Er zijn heel wat tools waarmee je (online) rekenwerk kunt verrichten, maar weinige zijn zo veelzijdig als GeoGebra. De naam is een samentrekking van de woorden geometrie en algebra, het is zowel online beschikbaar als via apps voor vrijwel elk platform.

GeoGebra heeft een lange geschiedenis die meer dan twintig jaar teruggaat. Het project werd ooit opgezet om het leren en onderwijzen van met name algebra en meetkunde te vereenvoudigen, maar is vanwege zijn vele gereedschappen ook zeer geschikt om zelf allerlei (reken)problemen mee op te lossen. Bovendien is GeoGebra door de jaren uitgebreid naar nog meer wiskundige vakgebieden, zoals statistiek en analyse.

Korte rondleiding

De thuisbasis van GeoGebra is www.geogebra.org. Als de site niet standaard in het Nederlands verschijnt, kun je onderaan de pagina op de wereldbol klikken. Je kunt dan de gewenste taal selecteren.

Op de site vind je verschillende modules die je los of gecombineerd kunt gebruiken. Zo is er de 3D Rekenmachine voor het maken van 3D-grafieken, de Grafische rekenmachine voor het maken van 2D-grafieken, de Wetenschappelijke rekenmachine voor het maken van (wiskundige) berekeningen en de CAS Rekenmachine voor 2D-grafieken en algebra. De Rekenmachine suite combineert deze modules en voegt daar kansberekening aan toe.

Daarnaast vind je op de hoofdpagina links naar GeoGebra Klassiek, de oorspronkelijke combinatie van meetkunde en algebra, het onderdeel Meetkunde, dat zich specifiek richt op het oplossen van meetkundige vraagstukken en het Notitieblok, waarmee je illustraties kunt maken.

Met het onderdeel Toetsen kunnen docenten examenvragen maken die offline kunnen worden gebruikt en tot slot heb je toegang tot heel veel lesmateriaal en bronnen voor het leren werken met GeoGebra.

Meetkunde

De Griekse wiskundige Euclides leefde zo’n 2300 jaar geleden en is vooral bekend van De Elementen, een serie geschriften waarin hij onder andere in Boek 1 de basisbeginselen van de zogeheten vlakke meetkunde uitwerkt. Hierin bewijst hij vanuit een vijftal vooronderstellingen (axioma’s) allerlei zaken over lijnen, cirkels, driehoeken enzovoort. De manier waarop hij dat deed, staat sindsdien model voor het uitbreiden van kennis door middel van logisch redeneren en daarom vormde De Elementen zo’n 2000 jaar lang (!) verplicht studiemateriaal voor iedereen die een hogere opleiding volgde en is het nog altijd goede kost om de geest te scherpen.

Eén van de te bewijzen stellingen over gelijkzijdige driehoeken in het begin van De Elementen (Propositie 5) werd bekend onder de naam Pons Asinorum, Latijn voor ezelsbrug. Waar dat bij ons een mentaal hulpmiddel betekent, staat het oorspronkelijk juist voor een probleem dat bepaalde of je slim genoeg was om door te gaan.

Constructie

De klassieke meetkunde van Euclides maakt gebruik van constructies met een passer en een liniaal. Die laatste dient alleen voor het tekenen van rechte lijnen en heeft geen maatstrepen. Het zal je verbazen hoeveel Euclides (en zijn navolgers in latere eeuwen) met die eenvoudige gereedschappen kon ontdekken. In het onderdeel Meetkunde van GeoGebra kun je zelf aan de slag met een digitale passer en liniaal.

Objecten

In het venster links zie je onder Basisknoppen een handvol objecten die je kunt maken. Met Punt, Lijnstuk, Lijn en Cirkel bewijst Euclides hoe je bijvoorbeeld een lijnstuk in twee gelijke delen kunt delen. Om zo’n middelpunt in latere constructies niet telkens opnieuw te hoeven maken, kun je dit soort meer geavanceerde objecten in Meetkunde ook in één keer maken. Klik daarvoor op Meer. Behalve Constructies kun je ook andere elementen toevoegen, zoals tekst. Scrol je naar beneden dan kun je nogmaals op Meer klikken voor extra mogelijkheden.

