Er zijn heel wat tools waarmee je (online) rekenwerk kunt verrichten, maar weinige zijn zo veelzijdig als GeoGebra. De naam is een samentrekking van de woorden geometrie en algebra, het is zowel online beschikbaar als via apps voor vrijwel elk platform.

GeoGebra heeft een lange geschiedenis die meer dan twintig jaar teruggaat. Het project werd ooit opgezet om het leren en onderwijzen van met name algebra en meetkunde te vereenvoudigen, maar is vanwege zijn vele gereedschappen ook zeer geschikt om zelf allerlei (reken)problemen mee op te lossen. Bovendien is GeoGebra door de jaren uitgebreid naar nog meer wiskundige vakgebieden, zoals statistiek en analyse.

Korte rondleiding

De thuisbasis van GeoGebra is www.geogebra.org. Als de site niet standaard in het Nederlands verschijnt, kun je onderaan de pagina op de wereldbol klikken. Je kunt dan de gewenste taal selecteren.

Op de site vind je verschillende modules die je los of gecombineerd kunt gebruiken. Zo is er de 3D Rekenmachine voor het maken van 3D-grafieken, de Grafische rekenmachine voor het maken van 2D-grafieken, de Wetenschappelijke rekenmachine voor het maken van (wiskundige) berekeningen en de CAS Rekenmachine voor 2D-grafieken en algebra. De Rekenmachine suite combineert deze modules en voegt daar kansberekening aan toe.

Daarnaast vind je op de hoofdpagina links naar GeoGebra Klassiek, de oorspronkelijke combinatie van meetkunde en algebra, het onderdeel Meetkunde, dat zich specifiek richt op het oplossen van meetkundige vraagstukken en het Notitieblok, waarmee je illustraties kunt maken.

Met het onderdeel Toetsen kunnen docenten examenvragen maken die offline kunnen worden gebruikt en tot slot heb je toegang tot heel veel lesmateriaal en bronnen voor het leren werken met GeoGebra.

Meetkunde

De Griekse wiskundige Euclides leefde zo’n 2300 jaar geleden en is vooral bekend van De Elementen, een serie geschriften waarin hij onder andere in Boek 1 de basisbeginselen van de zogeheten vlakke meetkunde uitwerkt. Hierin bewijst hij vanuit een vijftal vooronderstellingen (axioma’s) allerlei zaken over lijnen, cirkels, driehoeken enzovoort. De manier waarop hij dat deed, staat sindsdien model voor het uitbreiden van kennis door middel van logisch redeneren en daarom vormde De Elementen zo’n 2000 jaar lang (!) verplicht studiemateriaal voor iedereen die een hogere opleiding volgde en is het nog altijd goede kost om de geest te scherpen.

Eén van de te bewijzen stellingen over gelijkzijdige driehoeken in het begin van De Elementen (Propositie 5) werd bekend onder de naam Pons Asinorum, Latijn voor ezelsbrug. Waar dat bij ons een mentaal hulpmiddel betekent, staat het oorspronkelijk juist voor een probleem dat bepaalde of je slim genoeg was om door te gaan.

Constructie

De klassieke meetkunde van Euclides maakt gebruik van constructies met een passer en een liniaal. Die laatste dient alleen voor het tekenen van rechte lijnen en heeft geen maatstrepen. Het zal je verbazen hoeveel Euclides (en zijn navolgers in latere eeuwen) met die eenvoudige gereedschappen kon ontdekken. In het onderdeel Meetkunde van GeoGebra kun je zelf aan de slag met een digitale passer en liniaal.

Objecten

In het venster links zie je onder Basisknoppen een handvol objecten die je kunt maken. Met Punt, Lijnstuk, Lijn en Cirkel bewijst Euclides hoe je bijvoorbeeld een lijnstuk in twee gelijke delen kunt delen. Om zo’n middelpunt in latere constructies niet telkens opnieuw te hoeven maken, kun je dit soort meer geavanceerde objecten in Meetkunde ook in één keer maken. Klik daarvoor op Meer. Behalve Constructies kun je ook andere elementen toevoegen, zoals tekst. Scrol je naar beneden dan kun je nogmaals op Meer klikken voor extra mogelijkheden.

Voorbeeld

Klik op Nieuw punt en klik vervolgens op drie verschillende plekken in het rechterschermdeel. Zoals je ziet, worden de drie punten die je daarmee hebt geplaatst naar goed meetkundig gebruik automatisch van een letter voorzien. Kies nu Lijnstuk onder Basisknoppen en klik op punt A. Klik vervolgens op punt B. A en B zijn nu verbonden. Maak op dezelfde manier de driehoek af.

