Er zijn heel wat tools waarmee je (online) rekenwerk kunt verrichten, maar weinige zijn zo veelzijdig als GeoGebra. De naam is een samentrekking van de woorden geometrie en algebra, het is zowel online beschikbaar als via apps voor vrijwel elk platform.

GeoGebra heeft een lange geschiedenis die meer dan twintig jaar teruggaat. Het project werd ooit opgezet om het leren en onderwijzen van met name algebra en meetkunde te vereenvoudigen, maar is vanwege zijn vele gereedschappen ook zeer geschikt om zelf allerlei (reken)problemen mee op te lossen. Bovendien is GeoGebra door de jaren uitgebreid naar nog meer wiskundige vakgebieden, zoals statistiek en analyse.

Korte rondleiding

De thuisbasis van GeoGebra is www.geogebra.org. Als de site niet standaard in het Nederlands verschijnt, kun je onderaan de pagina op de wereldbol klikken. Je kunt dan de gewenste taal selecteren.

Op de site vind je verschillende modules die je los of gecombineerd kunt gebruiken. Zo is er de 3D Rekenmachine voor het maken van 3D-grafieken, de Grafische rekenmachine voor het maken van 2D-grafieken, de Wetenschappelijke rekenmachine voor het maken van (wiskundige) berekeningen en de CAS Rekenmachine voor 2D-grafieken en algebra. De Rekenmachine suite combineert deze modules en voegt daar kansberekening aan toe.

Daarnaast vind je op de hoofdpagina links naar GeoGebra Klassiek, de oorspronkelijke combinatie van meetkunde en algebra, het onderdeel Meetkunde, dat zich specifiek richt op het oplossen van meetkundige vraagstukken en het Notitieblok, waarmee je illustraties kunt maken.

Met het onderdeel Toetsen kunnen docenten examenvragen maken die offline kunnen worden gebruikt en tot slot heb je toegang tot heel veel lesmateriaal en bronnen voor het leren werken met GeoGebra.

Meetkunde

De Griekse wiskundige Euclides leefde zo’n 2300 jaar geleden en is vooral bekend van De Elementen, een serie geschriften waarin hij onder andere in Boek 1 de basisbeginselen van de zogeheten vlakke meetkunde uitwerkt. Hierin bewijst hij vanuit een vijftal vooronderstellingen (axioma’s) allerlei zaken over lijnen, cirkels, driehoeken enzovoort. De manier waarop hij dat deed, staat sindsdien model voor het uitbreiden van kennis door middel van logisch redeneren en daarom vormde De Elementen zo’n 2000 jaar lang (!) verplicht studiemateriaal voor iedereen die een hogere opleiding volgde en is het nog altijd goede kost om de geest te scherpen.

Eén van de te bewijzen stellingen over gelijkzijdige driehoeken in het begin van De Elementen (Propositie 5) werd bekend onder de naam Pons Asinorum, Latijn voor ezelsbrug. Waar dat bij ons een mentaal hulpmiddel betekent, staat het oorspronkelijk juist voor een probleem dat bepaalde of je slim genoeg was om door te gaan.

Constructie

De klassieke meetkunde van Euclides maakt gebruik van constructies met een passer en een liniaal. Die laatste dient alleen voor het tekenen van rechte lijnen en heeft geen maatstrepen. Het zal je verbazen hoeveel Euclides (en zijn navolgers in latere eeuwen) met die eenvoudige gereedschappen kon ontdekken. In het onderdeel Meetkunde van GeoGebra kun je zelf aan de slag met een digitale passer en liniaal.

Objecten

In het venster links zie je onder Basisknoppen een handvol objecten die je kunt maken. Met Punt, Lijnstuk, Lijn en Cirkel bewijst Euclides hoe je bijvoorbeeld een lijnstuk in twee gelijke delen kunt delen. Om zo’n middelpunt in latere constructies niet telkens opnieuw te hoeven maken, kun je dit soort meer geavanceerde objecten in Meetkunde ook in één keer maken. Klik daarvoor op Meer. Behalve Constructies kun je ook andere elementen toevoegen, zoals tekst. Scrol je naar beneden dan kun je nogmaals op Meer klikken voor extra mogelijkheden.

