Er zijn heel wat tools waarmee je (online) rekenwerk kunt verrichten, maar weinige zijn zo veelzijdig als GeoGebra. De naam is een samentrekking van de woorden geometrie en algebra, het is zowel online beschikbaar als via apps voor vrijwel elk platform.

GeoGebra heeft een lange geschiedenis die meer dan twintig jaar teruggaat. Het project werd ooit opgezet om het leren en onderwijzen van met name algebra en meetkunde te vereenvoudigen, maar is vanwege zijn vele gereedschappen ook zeer geschikt om zelf allerlei (reken)problemen mee op te lossen. Bovendien is GeoGebra door de jaren uitgebreid naar nog meer wiskundige vakgebieden, zoals statistiek en analyse.

Korte rondleiding

De thuisbasis van GeoGebra is www.geogebra.org. Als de site niet standaard in het Nederlands verschijnt, kun je onderaan de pagina op de wereldbol klikken. Je kunt dan de gewenste taal selecteren.

Op de site vind je verschillende modules die je los of gecombineerd kunt gebruiken. Zo is er de 3D Rekenmachine voor het maken van 3D-grafieken, de Grafische rekenmachine voor het maken van 2D-grafieken, de Wetenschappelijke rekenmachine voor het maken van (wiskundige) berekeningen en de CAS Rekenmachine voor 2D-grafieken en algebra. De Rekenmachine suite combineert deze modules en voegt daar kansberekening aan toe.

Daarnaast vind je op de hoofdpagina links naar GeoGebra Klassiek, de oorspronkelijke combinatie van meetkunde en algebra, het onderdeel Meetkunde, dat zich specifiek richt op het oplossen van meetkundige vraagstukken en het Notitieblok, waarmee je illustraties kunt maken.

Met het onderdeel Toetsen kunnen docenten examenvragen maken die offline kunnen worden gebruikt en tot slot heb je toegang tot heel veel lesmateriaal en bronnen voor het leren werken met GeoGebra.

Meetkunde

De Griekse wiskundige Euclides leefde zo’n 2300 jaar geleden en is vooral bekend van De Elementen, een serie geschriften waarin hij onder andere in Boek 1 de basisbeginselen van de zogeheten vlakke meetkunde uitwerkt. Hierin bewijst hij vanuit een vijftal vooronderstellingen (axioma’s) allerlei zaken over lijnen, cirkels, driehoeken enzovoort. De manier waarop hij dat deed, staat sindsdien model voor het uitbreiden van kennis door middel van logisch redeneren en daarom vormde De Elementen zo’n 2000 jaar lang (!) verplicht studiemateriaal voor iedereen die een hogere opleiding volgde en is het nog altijd goede kost om de geest te scherpen.

Eén van de te bewijzen stellingen over gelijkzijdige driehoeken in het begin van De Elementen (Propositie 5) werd bekend onder de naam Pons Asinorum, Latijn voor ezelsbrug. Waar dat bij ons een mentaal hulpmiddel betekent, staat het oorspronkelijk juist voor een probleem dat bepaalde of je slim genoeg was om door te gaan.

Constructie

De klassieke meetkunde van Euclides maakt gebruik van constructies met een passer en een liniaal. Die laatste dient alleen voor het tekenen van rechte lijnen en heeft geen maatstrepen. Het zal je verbazen hoeveel Euclides (en zijn navolgers in latere eeuwen) met die eenvoudige gereedschappen kon ontdekken. In het onderdeel Meetkunde van GeoGebra kun je zelf aan de slag met een digitale passer en liniaal.

Objecten

In het venster links zie je onder Basisknoppen een handvol objecten die je kunt maken. Met Punt, Lijnstuk, Lijn en Cirkel bewijst Euclides hoe je bijvoorbeeld een lijnstuk in twee gelijke delen kunt delen. Om zo’n middelpunt in latere constructies niet telkens opnieuw te hoeven maken, kun je dit soort meer geavanceerde objecten in Meetkunde ook in één keer maken. Klik daarvoor op Meer. Behalve Constructies kun je ook andere elementen toevoegen, zoals tekst. Scrol je naar beneden dan kun je nogmaals op Meer klikken voor extra mogelijkheden.