Voorbeeld

Klik op Nieuw punt en klik vervolgens op drie verschillende plekken in het rechterschermdeel. Zoals je ziet, worden de drie punten die je daarmee hebt geplaatst naar goed meetkundig gebruik automatisch van een letter voorzien. Kies nu Lijnstuk onder Basisknoppen en klik op punt A. Klik vervolgens op punt B. A en B zijn nu verbonden. Maak op dezelfde manier de driehoek af.

Klik nu onder Constructies op Midden of middelpunt en klik vervolgens op een willekeurige plek op elk van de drie lijnen. Het programma plaatst nu in elk daarvan een middelpunt en voorziet ook die van een letter.

Kies nu Cirkel met middelpunt onder Basisknoppen. Klik op punt A en punt E om een cirkel te maken met straal AE. Doe hetzelfde voor C en F en voor B en D.

Opmaak

Klik je onder Basisknoppen op Verplaatsen, dan kun je elk van de oorspronkelijke (blauwe) punten verslepen. Daarbij blijven de eigenschappen van je constructie in stand. De cirkel door E met middelpunt A blijft dus door E gaan, ook als je A verplaatst.

Klik je onder Bewerken op Selecteer object, dan kun je lijnen, cirkels en dergelijke selecteren. Klik bijvoorbeeld op één van de cirkels. Er verschijnt nu een pop-upmenu met vier pictogrammen.

De eerste drie geven snel toegang tot Kleuren, Labels en Verwijderen, maar de vierde (de drie puntjes) is het krachtigst. Hiermee krijg je via Instellingen toegang tot álle mogelijkheden, variërend van het kiezen van een vaste kleur tot zeer geavanceerde mogelijkheden, zoals kleuren op basis van berekeningen en het maken van scripts.

Gewapend met deze kennis kun je zelf de meest ingewikkelde constructies maken en meetkundige problemen oplossen.

Tabblad Algebra

Uiterst links is standaard het tabblad Macro’s geselecteerd, waarin je de elementen voor je constructie kunt kiezen, aanpassen en verwijderen. Daarnaast is er het tabblad Algebra. Die naam is op het eerste gezicht wat verwarrend, want wat je er ziet is de geschiedenis van een constructie die je hebt gemaakt. Helemaal onderaan zie je ook een zwart pictogram in de vorm van een klein toetsenbord. Daarmee open je een toetsenbord met meerdere tabs waarmee je berekeningen en allerlei geavanceerde functies aan je constructie kunt toevoegen. Klik daarvoor op de drie puntjes boven het toetsenbord. Je ziet dan een helpfunctie met alle concepten die het programma kent. Klik je op een concept, dan verschijnen links daarvan één of meer commando’s. Klik je daarop, dan wordt of worden deze aan je lijst met constructiestappen toegevoegd.

Instellingen

Rechtsboven in het tekenscherm vinden we achter het tandwielpictogram de nodige nuttige instellingen. Bij traditionele meetkunde worden geen roosters gebruikt, maar bij veel andere varianten wel. Ook zijn assen en roosters handig wanneer je constructietekeningen met bekende afstanden wilt maken. Hier kun je niet alleen assen en roosters inschakelen, maar ook het rooster magnetisch maken, zodat punten die je plaatst altijd exact samenvallen met roosterpunten. Via Instellingen kun je bovendien de eigenschappen van assen en roosters aanpassen.

Ook zie je in het menu Wis spoor. Wanneer je een punt in je constructie selecteert, dan kun je namelijk aangeven dat GeoGebra een spoor moet tekenen wanneer het direct of indirect wordt verplaatst. Dit is de plek om dat spoor weer op te ruimen.