Voorbeeld

Klik op Nieuw punt en klik vervolgens op drie verschillende plekken in het rechterschermdeel. Zoals je ziet, worden de drie punten die je daarmee hebt geplaatst naar goed meetkundig gebruik automatisch van een letter voorzien. Kies nu Lijnstuk onder Basisknoppen en klik op punt A. Klik vervolgens op punt B. A en B zijn nu verbonden. Maak op dezelfde manier de driehoek af.

Klik nu onder Constructies op Midden of middelpunt en klik vervolgens op een willekeurige plek op elk van de drie lijnen. Het programma plaatst nu in elk daarvan een middelpunt en voorziet ook die van een letter.

Kies nu Cirkel met middelpunt onder Basisknoppen. Klik op punt A en punt E om een cirkel te maken met straal AE. Doe hetzelfde voor C en F en voor B en D.

Opmaak

Klik je onder Basisknoppen op Verplaatsen, dan kun je elk van de oorspronkelijke (blauwe) punten verslepen. Daarbij blijven de eigenschappen van je constructie in stand. De cirkel door E met middelpunt A blijft dus door E gaan, ook als je A verplaatst.

Klik je onder Bewerken op Selecteer object, dan kun je lijnen, cirkels en dergelijke selecteren. Klik bijvoorbeeld op één van de cirkels. Er verschijnt nu een pop-upmenu met vier pictogrammen.

De eerste drie geven snel toegang tot Kleuren, Labels en Verwijderen, maar de vierde (de drie puntjes) is het krachtigst. Hiermee krijg je via Instellingen toegang tot álle mogelijkheden, variërend van het kiezen van een vaste kleur tot zeer geavanceerde mogelijkheden, zoals kleuren op basis van berekeningen en het maken van scripts.

Gewapend met deze kennis kun je zelf de meest ingewikkelde constructies maken en meetkundige problemen oplossen.

Tabblad Algebra

Uiterst links is standaard het tabblad Macro’s geselecteerd, waarin je de elementen voor je constructie kunt kiezen, aanpassen en verwijderen. Daarnaast is er het tabblad Algebra. Die naam is op het eerste gezicht wat verwarrend, want wat je er ziet is de geschiedenis van een constructie die je hebt gemaakt. Helemaal onderaan zie je ook een zwart pictogram in de vorm van een klein toetsenbord. Daarmee open je een toetsenbord met meerdere tabs waarmee je berekeningen en allerlei geavanceerde functies aan je constructie kunt toevoegen. Klik daarvoor op de drie puntjes boven het toetsenbord. Je ziet dan een helpfunctie met alle concepten die het programma kent. Klik je op een concept, dan verschijnen links daarvan één of meer commando’s. Klik je daarop, dan wordt of worden deze aan je lijst met constructiestappen toegevoegd.

Instellingen

Rechtsboven in het tekenscherm vinden we achter het tandwielpictogram de nodige nuttige instellingen. Bij traditionele meetkunde worden geen roosters gebruikt, maar bij veel andere varianten wel. Ook zijn assen en roosters handig wanneer je constructietekeningen met bekende afstanden wilt maken. Hier kun je niet alleen assen en roosters inschakelen, maar ook het rooster magnetisch maken, zodat punten die je plaatst altijd exact samenvallen met roosterpunten. Via Instellingen kun je bovendien de eigenschappen van assen en roosters aanpassen.

Ook zie je in het menu Wis spoor. Wanneer je een punt in je constructie selecteert, dan kun je namelijk aangeven dat GeoGebra een spoor moet tekenen wanneer het direct of indirect wordt verplaatst. Dit is de plek om dat spoor weer op te ruimen.