Voorbeeld

Klik op Nieuw punt en klik vervolgens op drie verschillende plekken in het rechterschermdeel. Zoals je ziet, worden de drie punten die je daarmee hebt geplaatst naar goed meetkundig gebruik automatisch van een letter voorzien. Kies nu Lijnstuk onder Basisknoppen en klik op punt A. Klik vervolgens op punt B. A en B zijn nu verbonden. Maak op dezelfde manier de driehoek af.

Klik nu onder Constructies op Midden of middelpunt en klik vervolgens op een willekeurige plek op elk van de drie lijnen. Het programma plaatst nu in elk daarvan een middelpunt en voorziet ook die van een letter.

Kies nu Cirkel met middelpunt onder Basisknoppen. Klik op punt A en punt E om een cirkel te maken met straal AE. Doe hetzelfde voor C en F en voor B en D.

Opmaak

Klik je onder Basisknoppen op Verplaatsen, dan kun je elk van de oorspronkelijke (blauwe) punten verslepen. Daarbij blijven de eigenschappen van je constructie in stand. De cirkel door E met middelpunt A blijft dus door E gaan, ook als je A verplaatst.

Klik je onder Bewerken op Selecteer object, dan kun je lijnen, cirkels en dergelijke selecteren. Klik bijvoorbeeld op één van de cirkels. Er verschijnt nu een pop-upmenu met vier pictogrammen.

De eerste drie geven snel toegang tot Kleuren, Labels en Verwijderen, maar de vierde (de drie puntjes) is het krachtigst. Hiermee krijg je via Instellingen toegang tot álle mogelijkheden, variërend van het kiezen van een vaste kleur tot zeer geavanceerde mogelijkheden, zoals kleuren op basis van berekeningen en het maken van scripts.

Gewapend met deze kennis kun je zelf de meest ingewikkelde constructies maken en meetkundige problemen oplossen.

Tabblad Algebra

Uiterst links is standaard het tabblad Macro’s geselecteerd, waarin je de elementen voor je constructie kunt kiezen, aanpassen en verwijderen. Daarnaast is er het tabblad Algebra. Die naam is op het eerste gezicht wat verwarrend, want wat je er ziet is de geschiedenis van een constructie die je hebt gemaakt. Helemaal onderaan zie je ook een zwart pictogram in de vorm van een klein toetsenbord. Daarmee open je een toetsenbord met meerdere tabs waarmee je berekeningen en allerlei geavanceerde functies aan je constructie kunt toevoegen. Klik daarvoor op de drie puntjes boven het toetsenbord. Je ziet dan een helpfunctie met alle concepten die het programma kent. Klik je op een concept, dan verschijnen links daarvan één of meer commando’s. Klik je daarop, dan wordt of worden deze aan je lijst met constructiestappen toegevoegd.

Instellingen

Rechtsboven in het tekenscherm vinden we achter het tandwielpictogram de nodige nuttige instellingen. Bij traditionele meetkunde worden geen roosters gebruikt, maar bij veel andere varianten wel. Ook zijn assen en roosters handig wanneer je constructietekeningen met bekende afstanden wilt maken. Hier kun je niet alleen assen en roosters inschakelen, maar ook het rooster magnetisch maken, zodat punten die je plaatst altijd exact samenvallen met roosterpunten. Via Instellingen kun je bovendien de eigenschappen van assen en roosters aanpassen.

Ook zie je in het menu Wis spoor. Wanneer je een punt in je constructie selecteert, dan kun je namelijk aangeven dat GeoGebra een spoor moet tekenen wanneer het direct of indirect wordt verplaatst. Dit is de plek om dat spoor weer op te ruimen.

