Er zijn heel wat tools waarmee je (online) rekenwerk kunt verrichten, maar weinige zijn zo veelzijdig als GeoGebra. De naam is een samentrekking van de woorden geometrie en algebra, het is zowel online beschikbaar als via apps voor vrijwel elk platform.

GeoGebra heeft een lange geschiedenis die meer dan twintig jaar teruggaat. Het project werd ooit opgezet om het leren en onderwijzen van met name algebra en meetkunde te vereenvoudigen, maar is vanwege zijn vele gereedschappen ook zeer geschikt om zelf allerlei (reken)problemen mee op te lossen. Bovendien is GeoGebra door de jaren uitgebreid naar nog meer wiskundige vakgebieden, zoals statistiek en analyse.

Korte rondleiding

De thuisbasis van GeoGebra is www.geogebra.org. Als de site niet standaard in het Nederlands verschijnt, kun je onderaan de pagina op de wereldbol klikken. Je kunt dan de gewenste taal selecteren.

Op de site vind je verschillende modules die je los of gecombineerd kunt gebruiken. Zo is er de 3D Rekenmachine voor het maken van 3D-grafieken, de Grafische rekenmachine voor het maken van 2D-grafieken, de Wetenschappelijke rekenmachine voor het maken van (wiskundige) berekeningen en de CAS Rekenmachine voor 2D-grafieken en algebra. De Rekenmachine suite combineert deze modules en voegt daar kansberekening aan toe.

Daarnaast vind je op de hoofdpagina links naar GeoGebra Klassiek, de oorspronkelijke combinatie van meetkunde en algebra, het onderdeel Meetkunde, dat zich specifiek richt op het oplossen van meetkundige vraagstukken en het Notitieblok, waarmee je illustraties kunt maken.

Met het onderdeel Toetsen kunnen docenten examenvragen maken die offline kunnen worden gebruikt en tot slot heb je toegang tot heel veel lesmateriaal en bronnen voor het leren werken met GeoGebra.

Meetkunde

De Griekse wiskundige Euclides leefde zo’n 2300 jaar geleden en is vooral bekend van De Elementen, een serie geschriften waarin hij onder andere in Boek 1 de basisbeginselen van de zogeheten vlakke meetkunde uitwerkt. Hierin bewijst hij vanuit een vijftal vooronderstellingen (axioma’s) allerlei zaken over lijnen, cirkels, driehoeken enzovoort. De manier waarop hij dat deed, staat sindsdien model voor het uitbreiden van kennis door middel van logisch redeneren en daarom vormde De Elementen zo’n 2000 jaar lang (!) verplicht studiemateriaal voor iedereen die een hogere opleiding volgde en is het nog altijd goede kost om de geest te scherpen.

Eén van de te bewijzen stellingen over gelijkzijdige driehoeken in het begin van De Elementen (Propositie 5) werd bekend onder de naam Pons Asinorum, Latijn voor ezelsbrug. Waar dat bij ons een mentaal hulpmiddel betekent, staat het oorspronkelijk juist voor een probleem dat bepaalde of je slim genoeg was om door te gaan.

Constructie

De klassieke meetkunde van Euclides maakt gebruik van constructies met een passer en een liniaal. Die laatste dient alleen voor het tekenen van rechte lijnen en heeft geen maatstrepen. Het zal je verbazen hoeveel Euclides (en zijn navolgers in latere eeuwen) met die eenvoudige gereedschappen kon ontdekken. In het onderdeel Meetkunde van GeoGebra kun je zelf aan de slag met een digitale passer en liniaal.

Objecten

In het venster links zie je onder Basisknoppen een handvol objecten die je kunt maken. Met Punt, Lijnstuk, Lijn en Cirkel bewijst Euclides hoe je bijvoorbeeld een lijnstuk in twee gelijke delen kunt delen. Om zo’n middelpunt in latere constructies niet telkens opnieuw te hoeven maken, kun je dit soort meer geavanceerde objecten in Meetkunde ook in één keer maken. Klik daarvoor op Meer. Behalve Constructies kun je ook andere elementen toevoegen, zoals tekst. Scrol je naar beneden dan kun je nogmaals op Meer klikken voor extra mogelijkheden.