Menu

Linksboven (drie streepjes) vind je het menu van GeoGebra. Hier kun je het eindresultaat van een constructie als afbeelding opslaan of afdrukken. Je kunt je werk ook online opslaan. Daardoor kun je er op een later tijdstip ook vanaf een ander platform verder aan werken en als je het werkstuk openbaar maakt, kunnen andere gebruikers stap voor stap je constructie volgen. Dit is het educatieve aspect van GeoGebra waarop we in de paragraaf 'Educatie' nog terugkomen. Je kunt je werk ook privé opslaan. Om je werk lokaal te kunnen opslaan, moet je eerst een gratis account aanmaken.

Kies je in dit menu Open, dan krijg je niet alleen toegang tot je eigen werk, maar ook de tot het vele materiaal dat anderen gemaakt hebben.

CAS Rekenmachine

We keren terug naar de startpagina van GeoGebra en nemen nu een kijkje bij de CAS Rekenmachine (CAS staat voor Computer Algebra Systeem).

Ditmaal komen we terecht in een scherm dat doet denken aan het scherm van het onderdeel Meetkunde, zoals we dat op het laatst hadden ingericht, dus met assen, een rooster en een toetsenbord voor het invoeren van formules. Wat anders is zijn de tabbladen; hier Algebra en Tabel. In dit onderdeel kunnen we onder andere 2D-grafieken maken.

Voorbeeldgrafiek

Klik op het toetsenbordje op de x en op het pictogram daaronder om een kwadraat te maken. Klik vervolgens op +, op y en nogmaals op het Kwadraat-pictogram. Klik tot slot op = en 1 en toets Enter. Er verschijnt een kleine cirkel met straal 1.

Om de cirkel wat groter te maken, kun je inzoomen met het muiswiel of met het Zoom-pictogram rechtsonder.

Links zie je de formule die je hebt ingevoerd (de impliciete vergelijking voor een cirkel). Klik op de drie puntjes erachter en kies Dupliceer invoer. Klik op de tweede formule en verander beide kwadraten in een 4. Na een druk op Enter wordt de nieuwe grafiek getekend die het midden houdt tussen een vierkant en een cirkel. Klik op deze grafiek en klik op het Kleur-pictogram (verf-emmertje). Klik op rood en vervolgens op een lege plek en je hebt twee verschillend gekleurde grafieken.

Klik nu op het tabblad Tabel. Hierin staat de linkerkolom voor x-waarden en de rechter voor y-waarden. Hier kun je uitsluitend getallen invoeren en dit deel gebruik je om bijvoorbeeld een grafiek van de gemeten gegevens te maken.

Klik je op de drie puntjes in de y-kolom dan kun je via Regressie je meetpunten automatisch verbinden.

Het maken van grafieken vormt slechts een klein deel van de mogelijkheden van de CAS Rekenmachine. Je kunt hier bijvoorbeeld ook afgeleiden en integralen berekenen.

3D

Waar we met (onder andere) de CAS Rekenmachine grafieken in het platte vlak kunnen maken, gaan we met de 3D Rekenmachine de ruimte in. De bediening lijkt op die van de eerder besproken onderdelen.

In CAS kun je 2D-grafieken maken op basis van een functie van x of van parametrische vergelijkingen. Ook kun je werken met impliciete vergelijkingen (zoals wij in ons voorbeeld deden) en kun je naast rechthoekige coördinaten ook werken met poolcoördinaten. De 3D-tegenhanger ondersteunt ook al deze varianten, waarbij je in plaats van poolcoördinaten kunt kiezen voor cilindrische of bolcoördinaten.

3D Voorbeeld

Op basis van het 2D-voorbeeld weet je inmiddels hoe je een formule kunt invoeren. In de 3D Rekenmachine kiezen we voor 4x2+y2+z2=16. Na een druk op de Enter-knop verschijnt de grafiek.

In de 3D Rekenmachine kun je niet alleen grafieken maken op basis van formules. In het tabblad Knoppen vind je namelijk ook allerlei objecten. Om ze allemaal te zien, moet je op Meer klikken. Klik bijvoorbeeld op Piramide, klik vervolgens op vier punten op de x- en y- as (in het grondvlak, bijvoorbeeld (4,0,0), (0,6,0), (-4,0,0) en (0,-6,0)). Klik tot slot op de z-as op het punt (0,0,4) en daar is je piramide.