Menu

Linksboven (drie streepjes) vind je het menu van GeoGebra. Hier kun je het eindresultaat van een constructie als afbeelding opslaan of afdrukken. Je kunt je werk ook online opslaan. Daardoor kun je er op een later tijdstip ook vanaf een ander platform verder aan werken en als je het werkstuk openbaar maakt, kunnen andere gebruikers stap voor stap je constructie volgen. Dit is het educatieve aspect van GeoGebra waarop we in de paragraaf 'Educatie' nog terugkomen. Je kunt je werk ook privé opslaan. Om je werk lokaal te kunnen opslaan, moet je eerst een gratis account aanmaken.

Kies je in dit menu Open, dan krijg je niet alleen toegang tot je eigen werk, maar ook de tot het vele materiaal dat anderen gemaakt hebben.

CAS Rekenmachine

We keren terug naar de startpagina van GeoGebra en nemen nu een kijkje bij de CAS Rekenmachine (CAS staat voor Computer Algebra Systeem).

Ditmaal komen we terecht in een scherm dat doet denken aan het scherm van het onderdeel Meetkunde, zoals we dat op het laatst hadden ingericht, dus met assen, een rooster en een toetsenbord voor het invoeren van formules. Wat anders is zijn de tabbladen; hier Algebra en Tabel. In dit onderdeel kunnen we onder andere 2D-grafieken maken.

Voorbeeldgrafiek

Klik op het toetsenbordje op de x en op het pictogram daaronder om een kwadraat te maken. Klik vervolgens op +, op y en nogmaals op het Kwadraat-pictogram. Klik tot slot op = en 1 en toets Enter. Er verschijnt een kleine cirkel met straal 1.

Om de cirkel wat groter te maken, kun je inzoomen met het muiswiel of met het Zoom-pictogram rechtsonder.

Links zie je de formule die je hebt ingevoerd (de impliciete vergelijking voor een cirkel). Klik op de drie puntjes erachter en kies Dupliceer invoer. Klik op de tweede formule en verander beide kwadraten in een 4. Na een druk op Enter wordt de nieuwe grafiek getekend die het midden houdt tussen een vierkant en een cirkel. Klik op deze grafiek en klik op het Kleur-pictogram (verf-emmertje). Klik op rood en vervolgens op een lege plek en je hebt twee verschillend gekleurde grafieken.

Klik nu op het tabblad Tabel. Hierin staat de linkerkolom voor x-waarden en de rechter voor y-waarden. Hier kun je uitsluitend getallen invoeren en dit deel gebruik je om bijvoorbeeld een grafiek van de gemeten gegevens te maken.

Klik je op de drie puntjes in de y-kolom dan kun je via Regressie je meetpunten automatisch verbinden.

Het maken van grafieken vormt slechts een klein deel van de mogelijkheden van de CAS Rekenmachine. Je kunt hier bijvoorbeeld ook afgeleiden en integralen berekenen.

3D

Waar we met (onder andere) de CAS Rekenmachine grafieken in het platte vlak kunnen maken, gaan we met de 3D Rekenmachine de ruimte in. De bediening lijkt op die van de eerder besproken onderdelen.

In CAS kun je 2D-grafieken maken op basis van een functie van x of van parametrische vergelijkingen. Ook kun je werken met impliciete vergelijkingen (zoals wij in ons voorbeeld deden) en kun je naast rechthoekige coördinaten ook werken met poolcoördinaten. De 3D-tegenhanger ondersteunt ook al deze varianten, waarbij je in plaats van poolcoördinaten kunt kiezen voor cilindrische of bolcoördinaten.

3D Voorbeeld

Op basis van het 2D-voorbeeld weet je inmiddels hoe je een formule kunt invoeren. In de 3D Rekenmachine kiezen we voor 4x2+y2+z2=16. Na een druk op de Enter-knop verschijnt de grafiek.

In de 3D Rekenmachine kun je niet alleen grafieken maken op basis van formules. In het tabblad Knoppen vind je namelijk ook allerlei objecten. Om ze allemaal te zien, moet je op Meer klikken. Klik bijvoorbeeld op Piramide, klik vervolgens op vier punten op de x- en y- as (in het grondvlak, bijvoorbeeld (4,0,0), (0,6,0), (-4,0,0) en (0,-6,0)). Klik tot slot op de z-as op het punt (0,0,4) en daar is je piramide.