Klik nu onder Constructies op Midden of middelpunt en klik vervolgens op een willekeurige plek op elk van de drie lijnen. Het programma plaatst nu in elk daarvan een middelpunt en voorziet ook die van een letter.

Kies nu Cirkel met middelpunt onder Basisknoppen. Klik op punt A en punt E om een cirkel te maken met straal AE. Doe hetzelfde voor C en F en voor B en D.

Opmaak

Klik je onder Basisknoppen op Verplaatsen, dan kun je elk van de oorspronkelijke (blauwe) punten verslepen. Daarbij blijven de eigenschappen van je constructie in stand. De cirkel door E met middelpunt A blijft dus door E gaan, ook als je A verplaatst.

Klik je onder Bewerken op Selecteer object, dan kun je lijnen, cirkels en dergelijke selecteren. Klik bijvoorbeeld op één van de cirkels. Er verschijnt nu een pop-upmenu met vier pictogrammen.

De eerste drie geven snel toegang tot Kleuren, Labels en Verwijderen, maar de vierde (de drie puntjes) is het krachtigst. Hiermee krijg je via Instellingen toegang tot álle mogelijkheden, variërend van het kiezen van een vaste kleur tot zeer geavanceerde mogelijkheden, zoals kleuren op basis van berekeningen en het maken van scripts.

Gewapend met deze kennis kun je zelf de meest ingewikkelde constructies maken en meetkundige problemen oplossen.

Tabblad Algebra

Uiterst links is standaard het tabblad Macro’s geselecteerd, waarin je de elementen voor je constructie kunt kiezen, aanpassen en verwijderen. Daarnaast is er het tabblad Algebra. Die naam is op het eerste gezicht wat verwarrend, want wat je er ziet is de geschiedenis van een constructie die je hebt gemaakt. Helemaal onderaan zie je ook een zwart pictogram in de vorm van een klein toetsenbord. Daarmee open je een toetsenbord met meerdere tabs waarmee je berekeningen en allerlei geavanceerde functies aan je constructie kunt toevoegen. Klik daarvoor op de drie puntjes boven het toetsenbord. Je ziet dan een helpfunctie met alle concepten die het programma kent. Klik je op een concept, dan verschijnen links daarvan één of meer commando’s. Klik je daarop, dan wordt of worden deze aan je lijst met constructiestappen toegevoegd.

Instellingen

Rechtsboven in het tekenscherm vinden we achter het tandwielpictogram de nodige nuttige instellingen. Bij traditionele meetkunde worden geen roosters gebruikt, maar bij veel andere varianten wel. Ook zijn assen en roosters handig wanneer je constructietekeningen met bekende afstanden wilt maken. Hier kun je niet alleen assen en roosters inschakelen, maar ook het rooster magnetisch maken, zodat punten die je plaatst altijd exact samenvallen met roosterpunten. Via Instellingen kun je bovendien de eigenschappen van assen en roosters aanpassen.

Ook zie je in het menu Wis spoor. Wanneer je een punt in je constructie selecteert, dan kun je namelijk aangeven dat GeoGebra een spoor moet tekenen wanneer het direct of indirect wordt verplaatst. Dit is de plek om dat spoor weer op te ruimen.

Menu

Linksboven (drie streepjes) vind je het menu van GeoGebra. Hier kun je het eindresultaat van een constructie als afbeelding opslaan of afdrukken. Je kunt je werk ook online opslaan. Daardoor kun je er op een later tijdstip ook vanaf een ander platform verder aan werken en als je het werkstuk openbaar maakt, kunnen andere gebruikers stap voor stap je constructie volgen. Dit is het educatieve aspect van GeoGebra waarop we in de paragraaf 'Educatie' nog terugkomen. Je kunt je werk ook privé opslaan. Om je werk lokaal te kunnen opslaan, moet je eerst een gratis account aanmaken.

Kies je in dit menu Open, dan krijg je niet alleen toegang tot je eigen werk, maar ook de tot het vele materiaal dat anderen gemaakt hebben.

CAS Rekenmachine

We keren terug naar de startpagina van GeoGebra en nemen nu een kijkje bij de CAS Rekenmachine (CAS staat voor Computer Algebra Systeem).

Ditmaal komen we terecht in een scherm dat doet denken aan het scherm van het onderdeel Meetkunde, zoals we dat op het laatst hadden ingericht, dus met assen, een rooster en een toetsenbord voor het invoeren van formules. Wat anders is zijn de tabbladen; hier Algebra en Tabel. In dit onderdeel kunnen we onder andere 2D-grafieken maken.