Ook nu kun je het uiterlijk van alles wat je maakt weer volop naar je hand zetten.

Apps

De web-versies van de verschillende onderdelen van GeoGebra werken uitstekend, maar werk je liever lokaal, dan kan dat ook. Op deze pagina vind je alle modules als download voor Windows. Verschillende zijn ook beschikbaar voor macOS en de oerversie GeoGebra Classic is er bovendien voor Linux.

Alle modules zijn daarnaast beschikbaar voor iOS en Android. Zoek je in de appstore voor een van beide op het trefwoord 'geogebra', dan vind je alle beschikbare producten. 

Educatie

Omdat je het werk dat je maakt met GeoGebra online kunt opslaan en kunt delen, biedt de website een gigantische hoeveelheid voorbeelden om mee te spelen. Op de startpagina van GeoGebra zie je de rubriek Aanbevolen materiaal en klik je daarachter op Alle dan kom je op een pagina waar je door het complete aanbod kunt bladeren.

Onder de voorbeelden onder Aanbevolen materiaal (verdeeld over verschillende niveaus), vind je een zoekboom waarmee je door verschillende disciplines binnen de wiskunde kunt bladeren. Klik bijvoorbeeld op Algebra. Zoals je ziet, kun je ook daarbinnen weer navigeren, bijvoorbeeld door te klikken op Breuken. Je ziet nu alle openbare bestanden binnen dat thema. We openen Breuken optellen (niveau 3). Dit werkblad is een typisch voorbeeld van een overhoring en daarom kun je het niet aanpassen. Er zijn ook vele werkbladen waar je wel onder de motorkap kunt kijken om meer de leren over de vele mogelijkheden van GeoGebra.

Zelf leren

We hebben maar een fractie van de vele mogelijkheden kunnen bespreken die GeoGebra en zijn verschillende modules te bieden hebben. Klik je vanaf de startpagina op Toon alle achter Initiatiehandleidingen, dan kom je op een pagina met een dertigtal boeken waarmee je zelfs de meest geavanceerde technieken leert om niet alleen berekeningen te maken, maar ook je eigen gebruikersinterfaces te bouwen.

Bij ID.nl zijn we dol op kwaliteitsproducten waar je niet de hoofdprijs voor betaalt. Een paar keer per week speuren we binnen een bepaald thema naar zulke deals. Met de feestdagen in aantocht gaan we weer gezellig met z'n allen eten. En omdat gourmetten daarbij erg populair is, zijn we op zoek gegaan naar vijf betaalbare modellen geschikt voor tot 10 personen.

Met een gourmetstel maak je avonden extra gezellig en informeel. Iedereen eet in zijn eigen tempo omdat je zelf bepaalt hoeveel je in je pannetje of op je grill legt. En zo is er ook meer tijd om lekker te kletsen. Wij vonden vijf mooie gourmetstellen geschikt tot wel 10 personen.

Tristar RA‑2746 Gourmetstel – 8 personen

De Tristar RA‑2746 is een gourmetstel waarmee je samen met het hele gezin of vriendengroep kunt bakken en grillen. Het apparaat heeft een vermogen van ongeveer 1400 watt en is voorzien van één grote bak‑ en grillplaat, zodat je tegelijk vlees, vis en groenten kunt bereiden. Dankzij de PFAS‑vrije antiaanbaklaag koeken ingrediënten niet vast en maak je het oppervlak na het eten eenvoudig schoon.. Bij de set worden acht kleine pannetjes meegeleverd, zodat iedereen zijn eigen gerecht kan samenstellen. De antislipvoetjes houden het toestel stevig op tafel en het snoer is lang genoeg voor gebruik aan een eettafel. Verder is het gourmetstel geschikt voor maximaal acht personen.