Menu

Linksboven (drie streepjes) vind je het menu van GeoGebra. Hier kun je het eindresultaat van een constructie als afbeelding opslaan of afdrukken. Je kunt je werk ook online opslaan. Daardoor kun je er op een later tijdstip ook vanaf een ander platform verder aan werken en als je het werkstuk openbaar maakt, kunnen andere gebruikers stap voor stap je constructie volgen. Dit is het educatieve aspect van GeoGebra waarop we in de paragraaf 'Educatie' nog terugkomen. Je kunt je werk ook privé opslaan. Om je werk lokaal te kunnen opslaan, moet je eerst een gratis account aanmaken.

Kies je in dit menu Open, dan krijg je niet alleen toegang tot je eigen werk, maar ook de tot het vele materiaal dat anderen gemaakt hebben.

CAS Rekenmachine

We keren terug naar de startpagina van GeoGebra en nemen nu een kijkje bij de CAS Rekenmachine (CAS staat voor Computer Algebra Systeem).

Ditmaal komen we terecht in een scherm dat doet denken aan het scherm van het onderdeel Meetkunde, zoals we dat op het laatst hadden ingericht, dus met assen, een rooster en een toetsenbord voor het invoeren van formules. Wat anders is zijn de tabbladen; hier Algebra en Tabel. In dit onderdeel kunnen we onder andere 2D-grafieken maken.

Voorbeeldgrafiek

Klik op het toetsenbordje op de x en op het pictogram daaronder om een kwadraat te maken. Klik vervolgens op +, op y en nogmaals op het Kwadraat-pictogram. Klik tot slot op = en 1 en toets Enter. Er verschijnt een kleine cirkel met straal 1.

Om de cirkel wat groter te maken, kun je inzoomen met het muiswiel of met het Zoom-pictogram rechtsonder.

Links zie je de formule die je hebt ingevoerd (de impliciete vergelijking voor een cirkel). Klik op de drie puntjes erachter en kies Dupliceer invoer. Klik op de tweede formule en verander beide kwadraten in een 4. Na een druk op Enter wordt de nieuwe grafiek getekend die het midden houdt tussen een vierkant en een cirkel. Klik op deze grafiek en klik op het Kleur-pictogram (verf-emmertje). Klik op rood en vervolgens op een lege plek en je hebt twee verschillend gekleurde grafieken.

Klik nu op het tabblad Tabel. Hierin staat de linkerkolom voor x-waarden en de rechter voor y-waarden. Hier kun je uitsluitend getallen invoeren en dit deel gebruik je om bijvoorbeeld een grafiek van de gemeten gegevens te maken.

Klik je op de drie puntjes in de y-kolom dan kun je via Regressie je meetpunten automatisch verbinden.

Het maken van grafieken vormt slechts een klein deel van de mogelijkheden van de CAS Rekenmachine. Je kunt hier bijvoorbeeld ook afgeleiden en integralen berekenen.

3D

Waar we met (onder andere) de CAS Rekenmachine grafieken in het platte vlak kunnen maken, gaan we met de 3D Rekenmachine de ruimte in. De bediening lijkt op die van de eerder besproken onderdelen.

In CAS kun je 2D-grafieken maken op basis van een functie van x of van parametrische vergelijkingen. Ook kun je werken met impliciete vergelijkingen (zoals wij in ons voorbeeld deden) en kun je naast rechthoekige coördinaten ook werken met poolcoördinaten. De 3D-tegenhanger ondersteunt ook al deze varianten, waarbij je in plaats van poolcoördinaten kunt kiezen voor cilindrische of bolcoördinaten.

3D Voorbeeld

Op basis van het 2D-voorbeeld weet je inmiddels hoe je een formule kunt invoeren. In de 3D Rekenmachine kiezen we voor 4x2+y2+z2=16. Na een druk op de Enter-knop verschijnt de grafiek.