Voorbeeldgrafiek

Klik op het toetsenbordje op de x en op het pictogram daaronder om een kwadraat te maken. Klik vervolgens op +, op y en nogmaals op het Kwadraat-pictogram. Klik tot slot op = en 1 en toets Enter. Er verschijnt een kleine cirkel met straal 1.

Om de cirkel wat groter te maken, kun je inzoomen met het muiswiel of met het Zoom-pictogram rechtsonder.

Links zie je de formule die je hebt ingevoerd (de impliciete vergelijking voor een cirkel). Klik op de drie puntjes erachter en kies Dupliceer invoer. Klik op de tweede formule en verander beide kwadraten in een 4. Na een druk op Enter wordt de nieuwe grafiek getekend die het midden houdt tussen een vierkant en een cirkel. Klik op deze grafiek en klik op het Kleur-pictogram (verf-emmertje). Klik op rood en vervolgens op een lege plek en je hebt twee verschillend gekleurde grafieken.

Klik nu op het tabblad Tabel. Hierin staat de linkerkolom voor x-waarden en de rechter voor y-waarden. Hier kun je uitsluitend getallen invoeren en dit deel gebruik je om bijvoorbeeld een grafiek van de gemeten gegevens te maken.

Klik je op de drie puntjes in de y-kolom dan kun je via Regressie je meetpunten automatisch verbinden.

Het maken van grafieken vormt slechts een klein deel van de mogelijkheden van de CAS Rekenmachine. Je kunt hier bijvoorbeeld ook afgeleiden en integralen berekenen.

3D

Waar we met (onder andere) de CAS Rekenmachine grafieken in het platte vlak kunnen maken, gaan we met de 3D Rekenmachine de ruimte in. De bediening lijkt op die van de eerder besproken onderdelen.

In CAS kun je 2D-grafieken maken op basis van een functie van x of van parametrische vergelijkingen. Ook kun je werken met impliciete vergelijkingen (zoals wij in ons voorbeeld deden) en kun je naast rechthoekige coördinaten ook werken met poolcoördinaten. De 3D-tegenhanger ondersteunt ook al deze varianten, waarbij je in plaats van poolcoördinaten kunt kiezen voor cilindrische of bolcoördinaten.

3D Voorbeeld

Op basis van het 2D-voorbeeld weet je inmiddels hoe je een formule kunt invoeren. In de 3D Rekenmachine kiezen we voor 4x2+y2+z2=16. Na een druk op de Enter-knop verschijnt de grafiek.

In de 3D Rekenmachine kun je niet alleen grafieken maken op basis van formules. In het tabblad Knoppen vind je namelijk ook allerlei objecten. Om ze allemaal te zien, moet je op Meer klikken. Klik bijvoorbeeld op Piramide, klik vervolgens op vier punten op de x- en y- as (in het grondvlak, bijvoorbeeld (4,0,0), (0,6,0), (-4,0,0) en (0,-6,0)). Klik tot slot op de z-as op het punt (0,0,4) en daar is je piramide.

Ook nu kun je het uiterlijk van alles wat je maakt weer volop naar je hand zetten.

Apps

De web-versies van de verschillende onderdelen van GeoGebra werken uitstekend, maar werk je liever lokaal, dan kan dat ook. Op deze pagina vind je alle modules als download voor Windows. Verschillende zijn ook beschikbaar voor macOS en de oerversie GeoGebra Classic is er bovendien voor Linux.

Alle modules zijn daarnaast beschikbaar voor iOS en Android. Zoek je in de appstore voor een van beide op het trefwoord 'geogebra', dan vind je alle beschikbare producten. 

Educatie

Omdat je het werk dat je maakt met GeoGebra online kunt opslaan en kunt delen, biedt de website een gigantische hoeveelheid voorbeelden om mee te spelen. Op de startpagina van GeoGebra zie je de rubriek Aanbevolen materiaal en klik je daarachter op Alle dan kom je op een pagina waar je door het complete aanbod kunt bladeren.

Onder de voorbeelden onder Aanbevolen materiaal (verdeeld over verschillende niveaus), vind je een zoekboom waarmee je door verschillende disciplines binnen de wiskunde kunt bladeren. Klik bijvoorbeeld op Algebra. Zoals je ziet, kun je ook daarbinnen weer navigeren, bijvoorbeeld door te klikken op Breuken. Je ziet nu alle openbare bestanden binnen dat thema. We openen Breuken optellen (niveau 3). Dit werkblad is een typisch voorbeeld van een overhoring en daarom kun je het niet aanpassen. Er zijn ook vele werkbladen waar je wel onder de motorkap kunt kijken om meer de leren over de vele mogelijkheden van GeoGebra.