Voorbeeld

Klik op Nieuw punt en klik vervolgens op drie verschillende plekken in het rechterschermdeel. Zoals je ziet, worden de drie punten die je daarmee hebt geplaatst naar goed meetkundig gebruik automatisch van een letter voorzien. Kies nu Lijnstuk onder Basisknoppen en klik op punt A. Klik vervolgens op punt B. A en B zijn nu verbonden. Maak op dezelfde manier de driehoek af.

Klik nu onder Constructies op Midden of middelpunt en klik vervolgens op een willekeurige plek op elk van de drie lijnen. Het programma plaatst nu in elk daarvan een middelpunt en voorziet ook die van een letter.

Kies nu Cirkel met middelpunt onder Basisknoppen. Klik op punt A en punt E om een cirkel te maken met straal AE. Doe hetzelfde voor C en F en voor B en D.

Opmaak

Klik je onder Basisknoppen op Verplaatsen, dan kun je elk van de oorspronkelijke (blauwe) punten verslepen. Daarbij blijven de eigenschappen van je constructie in stand. De cirkel door E met middelpunt A blijft dus door E gaan, ook als je A verplaatst.

Klik je onder Bewerken op Selecteer object, dan kun je lijnen, cirkels en dergelijke selecteren. Klik bijvoorbeeld op één van de cirkels. Er verschijnt nu een pop-upmenu met vier pictogrammen.

De eerste drie geven snel toegang tot Kleuren, Labels en Verwijderen, maar de vierde (de drie puntjes) is het krachtigst. Hiermee krijg je via Instellingen toegang tot álle mogelijkheden, variërend van het kiezen van een vaste kleur tot zeer geavanceerde mogelijkheden, zoals kleuren op basis van berekeningen en het maken van scripts.

Gewapend met deze kennis kun je zelf de meest ingewikkelde constructies maken en meetkundige problemen oplossen.

Tabblad Algebra

Uiterst links is standaard het tabblad Macro’s geselecteerd, waarin je de elementen voor je constructie kunt kiezen, aanpassen en verwijderen. Daarnaast is er het tabblad Algebra. Die naam is op het eerste gezicht wat verwarrend, want wat je er ziet is de geschiedenis van een constructie die je hebt gemaakt. Helemaal onderaan zie je ook een zwart pictogram in de vorm van een klein toetsenbord. Daarmee open je een toetsenbord met meerdere tabs waarmee je berekeningen en allerlei geavanceerde functies aan je constructie kunt toevoegen. Klik daarvoor op de drie puntjes boven het toetsenbord. Je ziet dan een helpfunctie met alle concepten die het programma kent. Klik je op een concept, dan verschijnen links daarvan één of meer commando’s. Klik je daarop, dan wordt of worden deze aan je lijst met constructiestappen toegevoegd.

Instellingen

Rechtsboven in het tekenscherm vinden we achter het tandwielpictogram de nodige nuttige instellingen. Bij traditionele meetkunde worden geen roosters gebruikt, maar bij veel andere varianten wel. Ook zijn assen en roosters handig wanneer je constructietekeningen met bekende afstanden wilt maken. Hier kun je niet alleen assen en roosters inschakelen, maar ook het rooster magnetisch maken, zodat punten die je plaatst altijd exact samenvallen met roosterpunten. Via Instellingen kun je bovendien de eigenschappen van assen en roosters aanpassen.

Ook zie je in het menu Wis spoor. Wanneer je een punt in je constructie selecteert, dan kun je namelijk aangeven dat GeoGebra een spoor moet tekenen wanneer het direct of indirect wordt verplaatst. Dit is de plek om dat spoor weer op te ruimen.

Menu

Linksboven (drie streepjes) vind je het menu van GeoGebra. Hier kun je het eindresultaat van een constructie als afbeelding opslaan of afdrukken. Je kunt je werk ook online opslaan. Daardoor kun je er op een later tijdstip ook vanaf een ander platform verder aan werken en als je het werkstuk openbaar maakt, kunnen andere gebruikers stap voor stap je constructie volgen. Dit is het educatieve aspect van GeoGebra waarop we in de paragraaf 'Educatie' nog terugkomen. Je kunt je werk ook privé opslaan. Om je werk lokaal te kunnen opslaan, moet je eerst een gratis account aanmaken.