In de 3D Rekenmachine kun je niet alleen grafieken maken op basis van formules. In het tabblad Knoppen vind je namelijk ook allerlei objecten. Om ze allemaal te zien, moet je op Meer klikken. Klik bijvoorbeeld op Piramide, klik vervolgens op vier punten op de x- en y- as (in het grondvlak, bijvoorbeeld (4,0,0), (0,6,0), (-4,0,0) en (0,-6,0)). Klik tot slot op de z-as op het punt (0,0,4) en daar is je piramide.

Ook nu kun je het uiterlijk van alles wat je maakt weer volop naar je hand zetten.

Apps

De web-versies van de verschillende onderdelen van GeoGebra werken uitstekend, maar werk je liever lokaal, dan kan dat ook. Op deze pagina vind je alle modules als download voor Windows. Verschillende zijn ook beschikbaar voor macOS en de oerversie GeoGebra Classic is er bovendien voor Linux.

Alle modules zijn daarnaast beschikbaar voor iOS en Android. Zoek je in de appstore voor een van beide op het trefwoord 'geogebra', dan vind je alle beschikbare producten. 

Educatie

Omdat je het werk dat je maakt met GeoGebra online kunt opslaan en kunt delen, biedt de website een gigantische hoeveelheid voorbeelden om mee te spelen. Op de startpagina van GeoGebra zie je de rubriek Aanbevolen materiaal en klik je daarachter op Alle dan kom je op een pagina waar je door het complete aanbod kunt bladeren.

Onder de voorbeelden onder Aanbevolen materiaal (verdeeld over verschillende niveaus), vind je een zoekboom waarmee je door verschillende disciplines binnen de wiskunde kunt bladeren. Klik bijvoorbeeld op Algebra. Zoals je ziet, kun je ook daarbinnen weer navigeren, bijvoorbeeld door te klikken op Breuken. Je ziet nu alle openbare bestanden binnen dat thema. We openen Breuken optellen (niveau 3). Dit werkblad is een typisch voorbeeld van een overhoring en daarom kun je het niet aanpassen. Er zijn ook vele werkbladen waar je wel onder de motorkap kunt kijken om meer de leren over de vele mogelijkheden van GeoGebra.

Zelf leren

We hebben maar een fractie van de vele mogelijkheden kunnen bespreken die GeoGebra en zijn verschillende modules te bieden hebben. Klik je vanaf de startpagina op Toon alle achter Initiatiehandleidingen, dan kom je op een pagina met een dertigtal boeken waarmee je zelfs de meest geavanceerde technieken leert om niet alleen berekeningen te maken, maar ook je eigen gebruikersinterfaces te bouwen.

Tefal lanceert een compact model tosti-ijzer dat met allerlei extra platensets te gebruiken is voor allerlei gerechten: van panini's en wafels in allerlei vormen en maten tot aan donuts en madeleines. Is de Snack Collection echt zo veelzijdig? ID.nl ging ermee aan de slag.

Tafelgrills en tosti-apparaten zijn in bijna elk huishouden te vinden. Vaak gaat het om apparaten met een geribbelde grillplaat boven en onder, waar je je tosti tussen legt om die een paar minuten erna bruin en krokant uit te halen, met een lekker warme vulling. Het zijn eenvoudige apparaten die goed zijn in waarvoor ze ontwikkeld zijn. Meer dan je tosti erin maken kan vaak niet. Tefal komt nu met de compacte Snack Collection, een apparaat dat je koopt met twee bijgeleverde typen grillplaten en nog eens kunt uitbreiden door losse sets erbij te kopen.

©Saskia van Weert

Testexemplaar en meegeleverde platen

Ter review ontving de redactie een blauw testmodel, voorzien van twee grill/panini-platen (één boven, één onder in het apparaat) en twee platen om Brusselse wafels mee te maken. De Snack Collection is met zijn 28,5 centimeter breedte, 20,6 centimeter lengte en 34,5 centimeter hoogte een betrekkelijk klein apparaat dat makkelijk op te bergen is. Het snoer is aan de onderkant op te bergen, er zit een aan-uitknop aan de voorzijde, net als een vergrendeling om het ijzer op slot te zetten. Ook zit er een lampje aan de voorzijde dat groen oplicht als het apparaat is voorverwarmd. Hij heeft een vermogen van 700 watt en een maximale temperatuur van 230 graden. De temperatuur is niet handmatig in te stellen.