Zelf leren

We hebben maar een fractie van de vele mogelijkheden kunnen bespreken die GeoGebra en zijn verschillende modules te bieden hebben. Klik je vanaf de startpagina op Toon alle achter Initiatiehandleidingen, dan kom je op een pagina met een dertigtal boeken waarmee je zelfs de meest geavanceerde technieken leert om niet alleen berekeningen te maken, maar ook je eigen gebruikersinterfaces te bouwen.

Een medley gebaseerd op soundtracks uit Super Mario-games van het Jazzorkest 8-Bit Big Band heeft afgelopen zondagnacht een Grammy gewonnen.

De medley ‘Super Mario Praise Break’ won een Grammy Award voor beste arrangement (instrumentaal of a capella). In de medley zijn nummers als Gusty Garden Galaxy uit Super Mario Galaxy en Bomb-Omb Battlefield uit Super Mario 64 te horen.

De 9-Bit Big Band is afkomstig uit New York en heeft al eens eerder een Grammy gewonnen voor gamemuziek. In 2022 won het orkest een Grammy voor het nummer Meta’s Knight’s Revenge uit de SNES-game Kirby Superstar.

De Grammy Awards

De Grammy Awards worden al sinds 1959 georganiseerd en worden gezien als een van de belangrijkste prijzen voor muziek ter wereld. Ze worden vaak vergeleken met de Oscars, die worden uitgereikt aan films. Dit jaar won Bad Bunny de prijs van album van het jaar, en ging Billie Eilish er vandoor met een Grammy voor nummer van het jaar. Overigens won Austin Wintory een Grammy in de categorie beste gamesoundtrack voor de soundtrack van Sword of the Sea.

De Super Mario-reeks van Nintendo valt op diverse spelcomputers van het bedrijf te spelen, waaronder de Nintendo Switch 2 en Nintendo Switch. Onder de meest recente grote hoofddelen vallen Super Mario Wonder en Super Mario Odyssey.

De PlayStation 6 zou wel eens pas ergens na 2028 uit kunnen komen, zo claimde een analist onlangs. Dat betekent dat we minstens acht jaar met de PlayStation 5 opgescheept zitten. Maar niet getreurd: dat is juist goed nieuws voor de gemiddelde gameliefhebber.

Dat de PlayStation 6 in ontwikkeling is bij Sony, mag voor zich spreken. Nadat een nieuwe spelcomputer is uitgekomen, beginnen consolebedrijven vaak al snel met de research voor diens opvolger. Onderzoek naar de juiste specificaties en features van consoles beslaat vaak meerdere jaren, om nog maar te zwijgen over het maken van afspraken met bedrijven die de componenten daadwerkelijk leveren, en natuurlijk het produceren ervan.

Het is dan ook waarschijnlijk dat de specificaties van de PlayStation 6 al geruime tijd vastliggen, en dat Sony intern ook een schatting heeft gemaakt voor een releaseperiode voor de langverwachte console. Misschien was het bedrijf er zelfs van overtuigd dat het de console volgend jaar uit zou kunnen brengen.

Verlengde levenscyclus

Onlangs meldde MST Financial-analist David Gibson dat Sony nu echter overweegt om de PS6 pas ergens na 2028 te leveren. “Sony verwacht dat de levenscyclus van de PlayStation 5 wordt verlengd, en dat de PlayStation 6-release langer op zich laat wachten dan de meesten voorspellen.” Dat zou betekenen dat de PS6 misschien pas ergens in 2029 of zelfs later in de winkels ligt.

De eerdere voorspellingen van ingewijden mikten voorheen vooral op eind 2027 of in de loop van 2028, op basis van wanneer de productie oorspronkelijk zou beginnen. De PlayStation 5 kwam in het najaar van 2020 uit, dus dat zou de console al een levenscyclus van ruim zeven jaar geven voordat de opvolger op de markt komt. Dat is in principe een zeer ruime levensloop voor een spelcomputer, en een release in 2027 of 2028 zou dan ook volkomen logisch zijn.

©PXimport

Stijgende RAM-prijzen

Maar de wereld houdt geen rekening met consolereleases, en gezien de huidige ontwikkelingen is de komst van een PlayStation 6 in 2027 of 2028 helemaal niet zo logisch meer. Dat heeft voor een groot deel te maken met de prijzen van RAM (Random Access Memory), die steeds hoger oplopen. RAM is namelijk in grote getale nodig om de alsmaar populairder wordende AI-assistenten als ChatGPT en Gemini draaiende te houden.

