.

Apps

De web-versies van de verschillende onderdelen van GeoGebra werken uitstekend, maar werk je liever lokaal, dan kan dat ook. Op deze pagina vind je alle modules als download voor Windows. Verschillende zijn ook beschikbaar voor macOS en de oerversie GeoGebra Classic is er bovendien voor Linux.

Alle modules zijn daarnaast beschikbaar voor iOS en Android. Zoek je in de appstore voor een van beide op het trefwoord 'geogebra', dan vind je alle beschikbare producten. 

Educatie

Omdat je het werk dat je maakt met GeoGebra online kunt opslaan en kunt delen, biedt de website een gigantische hoeveelheid voorbeelden om mee te spelen. Op de startpagina van GeoGebra zie je de rubriek Aanbevolen materiaal en klik je daarachter op Alle dan kom je op een pagina waar je door het complete aanbod kunt bladeren.

Onder de voorbeelden onder Aanbevolen materiaal (verdeeld over verschillende niveaus), vind je een zoekboom waarmee je door verschillende disciplines binnen de wiskunde kunt bladeren. Klik bijvoorbeeld op Algebra. Zoals je ziet, kun je ook daarbinnen weer navigeren, bijvoorbeeld door te klikken op Breuken. Je ziet nu alle openbare bestanden binnen dat thema. We openen Breuken optellen (niveau 3). Dit werkblad is een typisch voorbeeld van een overhoring en daarom kun je het niet aanpassen. Er zijn ook vele werkbladen waar je wel onder de motorkap kunt kijken om meer de leren over de vele mogelijkheden van GeoGebra.

Zelf leren

We hebben maar een fractie van de vele mogelijkheden kunnen bespreken die GeoGebra en zijn verschillende modules te bieden hebben. Klik je vanaf de startpagina op Toon alle achter Initiatiehandleidingen, dan kom je op een pagina met een dertigtal boeken waarmee je zelfs de meest geavanceerde technieken leert om niet alleen berekeningen te maken, maar ook je eigen gebruikersinterfaces te bouwen.

De taakbalk is ook in Windows 11 de plaats waar je je favoriete apps vastmaakt. Wist je dat het zelfs mogelijk is om mappen die je vaak gebruikt toe te voegen? Handig als je regelmatig dezelfde mappen nodig hebt, zoals Downloads of een projectmap. Op die manier hoef je niet eerst langs de Verkenner en open je de map met slechts één klik.

Maak een snelkoppeling van de map

Als je zomaar een map op de taakbalk probeert te slepen, zul je merken dat je de map op die manier niet kunt vastmaken. Eerst moet je een snelkoppeling op het bureaublad plaatsen. Klik daarom met de rechtermuisknop op een lege plek van het bureaublad en kies in het contextmenu de opdracht Nieuw / Snelkoppeling. In de pop-up Snelkoppeling maken moet je eerst de locatie van het item opgeven. Klik hiervoor op Bladeren en navigeer naar de map die je straks wilt vastmaken. Dit werkt met iedere lokale map, maar ook met mappen die op OneDrive staan. Selecteer de gewenste map. De locatie verschijnt vervolgens in het locatieveld van de nieuwe snelkoppeling.

Voeg explorer.exe toe

In dit veld moet je nog een aanpassing doen: typ vóór het pad naar de map explorer.exe gevolgd door een spatie. Het pad naar de map zelf plaats je tussen aanhalingstekens. De locatie van de map Downloads wordt dan bijvoorbeeld explorer.exe "C:\Users\username\Downloads" en van de map Muziek: explorer.exe "C:\Users\username\Muziek". Vervang uiteraard username door je eigen gebruikersnaam in Windows. Klik daarna op Volgende en geef de snelkoppeling een duidelijke naam. Rond af met Voltooien.

Aan de taakbalk vastmaken

Klik daarna opnieuw met de rechtermuisknop op de nieuwe snelkoppeling. In het menu kies je Meer opties weergeven en vervolgens Aan taakbalk vastmaken. Vanaf nu staat de map netjes op de taakbalk. Als je met de muis over het pictogram beweegt, verschijnt de naam van de map. Klik je erop, dan wordt de map geopend in Windows Verkenner. Wil je de map later weer losmaken van de taakbalk, klik dan met de rechtermuisknop op het pictogram en kies Van taakbalk losmaken.

Ieder jaar schakelen duizenden mensen in voor de Super Bowl - de afsluiting van het Amerikaanse Football-seizoen. Het draait alleen niet voor iedereen om de sport. Nee, in de pauze wordt de uitzending namelijk overladen met trailers van aankomende films, series en absurde advertenties met verschillende beroemdheden. Afgelopen nacht was het weer raak, dus wij hebben de trailers en grappigste advertenties voor je op een rij gezet.

The Mandalorian and Grogu eert Super Bowl-advertenties

Star Wars is inmiddels al bijna zeven afwezig in de bioscopen, maar op 20 mei van dit jaar komt daar eindelijk verandering in. Din Djarin en Grogu uit de Disney+-serie The Mandalorian maken hun debuut op het witte doek. In de film werkt de titulaire Mandalorian samen met de New Republic om de restanten van het kwaadaardige Galactic Empire op te ruimen, terwijl zijn adoptieve zoontje Grogu - Baby Yoda in de volksmond - om leert gaan met zijn magische Force-krachten. Tijdens de Super Bowl werd een korte promotievideo getoond, die net als de film geregisseerd is door Jon Favreau en lijkt een hommage aan klassieke Super Bowl-advertenties voor trucks en bier te zijn.