©Saskia van Weert

Inhoud van de doos en wisselen van platen

In de machine zit al een set grillplaten. Verder vind je in de doos twee verpakkingen die nog het meest doen denken aan videobandhoezen van vroeger. Ze zijn van harde kunststof en gaan wat lastig open. De ene doos is uiteraard leeg, want daar zaten de panini-platen in, maar we vinden er wel een receptenboekje in. In de andere doos zit de uitbreiding; in ons testexemplaar zijn dat de wafelplaten. De platen zijn los te halen uit de machine via een knopje boven en onder, en de platen kunnen er op maar één manier in vastklikken. Je kunt ze dus niet verkeerd bevestigen. Ze mogen in de vaatwasser; de machine zelf uiteraard niet.

©Saskia van Weert

Gebruik en bediening

Zoals wel vaker bij dit type apparaten is de werking enorm simpel. Je bevestigt de gewenste platen in de machine, doet de stekker in het stopcontact en zet hem aan. Dan wacht je tot het groene lampje aangaat, open je de machine, doe je je gerecht erin, sluit je alles weer netjes en wacht je tot je eten klaar is. Eet smakelijk!

©Saskia van Weert

Test: tosti's

De bijgeleverde grill/panini-plaat is net wat te klein voor een reguliere tosti van boterhammen uit de supermarkt; het korstje steekt net wat boven de plaat uit. Maar dat bleek voor het resultaat niet uit te maken: alle geteste tosti’s kwamen prima uit de Tefal. Opwarmen duurde wel wat lang, ongeveer 4 minuten.

Lees ook: Gezonde tosti’s om de hele middag op door te gaan

Test: panini

De test met een panini had wat voeten in de aarde. De supermarkten in onze woonplaats verkochten geen panini-broodjes, maar een XL-shop in een andere plaats wel. Panini-broodjes zijn hoger dan normale afbakbroodjes en standaard voorzien van grillstrepen. Het deksel van de Snack Collection moest wel wat worden aangedrukt om de machine te kunnen sluiten met de vergrendeling, maar ook dat verliep verder prima.

Schoonmaken en opbergen 

De platen komen weer brandschoon uit de vaatwasser en klikken makkelijk vast in het apparaat. Door de betrekkelijk kleine afmetingen van dit keukenapparaat is het makkelijk op te bergen.

©Tefal

Uitbreidingssets (assortiment)

Dan de uitbreidingssets. Deze hebben we niet kunnen testen, maar zijn uiteraard te bekijken via de site van Tefal. Er is een aantal platen voor tosti’s in bijzondere vormen, zoals een schelpvorm of juist meteen als driehoek. Verder zijn er onder meer vormen voor bagels te verkrijgen. Tefal mikt duidelijk op een internationaal publiek, want er is ook een vorm voor madeleines (Franse zoete cakejes) verkrijgbaar.

Conclusie

De Tefal Snack Collection is een compact tosti-apparaat met verwisselbare platen, bedoeld voor wie met één toestel meerdere snacks wil maken. In de test leverde het apparaat nette resultaten op: tosti's kwamen goed uit de grill en panini's lukten eveneens prima na het sluiten met de vergrendeling. De platen klikken stevig vast, zijn uitneembaar en kunnen in de vaatwasser. Dankzij het kleine formaat en het opbergsysteem voor het snoer is het toestel eenvoudig weg te zetten. Het apparaat heeft een vermogen van 700 watt, een maximale temperatuur van 230 graden en een indicatielampje dat aangeeft wanneer voorverwarmen is voltooid.