Ook nu kun je het uiterlijk van alles wat je maakt weer volop naar je hand zetten.

Apps

De web-versies van de verschillende onderdelen van GeoGebra werken uitstekend, maar werk je liever lokaal, dan kan dat ook. Op deze pagina vind je alle modules als download voor Windows. Verschillende zijn ook beschikbaar voor macOS en de oerversie GeoGebra Classic is er bovendien voor Linux.

Alle modules zijn daarnaast beschikbaar voor iOS en Android. Zoek je in de appstore voor een van beide op het trefwoord 'geogebra', dan vind je alle beschikbare producten. 

Educatie

Omdat je het werk dat je maakt met GeoGebra online kunt opslaan en kunt delen, biedt de website een gigantische hoeveelheid voorbeelden om mee te spelen. Op de startpagina van GeoGebra zie je de rubriek Aanbevolen materiaal en klik je daarachter op Alle dan kom je op een pagina waar je door het complete aanbod kunt bladeren.

Onder de voorbeelden onder Aanbevolen materiaal (verdeeld over verschillende niveaus), vind je een zoekboom waarmee je door verschillende disciplines binnen de wiskunde kunt bladeren. Klik bijvoorbeeld op Algebra. Zoals je ziet, kun je ook daarbinnen weer navigeren, bijvoorbeeld door te klikken op Breuken. Je ziet nu alle openbare bestanden binnen dat thema. We openen Breuken optellen (niveau 3). Dit werkblad is een typisch voorbeeld van een overhoring en daarom kun je het niet aanpassen. Er zijn ook vele werkbladen waar je wel onder de motorkap kunt kijken om meer de leren over de vele mogelijkheden van GeoGebra.

Zelf leren

We hebben maar een fractie van de vele mogelijkheden kunnen bespreken die GeoGebra en zijn verschillende modules te bieden hebben. Klik je vanaf de startpagina op Toon alle achter Initiatiehandleidingen, dan kom je op een pagina met een dertigtal boeken waarmee je zelfs de meest geavanceerde technieken leert om niet alleen berekeningen te maken, maar ook je eigen gebruikersinterfaces te bouwen.

Je staat in de parfumerie en ziet drie flacons die er bijna identiek uitzien. De naam is hetzelfde en het merk is hetzelfde, maar het prijsverschil tussen die drie is groot. Dat komt doordat er eigenlijk drie verschillende varianten zijn: parfum, eau de parfum en eau de toilette. Hoewel het verleidelijk is om simpelweg op het prijskaartje af te gaan, is het slim om te weten wat je precies koopt. De verschillen tussen die drie zijn namelijk groter dan je denkt. Hoe dat precies zit, lees je hier.

Om de juiste keuze te maken, moet je eerst begrijpen hoe een geur eigenlijk in elkaar zit. In de basis bestaat elk luchtje uit een mengsel van alcohol, water en geurstoffen (ook wel parfumolie genoemd). De alcohol fungeert als de drager: zodra je sprayt, verdampt de alcohol en blijven de geurstoffen achter op je huid. Het grote onderscheid tussen de verschillende varianten zit hem puur in de concentratie van die parfumolie. De vuistregel is simpel: hoe hoger het percentage geurstoffen, hoe intenser de geur is en hoe langer je er plezier van hebt.

Parfum (extrait de parfum)

Als we het in de volksmond hebben over 'parfum', bedoelen we vaak gewoon een lekker luchtje. Maar in de officiële termen is parfum (of extrait de parfum) de meest pure en kostbare variant die je kunt kopen. Met een concentratie aan geurstoffen die meestal tussen de 20 en 40 procent ligt, is dit de absolute topklasse.

Omdat de concentratie zo hoog is, bevat deze variant relatief weinig alcohol. Dit maakt puur parfum vaak een uitstekende keuze voor mensen met een gevoelige huid, omdat alcohol de huid kan uitdrogen. De geur is vol, diep en blijft met gemak de hele dag - en vaak zelfs de volgende ochtend nog - hangen. Je hebt er extreem weinig van nodig; vaak wordt parfum daarom niet in een sprayfles verkocht, maar in een klein flesje waarmee je een paar druppels op de huid dept.