The Super Mario Galaxy Movie refereert aan Super Mario Odyssey

Nintendo was ook aanwezig tijdens de Super Bowl, met een korte teaser van The Super Mario Galaxy Movie - mede geproduceerd door de animatiestudio Illumination. In de teaser zien we babyversies van Mario en Luigi samen met Toad en Yoshi, en een T-Rex in een oerwoud. Naast dat de dinosaurus erg vergelijkbaar met de T-Rex uit Jurassic Park klinkt, is dit tafereel ook een referentie naar een moment Super Mario Odyssey. Daarin kan de speler controle nemen over eenzelfde soort dino. Hoewel de Super Mario Galaxy Movie vernoemd is naar de games die zich voornamelijk in de ruimte afspelen, haalt de film dus ook elementen uit andere Mario-games aan. Vanaf 1 april is de film te zien. 

Disclosure Day toont paranoia en hint naar aliens

Steven Spielberg is terug met een nieuwe sciencefictionfilm in Disclosure Day, met een sterk geladen cast in Josh O’Conner, Emily Blunt, Colin Firth, Colman Domingo en Eve Hewson. De film lijkt te gaan over het bestaan van aliens, dat langzaam maar zeker bekend wordt voor de mensen op aarde. Sommigen, met meer kennis over de zaak, willen het bestaan van de buitenaardse wezens echter in één klap aan de wereld bekendmaken. Disclosure Day draait vanaf 12 juni in de bioscoop. 

Zie Brad Pitt in The Adventures of Cliff Booth

Quentin Tarantino is bijna toe aan het maken van zijn laatste film, maar personages die hij eerder heeft gemaakt worden nog onder handen genomen door andere creatievelingen. David Fincher bijvoorbeeld, die een Netflix-serie rondom het personage Cliff Booth uit Once Upon a Time In Hollywood regisseert op basis van scripts die zijn geschreven door Tarantino. De serie speelt zich na de gebeurtenissen van de film af, en Brad Pitt kruipt weer in de rol van Booth - een stuntman in Hollywood die nu in de penarie zit.

Minions and Monsters komt ook dit jaar 

De inmiddels iconische gele mannetjes uit de Despicable Me-films zijn ook terug voor een nieuwe ‘solo’-film, al is Minions and Monsters niet per se een vervolg op de eerste twee Minions-films. In dit deel werkt een groep minions als monsters op een filmset, totdat ze het idee krijgen om zelf een monsterfilm te maken. Het enige probleem is dat ze geen monsters hebben, dus daar gaan ze naar op zoek in de vorm van onder andere een mini-Cthulhu, een mummie en meer. De film van Illumination komt op 1 juli uit in de bioscoop, maar vier maanden nadat de studio ook The Super Mario Galaxy Movie aanlevert. 

Laatste trailer van Project Hail Mary is geland

Phil Lord en Christopher Miller, het regieduo dat onder andere bekendstaat om hun werk aan de Spider-Verse-films, komt dit jaar ook met een spiksplinternieuwe blockbuster. Project Hail Mary is een sciencefictionverhaal gebaseerd op het gelijknamige boek van Andy Weir - tevens de schrijver van The Martian, waar in 2015 ook een film van uitkwam. Deze laatste trailer toont onder andere meer van de relatie tussen Ryan Goslings personage en een alien genaamd Rocky, alsmede verschillende kleurrijke shots in de ruimte. Goed om te benoemen is dat de cinematografie van de film verzorgd is door Greig Fraser, die bekendstaat om het in beeld brengen van The Batman en Denis Villeneuve’s Dune-films. 

Meer teasers voor Supergirl, Scream 7 en Hoppers

Dan zijn er tijdens de Super Bowl ook nog korte teasers uitgebracht voor de aankomende Pixar-film Hoppers en de horrorfranchise Scream, die inmiddels toe is aan een zevende deel. Ook werd een nieuwe teaser voor Supergirl uitgebracht tijdens de Puppy Bowl - een soort parodie op de Super Bowl, maar met honden. 

Deze advertenties werden getoond tijdens de Super Bowl

De terugkeer van Jurassic Park met Xfinity

Het telecombedrijf Xfinity heeft voor de Super Bowl een promotievideo geproduceerd waarin Sam Neill, Jeff Goldblum en Laura Dern hun respectievelijke rollen van Alan Grant, Ian Malcolm en Ellie Sadler uit Jurassic Park weer vertolken. Ze spelen daarin verschillende scènes uit die film na, en ogen met behulp van de-aging-technologie jonger. 

Beroemdheden vieren Pokémons dertigste verjaardag

In een speciale promotievideo voor de dertigste verjaardag van de Pokémon-franchise dit jaar hebben verschillende bekendheden als Lady Gaga, Trevor Noah, Charles Leclerc en K-Pop-ster Jisoo het over hun favoriete Pokémon.

Ben Affleck doet een parodie op Good Will Hunting

Acteur Ben Affleck zet in 2026 zijn samenwerking met Dunkin’ Donuts ook door, dit jaar door Good Will Hunting - de film waarmee hij samen met Matt Damon doorbrak - op de hak te zetten. De promovideo is geschoten als een sitcom genaamd Good Will Dunkin’, en toont Affleck met andere bekende sitcom-acteurs als Jennifer Anniston, Matt Leblanc en Alfonso Ribiero