Aandachtspunten: het grillvlak is aan de krappe kant voor standaardboterhammen, de opwarmtijd ligt rond de 4 minuten en de temperatuur is niet handmatig regelbaar. De uitbreidingsmogelijkheden zijn groot (onder meer wafels, donuts, madeleines en bagels), maar deze extra platen zijn in deze test niet inhoudelijk beoordeeld.

Per saldo is de Snack Collection een praktisch en ruimtebesparend apparaat voor de liefhebbers van tosti's die ook graag eens experimenteren met andere bereidingen.

Naar verwachting stappen dit jaar weer ruim 1,2 miljoen mensen over van zorgverzekering. Verstandig, maar het kan nóg slimmer. Wie overstapt via CashbackXL profiteert namelijk dubbel: je bespaart op de premie én ontvangt cashback-punten die je kunt inwisselen voor keiharde euro's.

We zitten midden in het overstapseizoen. Tot en met 31 december heb je de tijd om je huidige zorgverzekering op te zeggen en een nieuwe te kiezen. De ontevredenheid over de hoge premies is voor velen de belangrijkste reden om te wisselen. Daarnaast kiezen steeds meer mensen voor een minder uitgebreide aanvullende verzekering om de kosten te drukken. Er valt vaak honderden euro's per jaar te besparen door simpelweg te vergelijken. Maar waarom zou je genoegen nemen met alléén een lagere premie?

Punten scoren (en cashen!)

Als je via CashbackXL overstapt, ontvang je voor elke nieuw afgesloten zorgverzekering bij de grote vergelijkers Poliswijzer.nl, Zorgkiezer en Overstappen.nl 2.750 punten. Deze punten zijn geld waard: 1 punt staat gelijk aan € 0,01. Dit betekent dat je per overstap € 27,50 extra voordeel pakt.
Of je nu kiest voor a.s.r., VGZ Bewuzt, OHRA, Zilveren Kruis Ziezo of een van de vele andere verzekeraars uit de lijst: als je via de juiste vergelijker overstapt, pak je die bonus mee. In onderstaand overzicht zie je bij welke vergelijker je moet zijn voor een specifieke verzekeraar.

💡Slimme tip: zo krijg je meerdere cashbacks op één adres

Stappen jij en je partner allebei over? Let dan even goed op. Normaal gesproken geldt de regel: één cashback per vergelijker, per adres/gezin. Maar daar is een slimme oplossing voor. Wil je voor meerdere gezinsleden een cashback ontvangen? Sluit de verzekeringen dan af bij verschillende vergelijkers.

Voorbeeld: Jij sluit je nieuwe verzekering af via Poliswijzer.nl (2.750 punten) en je partner sluit af via Overstappen.nl (ook 2.750 punten). Zo ontvang je op hetzelfde adres twee keer de cashback!

Voorwaarden puntenactie zorgverzekering 2026

Wil je in aanmerking komen voor deze actie, lees dan onderstaande voorwaarden even aandachtig door:

• Je moet 18 jaar of ouder zijn.
• Het moet gaan om een nieuwe verzekering (als je verlengt bij je huidige verzekeraar (ook al sluit je een andersoortige verzekering af) dan geldt dat hier niet als overstappen.
• Alle genoemde cashbacks gelden altijd voor elk eigen risico.

Zo werkt de zorgverzekerings-cashback

Wil jij 2026 financieel goed beginnen? Volg dan deze stappen voor de perfecte tracking:

1. Maak een account aan op CashbackXL.
2. Klik bovenaan in de blauwe balk op Zorgverzekering 2026.
3. Bekijk in het overzicht welke verzekeraar via welke vergelijker (Poliswijzer, Zorgkiezer of Overstappen) beschikbaar is.
4. Klik op de link en start de vergelijking. Let op: accepteer alle cookies op de site van de vergelijker en zet je adblocker uit. Dit is noodzakelijk om de punten te kunnen registreren.
5. Sluit de verzekering af.
6. Je aankoop wordt geregistreerd en na goedkeuring in april 2026 kun je jouw punten verzilveren in euro's.