Eau de parfum (EDP)

Kijk je in het badkamerkastje van de gemiddelde Nederlander, dan is de kans groot dat je daar een eau de parfum aantreft. Met een geurconcentratie van 15 tot 20 procent biedt deze variant de gulden middenweg. Het is minder zwaar en olieachtig dan puur parfum, maar krachtig genoeg om een hele werkdag of een avond uit mee te gaan. Meestal blijft een eau de parfum zo'n zes tot acht uur goed waarneembaar.

Eau de parfum richt zich vaak op de zogenoemde 'hartnoten' van een geur. Dit zijn de geuren die tevoorschijn komen nadat de eerste alcohol is verdampt. Hierdoor is de geur vaak wat dieper en warmer, wat hem geschikt maakt voor zowel dagelijks gebruik als speciale gelegenheden.

Eau de toilette (EDT)

De term 'eau de toilette' klinkt chique, maar betekent letterlijk 'toiletwater'. Dit stamt uit de tijd dat men deze geur gebruikte om zich in de ochtend mee op te frissen ('toilet maken'). Deze variant is met een percentage van 5 tot 15 procent geurstoffen een stuk lichter en vluchtiger dan (eau de) parfum.

Waar een eau de parfum de diepte in gaat, focust een eau de toilette zich meestal op de toptonen. Dit zijn vaak frisse citrus- of fruitgeuren die je direct ruikt bij het sprayen, maar die ook sneller vervliegen. Een eau de toilette blijft gemiddeld drie tot vijf uur hangen. Het is dan ook een goede keuze voor mensen die niet van zware, bedwelmende geuren houden, of voor gebruik op kantoor waar je je collega's niet wilt overweldigen. Houd er wel rekening mee dat je deze geur halverwege de dag waarschijnlijk even opnieuw moet aanbrengen.

Prijs versus kwaliteit: wat is nu echt goedkoper?

Het lijkt een simpele rekensom: een grote fles eau de toilette is aan de kassa vaak goedkoper dan een klein flesje eau de parfum. Toch kan die goedkopere fles op de lange termijn duurkoop zijn. Omdat eau de toilette sneller vervliegt, heb je de neiging om royaal te sprayen en dit gedurende de dag te herhalen. Hierdoor gaat de fles veel sneller leeg.

Bij een eau de parfum of puur parfum is de aanschafprijs hoger, maar heb je aan één keer een beetje aanbrengen in de ochtend vaak genoeg voor de hele dag. Je doet dus aanzienlijk langer met de flacon.

Wanneer draag je wat?

Als je twijfelt over welke variant je moet kopen, laat dit dan afhangen van het seizoen en de gelegenheid. Warmte versterkt namelijk geur. In de zomer, wanneer je huid warm is, kan een zwaar parfum al snel te overheersend en plakkerig aanvoelen. Een lichte, frisse eau de toilette is dan perfect. In de winter is het juist andersom: kou zorgt ervoor dat geuren minder goed vrijkomen en snel wegvallen. In die maanden, en zeker 's avonds tijdens een diner of feestje, komt een rijkere eau de parfum of parfum veel beter tot zijn recht.

Haal alles uit je geur

Heb je eenmaal je keuze gemaakt, dan wil je natuurlijk dat je zo lang mogelijk lekker ruikt. Een veelgemaakte fout is het wrijven van de polsen na het sprayen. Doe dit niet; door de wrijving creëer je warmte die de geurmoleculen kapotmaakt, waardoor vooral de frisse toptonen direct verdwijnen en de geur vlakker wordt.

Daarnaast hecht parfum slecht op een droge huid. Wil je dat je geur echt lang blijft hangen? Smeer je huid dan eerst in met een geurloze bodylotion of een crème uit dezelfde geurlijn voordat je gaat sprayen. De vetten in de crème houden de geurstoffen vast, zodat jij - of je nu kiest voor eau de toilette of parfum - de hele dag heerlijk ruikt.