Tefal Inox & Design RE4588 - 10 personen

Bij de Tefal Inox & Design RE4588 richt alles zich op een combinatie van raclette en gourmet. Je beschikt over een groot vermogen van 1350 watt en een verstelbare thermostaat, zodat je de temperatuur precies kunt regelen voor vlees, groenten of raclettekaas. De tien bijgeleverde pannetjes en de grillplaat hebben een antiaanbaklaag waardoor je weinig olie hoeft te gebruiken en het schoonmaken minder tijd kost. Tefal heeft het snoer met ongeveer twee meter vrij lang gemaakt, waardoor je meer vrijheid hebt om het toestel op tafel te plaatsen. Een ingebouwd indicatielampje toont wanneer het apparaat de ingestelde temperatuur heeft bereik. Het apparaat wordt geleverd met hittebestendige handgrepen voor veilig gebruik en is geschikt voor maximaal tien personen.

Princess Raclette Gourmetstel XL - 10 personen

Met de Princess Raclette XL haal je een gourmet‑ en raclette‑stel voor tien personen in huis. De set gebruikt een vermogen van ongeveer 1500 watt en heeft een extra grote bakplaat voor vlees en groenten. De plaat is uitneembaar en heeft een PFAS‑vrije antiaanbaklaag, waardoor je niet veel olie nodig hebt en het toestel gemakkelijk schoonmaakt. Bij het apparaat worden tien pannetjes geleverd; zo kan iedereen tegelijkertijd minipannetjes gebruiken. De temperatuur regel je via een draaiknop, terwijl een controlelampje aangeeft dat het toestel opwarmt. Koelblijvende handgrepen en antislipvoetjes dragen bij aan veilig gebruik.

Princess Dinner4All Circle - 4 personen

De Princess Dinner4All Circle is een ronde gourmetset bedoeld voor kleinere groepen. Het apparaat is voorzien van een ronde bakplaat met een diameter van ongeveer 30 centimeter en gebruikt een vermogen van 1000 watt. Via een draaiknop stel je de temperatuur in tot circa 250 °C, waardoor je van langzaam garen tot snel grillen verschillende bereidingswijzen kunt kiezen. De set wordt geleverd met meerdere individueel te gebruiken kooktegels, zodat iedereen op zijn eigen tegel kan bakken zonder smaken te mengen. Dankzij de antiaanbaklaag zijn de platen eenvoudig schoon te maken, terwijl antislipvoetjes het toestel stabiel houden. Het snoer is ongeveer twee meter lang, waardoor je het gemakkelijk midden op tafel zet.

Princess Dinner4All Pure - 4 personen

Deze Dinner4All Pure‑gourmetset van Princess is opgebouwd uit meerdere kleine bakplaten, zodat elke gebruiker zijn eigen kookgedeelte heeft. Het systeem bestaat uit vier bamboe plates met antiaanbaklaag en afzonderlijke bakplaatjes, die samen op één centrale powerbox van 1000 watt worden aangesloten. Doordat iedere plaat een eigen stekker heeft, kun je de opstelling uitbreiden of verkleinen; handig als je met twee, drie of vier personen wilt eten. Het apparaat heeft een controlelampje en een eenvoudige bediening; je steekt de stekker in het stopcontact en kiest een temperatuur met de draaiknop. Dankzij de non‑stick afwerking maak je de platen na afloop gemakkelijk schoon.

De Ring Outdoor Cam Pro is een redelijk prijzige, slimme beveiligingscamera voor buiten die flink wat in zijn mars heeft. Het apparaat kost 199,99 euro en daar komt – waarschijnlijk – nog maandelijks een abonnement bovenop.

De nieuwe Ring Outdoor Camera Pro heeft een compact, stabiel en minimalistisch ontwerp waardoor je hem direct als een Ring-apparaat herkent. Dankzij de compacte afmetingen kun je hem subtiel aan de muur ophangen. Je bent verzekerd van bescherming tegen weer en wind (een IP-rating is niet bekend) en er is een extra afdekking voor de kabelaansluitingen. Ring levert de camera daarnaast met een kogel-gelagerde muurbeugel en montagemateriaal. De stroomvoorziening verloopt via de usb-c-kabel achterop; dit is helaas geen model met eigen batterij.