Kies je in dit menu Open, dan krijg je niet alleen toegang tot je eigen werk, maar ook de tot het vele materiaal dat anderen gemaakt hebben.

CAS Rekenmachine

We keren terug naar de startpagina van GeoGebra en nemen nu een kijkje bij de CAS Rekenmachine (CAS staat voor Computer Algebra Systeem).

Ditmaal komen we terecht in een scherm dat doet denken aan het scherm van het onderdeel Meetkunde, zoals we dat op het laatst hadden ingericht, dus met assen, een rooster en een toetsenbord voor het invoeren van formules. Wat anders is zijn de tabbladen; hier Algebra en Tabel. In dit onderdeel kunnen we onder andere 2D-grafieken maken.

Voorbeeldgrafiek

Klik op het toetsenbordje op de x en op het pictogram daaronder om een kwadraat te maken. Klik vervolgens op +, op y en nogmaals op het Kwadraat-pictogram. Klik tot slot op = en 1 en toets Enter. Er verschijnt een kleine cirkel met straal 1.

Om de cirkel wat groter te maken, kun je inzoomen met het muiswiel of met het Zoom-pictogram rechtsonder.

Links zie je de formule die je hebt ingevoerd (de impliciete vergelijking voor een cirkel). Klik op de drie puntjes erachter en kies Dupliceer invoer. Klik op de tweede formule en verander beide kwadraten in een 4. Na een druk op Enter wordt de nieuwe grafiek getekend die het midden houdt tussen een vierkant en een cirkel. Klik op deze grafiek en klik op het Kleur-pictogram (verf-emmertje). Klik op rood en vervolgens op een lege plek en je hebt twee verschillend gekleurde grafieken.

Klik nu op het tabblad Tabel. Hierin staat de linkerkolom voor x-waarden en de rechter voor y-waarden. Hier kun je uitsluitend getallen invoeren en dit deel gebruik je om bijvoorbeeld een grafiek van de gemeten gegevens te maken.

Klik je op de drie puntjes in de y-kolom dan kun je via Regressie je meetpunten automatisch verbinden.

Het maken van grafieken vormt slechts een klein deel van de mogelijkheden van de CAS Rekenmachine. Je kunt hier bijvoorbeeld ook afgeleiden en integralen berekenen.

3D

Waar we met (onder andere) de CAS Rekenmachine grafieken in het platte vlak kunnen maken, gaan we met de 3D Rekenmachine de ruimte in. De bediening lijkt op die van de eerder besproken onderdelen.

In CAS kun je 2D-grafieken maken op basis van een functie van x of van parametrische vergelijkingen. Ook kun je werken met impliciete vergelijkingen (zoals wij in ons voorbeeld deden) en kun je naast rechthoekige coördinaten ook werken met poolcoördinaten. De 3D-tegenhanger ondersteunt ook al deze varianten, waarbij je in plaats van poolcoördinaten kunt kiezen voor cilindrische of bolcoördinaten.

3D Voorbeeld

Op basis van het 2D-voorbeeld weet je inmiddels hoe je een formule kunt invoeren. In de 3D Rekenmachine kiezen we voor 4x2+y2+z2=16. Na een druk op de Enter-knop verschijnt de grafiek.

In de 3D Rekenmachine kun je niet alleen grafieken maken op basis van formules. In het tabblad Knoppen vind je namelijk ook allerlei objecten. Om ze allemaal te zien, moet je op Meer klikken. Klik bijvoorbeeld op Piramide, klik vervolgens op vier punten op de x- en y- as (in het grondvlak, bijvoorbeeld (4,0,0), (0,6,0), (-4,0,0) en (0,-6,0)). Klik tot slot op de z-as op het punt (0,0,4) en daar is je piramide.

Ook nu kun je het uiterlijk van alles wat je maakt weer volop naar je hand zetten.

Apps

De web-versies van de verschillende onderdelen van GeoGebra werken uitstekend, maar werk je liever lokaal, dan kan dat ook. Op deze pagina vind je alle modules als download voor Windows. Verschillende zijn ook beschikbaar voor macOS en de oerversie GeoGebra Classic is er bovendien voor Linux.