Traditionele oordopjes sluiten luisteraars af van hun omgeving, maar JBL gooit het met zijn nieuwe Sense Pro over een andere boeg. Het minispeakertje van dit zogenoemde open ear-model bevindt zich namelijk pal voor jouw gehoorgang. Met name in het verkeer is dat wel zo veilig, want tijdens het luisteren hoor je óók omgevingsgeluid. We nemen de proef op de som.

De JBL Sense Pro is een interessant product voor mensen die reguliere oordopjes niet zo prettig vinden zitten. Je hoeft deze apparaatjes namelijk niet in je oor te proppen. Met behulp van flexibele siliconen oorhaken blijven ze goed op hun plek zitten. Dankzij het zachte materiaal ervaar je tijdens lange luistersessies niet zo gauw irritaties. De Sense Pro zit erg comfortabel in de ronding van je oor. Bedenk wel dat je deze in-ears bij bepaalde activiteiten enigszins voelt wiebelen, bijvoorbeeld wanneer je wild met je hoofd draait of tijdens het sporten. Logisch, want de behuizing zit tenslotte niet klem in jouw gehoorgang. Het is een kwestie van wennen.

©Maikel Dijkhuizen

Accu en bediening

Zodra deze bluetooth-oordopjes na enige oefening eenmaal goed op hun plek zitten, kan het luisteren beginnen. Met een luistertijd van ongeveer acht uur op een enkele batterijlading houdt de Sense Pro het lang vol. De inbegrepen oplaadcase bevat een accu met een capaciteit van nog eens dertig uur. Na slechts tien minuten opladen kunnen de oortjes er weer vier uur tegenaan. Kortom, je hebt onderweg of op afgelegen plekken niet zo snel te maken met lege accu's.

De IP54-gecertificeerde behuizing is spatwaterdicht. Laat ze in de regen dus lekker zitten. Het linker- en rechteroordopje bevatten een klein aanraakpaneeltje. Tik eenmaal aan de linkerkant om het volume harder te zetten en tik tweemaal voor een zachter geluid. Je raakt het rechteroordopje aan om muziek te pauzeren en liedjes te skippen. Via het bedieningspaneel beantwoord je ook nog inkomende oproepen. Voor handsfree gesprekken zijn er maar liefst vier microfoons ingebouwd. Al met al werkt de bediening prima, zodat je jouw smartphone in je zak of tas kunt laten zitten.

©Maikel Dijkhuizen

Gedetailleerd geluid

Op audiovlak heeft JBL zijn zaakjes goed voor elkaar. De Sense Pro levert een kraakhelder geluid met een hoge detaillering. Zelfs bij het luisteren van bombastische muziekstukken zijn alle instrumenten duidelijk te horen. Met de standaard geluidsinstellingen blijft het basniveau voor muziekgenres als hiphop en dance wel iets achter. Geen probleem, want in de JBL Headphones-app pas je het geluid naar eigen smaak aan. Activeer bijvoorbeeld de equalizerinstelling 'Bass' of zelfs 'Extreme Bass'.

Als je graag naar films en series kijkt, komt de ondersteuning voor ruimtelijk geluid goed van pas. Zet in dat geval de optie 'Spatial Sound' aan en ervaar meer audio-effecten. Een nadeel is dat personen in jouw omgeving het geluid afkomstig van de Sense Pro wellicht kunnen horen. Dat komt door de open constructie van de oordopjes. Overigens geldt dit met name wanneer je het volume hoog hebt staan.

©Maikel Dijkhuizen

JBL Sense Pro kopen?

Zoek je in-ears met een goed geluid die jouw oren niet volledig afsluiten van de omgeving? Als je de hoge adviesprijs van 179,99 euro voor lief neemt, bevelen we de JBL Sense Pro van harte aan. Deze oordopjes zitten comfortabel en laten zich eenvoudig bedienen. Bovendien bieden ze ook nog eens een hoge audiokwaliteit en lange accuduur. De Sense Pro is in vijf kleurstellingen te koop.