Als gevolg daarvan wordt RAM steeds schaarser en dus duurder, en laten spelcomputers nu ook net RAM nodig hebben. In deze periode een nieuwe spelcomputer uitbrengen zou dan ook betekenen dat de prijs van de console mogelijk erg hoog komt te liggen, wat de verkoop niet bepaalt stimuleert. Een dergelijke ‘valse’ start van de levenscyclus van een spelcomputer is iets dat veel bedrijven willen vermijden.

Ook de importheffingen die de Amerikaanse president Donald Trump op producten die buiten de Verenigde Staten worden gemaakt doorvoert, zorgen voor veel onzekerheid. Eerder moesten de prijzen van diverse spelcomputers, waaronder de PlayStation 5, al stijgen om dit op te vangen. Trump is – unieke politieke ontwikkelingen buiten beschouwing gelaten – de komende jaren nog aan de macht, dus ook dat maakt het uitbrengen van een nieuwe console bepaald geen veilige onderneming. De komende jaren een console lanceren is kortom dus een gigantisch risico, dat Sony volgensgeruchten zo klein mogelijk wil houden.

Trage consolegeneratie

Sony hoopt wellicht dat de economie eind dit decennium kalmeert. Dat zou echter wel betekenen dat we nog meerdere jaren op de komst van de PlayStation 6 moeten wachten. Wat mij betreft is dat niet iets om over te treuren, maar juist goed nieuws. Het geeft ontwikkelaars namelijk de kans om echt alles uit de PlayStation 5 te halen. Een kans die ze hopelijk met beide handen aangrijpen.

Hoewel de PS5 in november van 2020 uitkwam – ruim vijf jaar geleden – heb ik nog altijd het gevoel dat deze consolegeneratie nog maar net is begonnen. De generatie kwam sowieso vrij traag op gang, omdat deze middenin de coronapandemie viel. Dat was ook voor spelontwikkelaars een ingewikkelde tijd waarin halsoverkop naar thuiswerkmogelijkheden gekeken moest worden, waardoor veel games die in ontwikkeling waren vertraging op liepen.

Sony’s eigen game-line-up is de afgelopen vijf jaar ook wat karig geweest. Dat heeft deels te maken met een focus op liveservicegames, waarbij diverse projecten die bij Sony’s meest prominente studio’s in ontwikkeling waren uiteindelijk werden geannuleerd. Denk bijvoorbeeld aan de The Last of Us-multiplayergame die na jaren productie in de prullenbak werd gegooid.

Daarbij is de ‘cross-generation’-periode van deze generatie uitzonderlijk lang. Nog altijd komen diverse games niet alleen op PlayStation 5, maar ook op PlayStation 4 uit. Nu is dat iets wat in de toekomst alleen maar vaker voor zal komen – de grenzen tussen consolegeneraties vervagen en daarmee is het ook makkelijker om de prestaties van games terug of juist op te schalen.

Toch zorgt het er ook voor dat er onder gamers een gevoel groeit dat nog lang niet het uiterste uit de PS5 is gehaald. Er is méér met dat apparaat mogelijk, vooral met de bestaande PS5 Pro in het achterhoofd. Een verlengde levenscyclus voor de console geeft ontwikkelaars de kans om een aantal schitterende spellen af te leveren in de laatste jaren van de spelcomputer – de ontwikkeltijd van games wordt immers ook steeds langer. Met toppers als Grand Theft Auto 6, The Witcher 4 en Intergalactic: The Heretic Prophet nog in het verschiet, is er meer dan genoeg potentie om het de komende jaren uit te zingen met de PS5.

Niet zonder risico’s

Natuurlijk brengt het uitstellen van een consolelancering ook risico’s met zich mee, zowel voor Sony als voor de consument. Het is namelijk helemaal niet zeker dat de wereldeconomie er eind dit decennium beter voor staat. Daarnaast zet het Sony voor een moeilijke keuze: gooit het jaren aan research voor de PS6 weg om de console eind dit decennium met moderne specificaties uit te kunnen brengen, of behoudt het simpelweg de huidige specs zodat deze op release mogelijk al deels zijn verouderd?

De eventuele keuze om de PlayStation 6 uit te stellen zal dan ook niet over één nacht ijs gaan. Het is aan de goedbetaalde mensen in topposities binnen het bedrijf om die knoop door te hakken. Maar puur vanuit mijn eigen, egoïstische liefde voor games gezien, heb ik er totaal geen moeite mee om nog een jaar of drie, vier op de PlayStation 5 te spelen. Laat maar eens zien wat die console nog kan, en blaas ons in 2029 of 2030 weg met een nieuwe consolegeneratie die écht een flinke technologische stap zet!