Alle modules zijn daarnaast beschikbaar voor iOS en Android. Zoek je in de appstore voor een van beide op het trefwoord 'geogebra', dan vind je alle beschikbare producten. 

Educatie

Omdat je het werk dat je maakt met GeoGebra online kunt opslaan en kunt delen, biedt de website een gigantische hoeveelheid voorbeelden om mee te spelen. Op de startpagina van GeoGebra zie je de rubriek Aanbevolen materiaal en klik je daarachter op Alle dan kom je op een pagina waar je door het complete aanbod kunt bladeren.

Onder de voorbeelden onder Aanbevolen materiaal (verdeeld over verschillende niveaus), vind je een zoekboom waarmee je door verschillende disciplines binnen de wiskunde kunt bladeren. Klik bijvoorbeeld op Algebra. Zoals je ziet, kun je ook daarbinnen weer navigeren, bijvoorbeeld door te klikken op Breuken. Je ziet nu alle openbare bestanden binnen dat thema. We openen Breuken optellen (niveau 3). Dit werkblad is een typisch voorbeeld van een overhoring en daarom kun je het niet aanpassen. Er zijn ook vele werkbladen waar je wel onder de motorkap kunt kijken om meer de leren over de vele mogelijkheden van GeoGebra.

Zelf leren

We hebben maar een fractie van de vele mogelijkheden kunnen bespreken die GeoGebra en zijn verschillende modules te bieden hebben. Klik je vanaf de startpagina op Toon alle achter Initiatiehandleidingen, dan kom je op een pagina met een dertigtal boeken waarmee je zelfs de meest geavanceerde technieken leert om niet alleen berekeningen te maken, maar ook je eigen gebruikersinterfaces te bouwen.

Door de stijgende energieprijzen en het verdwijnen van de salderingsregeling moeten we meer dan ooit op ons verbruik letten en bewuster om moeten gaan met het gebruik van elektrische apparaten. Dat is niet altijd even makkelijk, want hoe weet je nu hoeveel energie elk apparaat verbruikt? In dit artikel nemen we je mee door de lijst van apparaten die meer verbruiken dan je denkt.

Check altijd het energielabel

Als het tijd is om een apparaat in huis te vervangen, werp dan in de winkel eerst een blik op het energielabel. Dat zegt namelijk alles over het stroomverbruik. Wil je nog zeker een paar jaar door met het huidige apparaat, dan is het slim om te kijken hoe je er zuiniger mee om kunt gaan. Bijvoorbeeld door naar de instellingen van de standby-stand te kijken of het door apparaat alleen aan te zetten op momenten dat je minder energiekosten betaalt. Dat kan je echt tientallen euro’s schelen.

©Lenti Hill - stock.adobe.com

1. Kokendwaterkraan - 138 euro per jaar

Tuurlijk, zo'n kraan is erg handig en als je hem eenmaal hebt, dan wil je nooit meer zonder. Dat zo'n Quooker-kraan ervoor zorgt dat je direct heet water krijgt. Maar, het addertje onder het gras is wel dat die kraan niet alleen het water kookt, maar ook op temperatuur moet houden. Dat kost energie. Een voorbeeld: een gezin van drie personen gebruikt gemiddeld zo’n 10 liter kokend water per dag via een Quooker. Om dit water te verwarmen, is jaarlijks ongeveer 423 kWh aan energie nodig (bron: ANWB Energie) . Daarnaast kost het op temperatuur houden van het water nog eens 87,5 kWh per jaar. Dit komt neer op een totaal energieverbruik van 511 kWh per jaar. Stel dat je een energiecontract hebt waarbij je gemiddeld € 0,27 cent per kWh betaalt, dan kost die Quooker je 138 euro per jaar.

2. Wifi-versterker - 32 euro per jaar

Overal goede wifi in huis is een must, zeker als je veel thuiswerkt en veelgebruikers in huis hebt. Zitten er op strategische plekken in huis wifi-versterkers of repeaters in de stopcontacten? Dan zitten deze er doorgaans de hele tijd in en dat kost je meer geld dan je misschien denkt. De gemiddelde wifi-versterker – je hebt ze met verschillende wattages – verbruikt jaarlijks 88 kWh. Dat kost je per jaar dus ongeveer 32 euro.