De installatie is, zoals gebruikelijk bij Ring, snel en ongecompliceerd. Je maakt verbinding via wifi na het scannen van de QR-code en over het algemeen is de verbinding stabiel. We hebben gedurende de testperiode geen storingen opgemerkt. Mocht je de camera willen ophangen, dan moet je wel zelf even een gaatje boren; daar zit voornamelijk het werk in. In de doos zit overigens alles wat je nodig hebt om dat te doen. Denk dan aan die eerdergenoemde muurbeugel, maar ook aan alle schroeven en dergelijke. Je hoeft alleen de boor er zelf bij te pakken.

©Wesley Akkerman

Weinig zeggenschap over het beeld

De Ring Outdoor Cam Pro heeft een 4K-resolutie en een brede kijkhoek van 140 graden. Overdag zorgen natuurlijke kleuren en HDR-ondersteuning ervoor dat details en gezichten duidelijk herkenbaar blijven, zelfs bij tegenlicht. 's Nachts schakelt de camera automatisch over op helder zwart-witbeeld dankzij infrarood. Het systeem is bovendien in staat nachtvisie in kleur te leveren, maar daarvoor is er wel voldoende licht nodig. Hij schakelt automatisch van stand op basis van de hoeveelheid licht; je kunt helaas niet zelf bepalen of je in kleur of zwart-wit filmt.

Ring maakt verder gebruik van betrouwbare bewegingsdetectie, waarbij je via de app zones kunt instellen om vals alarm te voorkomen. De Ring Outdoor Cam Pro heeft 3D-bewegingsdetectie en Bird's Eye View (een typische Ring-uitvinding) voor nauwkeurige afstandsmetingen en het volgen van bewegingen. Met een Ring Protect-abonnement krijg je toegang tot geavanceerde herkenning van personen, dieren en voertuigen. Voor zaken als tweewegcommunicatie en de live-feed hoef je gelukkig niet in de buidel te tasten.

Verplichte cloudopslag

Over het abonnement gesproken: daarmee krijg je ook nog toegang tot een uitgebreide videohistorie. Dat kost je wel minimaal 3,99 euro per maand. De opgenomen beelden blijven dan voor 180 dagen bewaard. Een belangrijk punt blijft echter de cloud-exclusiviteit; Ring maakt het nog steeds niet mogelijk om beelden lokaal op te slaan. Je bent dus verplicht een abonnement af te nemen als je je huisbeveiliging een beetje serieus neemt. De app faciliteert wel een overzichtelijk rechtenbeheer voor gezinsleden en waarschuwt bij allerlei ongeregeldheden.

De Ring-camera integreert tot slot met Alexa (de slimme assistent van Amazon) en IFTTT (een gratis en eenvoudige service voor smarthome-automatiseringen), maar mist helaas ondersteuning voor Google Home en Apple HomeKit (zoals dat al jaren het geval is). Via de Ring-app, beschikbaar voor Android en iOS, heb je de controle over de instellingen, inclusief het in- of uitschakelen van de sirene en bewegingsdetectie. De app toont een overzicht van gebeurtenissen en maakt het mogelijk voorgeprogrammeerde berichten af te spelen voor je bezoekers.

Lees ook onze review van de Ring Floodlight Cam Pro (2e gen)

Ring Outdoor Cam Pro kopen?

De Ring Outdoor Cam Pro biedt fijne hardware, waaronder 4K-video met 10x digitale zoom (die nog redelijk acceptabel is ook). De installatie is eenvoudig, maar de beveiligingscamera mist wel de nodige smarthome-integraties (waardoor hij dus niet voor iedereen heel handig is). Bovendien is hij aan de prijzige kant en heb je voor het optimale gebruik een abonnement nodig, waardoor je maandelijks of jaarlijks terugkerende kosten hebt. Daardoor betaal je hier meer voor dan bij Eufy, en daarom is de Outdoor Cam Pro alleen interessant als je al andere Ring-producten hebt.