3. Grote televisie

Wist je dat het stroomverbruik van een televisie afhankelijk is van het formaat van het scherm? Een 65inch-televisie verbruikt bijvoorbeeld twee keer zo veel stroom als een 43inch-exemplaar met hetzelfde energielabel. Jouw thuisbioscoop kost je daardoor misschien heel wat meer dan je dacht.

Lees ook: Dit zijn de 15 beste televisies van 2024

Vooral de resolutie van het scherm maakt veel uit voor het verbruik. Grotere beeldschermen hebben een hogere resolutie om een scherp beeld te krijgen, zoals een 4K- of zelfs 8K-resolutie. 8K-televisies verbruiken flink meer energie dan een 4K-televisie die net zo groot is.

Bij televisies wordt om die reden ook vaak het stroomverbruik apart vermeld voor zowel de SDR- als de HDR-video. In dit geval staat SDR voor Standard Dynamic Range met een resolutie van 1080p en HDR voor 4K-content.

Een grote televisie gebruikt meer dan een kleine, en ook de beeldkwaliteit bepaalt hoeveel energie wordt verbruikt, zoals hier op dit label is te zien. bij SDR-gebruik (1080p) krijgt deze Hisense-tv dus een energielabel E, terwijl de HDR-stand goed is voor energielabel G, een stuk minder zuinig dus.

©Casa imágenes - stock.adobe.com

4. Extra koelkast

Heb jij een extra koelkast in de garage of bijkeuken omdat de inbouwkoelkast eigenlijk te klein is of omdat hamsteren je hobby is? Dan gaat het vaak om een ouder exemplaar met een energielabel dat richting de G gaat en dat slurpt energie.

Kies in de plaats daarvan voor één grotere koelkast en bekijk kritisch naar wat je er allemaal in stopt: jouw voorraad frisdrank kun je prima bewaren op een andere plek en pas koelen als de vorige fles bijna op is. Wil je de tweede koelkast toch houden, zet hem dan alleen aan als je ‘m gaat gebruiken, bijvoorbeeld rond de periode dat je (veel) eters verwacht of een dinertje hebt georganiseerd.

5. Gaming-pc’s

Heb je gamers in huis of ben je zelf ook niet vies van een potje Fortnite op z'n tijd? Dan kan al dat gegame jouw energierekening naar serieuze hoogten brengen. Vooral game-pc's zijn echte energieslurpers: het jaarverbruik zo'n machine komt gemiddeld per jaar – inclusief monitor – uit op ongeveer 1.400 kWh. En dat staat gelijk aan het energieverbruik van drie koelkasten. Staat er een Xbox of PlayStation te loeien in huis, dan verbruikt deze tussen de 150 en 160 watt per uur. Game je 3 uur per dag, dan zit je per jaar zo aan de 70 euro.

Op zoek naar een snelle en gemakkelijke manier om kleding er verzorgd uit te laten zien zonder gedoe met strijkplanken of zware strijkijzers? De Philips 5000-serie handstomer biedt een gebruiksvriendelijke oplossing die is ontworpen voor gemak en snelheid. De bevindingen van het Review.nl Testpanel tonen aan dat dit apparaat geliefd is bij een breed publiek.

Partnerbijdrage - in samenwerking met Philips

Het ontwerp van de Philips 5000-serie handstomer (STH5020/40) is een van de sterkste punten volgens onze testers. Dankzij een laag gewicht en een ergonomische vorm ligt het apparaat prettig in de hand en is het eenvoudig te gebruiken, zelfs voor langere sessies. Het compacte formaat maakt het bovendien een ideale metgezel voor op reis. Meerdere testers, waaronder Manonv, prezen dat aspect: "Hoe handig is deze stomer voor op reis! Hij warmt binnen 30 seconden op en stoomt kreukels er makkelijk uit, zelfs als je kleding op een hanger blijft hangen."

Daarnaast benadrukken testers het intuïtieve gebruiksgemak. Het apparaat is direct na het inschakelen klaar voor gebruik en heeft geen ingewikkelde instellingen. Dat maakt 'm geschikt voor zowel ervaren gebruikers als nieuwkomers als het aankomt op handstomers. Toch werd er door sommige testers, zoals MandyK, opgemerkt dat het snoer wat langer had mogen zijn om volledige bewegingsvrijheid te bieden.

©Philips

Prestaties: snelheid en resultaat

Wat betreft prestaties maakt deze handstomer indruk met zijn vermogen om kledingstukken snel op te frissen. Het apparaat biedt twee standen: Eco voor een energiezuinige stoomproductie en Max voor intensere toepassingen. Tester Saliziia benadrukte de flexibiliteit van de standen: "De Eco-stand werkt fijn voor lichte opfrissingen, maar de Max-stand is een uitkomst bij hardnekkige kreukels. Het is geen vervanging voor een strijkijzer, maar het komt aardig in de buurt."

De testers waren vooral te spreken over de snelheid waarmee het apparaat zijn werk doet. Binnen 30 tot 35 seconden is het apparaat volledig opgewarmd en klaar voor gebruik, wat ideaal is voor wie weinig tijd heeft. Het verwijderen van lichte kreukels is zo gepiept en zelfs stoffen met details, zoals ruches en plooien, worden snel gladgemaakt dankzij de verstelbare stoomkop. Hoewel dikkere stoffen zoals jeans of zware gordijnen minder gemakkelijk glad worden, zijn de meeste testers het erover eens dat het apparaat uitblinkt in alledaags gebruik.

Flexibiliteit en accessoires

Deze handstomer van Philips onderscheidt zich door zijn veelzijdigheid en de meegeleverde accessoires, zoals een handschoen en een extra waterreservoir. De verstelbare kop maakt het mogelijk om kleding in verschillende posities te stomen, zowel hangend als liggend. Tester Bentesara kon dat wel waarderen: "De verstelbare kop maakt het richten van de stoom veel makkelijker, vooral bij kledingstukken met lastige hoeken of details."

De handschoen, bedoeld om de handen te beschermen tegen de hete stoom, wordt door veel testers als handig ervaren, hoewel de grootte van de handschoen wel tegenvalt. Ilse de Haas merkte op: "De handschoen is aan de grote kant, waardoor je wat grip verliest tijdens het stomen, maar gelukkig is het niet per se nodig om hem te gebruiken." Het extra waterreservoir bleek voor veel testers een welkome toevoeging, omdat je nu meerdere kledingstukken kunt stomen zonder tussendoor bij te hoeven vullen.

©Philips

Vormgeving en duurzaamheid

Het design van de Philips 5000-serie is modern en strak, maar over de kleur waren de meningen verdeeld. Terwijl sommigen, zoals Rocky1998, het ontwerp prachtig vonden, gaf tester MandyK aan dat de echte kleur wel een beetje tegenviel in vergelijking met de afbeelding op de verpakking. Desondanks werden het compacte formaat en de robuuste afwerking door bijna iedereen gewaardeerd. Clemens benadrukte het gemak van opbergen: "Het apparaat is licht en compact, waardoor hij makkelijk in een kast of koffer past."

Wat betreft duurzaamheid scoort de handstomer hoog. De testers merkten op dat het apparaat stevig aanvoelt en bestand lijkt tegen intensief gebruik.

Conclusie

Met een gemiddelde score van een 8,2 overtuigt de Philips 5000-serie handstomer als een veelzijdige oplossing voor het snel opfrissen van kleding. Het apparaat biedt snelheid, gebruiksgemak en flexibiliteit, waardoor het een ideale keuze is voor mensen die tijd willen besparen en toch netjes voor de dag willen komen. Tester Joyce vat de algemene ervaring samen: "Het is geen vervanging voor een strijkijzer, maar het werkt perfect voor een snelle opfrisbeurt en haalt lichte kreukels moeiteloos weg."

Hoewel het apparaat enkele beperkingen heeft, zoals de effectiviteit bij dikkere stoffen en de grootte van de handschoen, wegen de voordelen ruimschoots op tegen de nadelen. Voor dagelijks gebruik of als reisgenoot is deze Philips-handstomer een waardevolle toevoeging aan elke garderobe.

De uitgebreide reviews van het Review.nl Testpanel lees je hier!